2022-2023学年上海市晋元高级中学高二下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年上海市晋元高级中学高二下学期期末数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市晋元高级中学高二下学期期末数学试题 一、填空题1．过点（-1,3）且平行于直线的直线方程为             ．【答案】【分析】根据已知直线的斜率及所过的点，由点斜式则所求直线为，整理即可得其一般式.【详解】由直线的斜率为，结合题意，知：所求直线为，∴整理可得：.故答案为：.2．若，则      ．【答案】3【分析】根据导数的定义和导数的求导法则计算即可．【详解】，又，故.故答案为：3.3．一个袋子中装有2个红球和2个白球（除颜色外其余均相同），现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为        .【答案】【分析】先求总的摸球方法为，再求摸出的2个球中至少有1个是红球的摸球方法，然后可得概率.【详解】从4个球中随机摸出2个球共有种摸法，摸出的2个球中至少有1个是红球的摸法有种，所以摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为.故答案为：.【点睛】本题主要考查古典概率的求解，分别求出总的基本事件和所求事件包含的基本事件是解题关键，侧重考查数学建模的核心素养.4．现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援沪医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则          .【答案】【分析】结合分类计数原理，计算出抽到的两名医生性别相同的概率，计算出抽到的两名医生都是女医生的概率，从而结合条件概率的计算公式即可求出.【详解】由题意知，，，所以.故答案为：.5．以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为          .【答案】【分析】求出抛物线的焦点坐标和准线方程，确定圆心和半径，从而求出圆的标准方程.【详解】抛物线的焦点，准线方程为：，∴以抛物线的焦点为圆心，并且与此抛物线的准线相切的圆的半径是2，∴圆的方程为；，故答案为：.【点睛】本题考查抛物线的性质及求圆的标准方程的方法，属于中档题.6．受新冠肺炎的影响，部分企业转型生产口罩，如表为某小型工厂2~5月份生产的口罩数（单位：万）23452.23.85.5若与线性相关，且回归直线方程为，则表格中实数的值为      .【答案】/7.1【分析】根据线性回归直线方程经过样本中心，将代入求解.【详解】，故，故，故，故答案为：7.17．已知椭圆C：的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是  .【答案】【分析】求出椭圆的右焦点坐标，利用已知条件求出直线的斜率，然后求解直线方程.【详解】椭圆C：的右焦点为F（1，0），由PQ⊥FQ′可知，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，所以直线l的斜率为﹣1，所以直线l的方程是：，即.故答案为：.8．“东哥”上班的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则他在上班的路上至少遇到2次绿灯的概率为      ．【答案】【分析】由独立重复试验的概率公式及对立事件的概率公式求解.【详解】4次均不是绿灯的概率为，3次不是绿灯的概率为，∴至少遇到2次绿灯的概率为．故答案为：.9．设是圆与圆在第一象限的交点，则的值为      ．【答案】【分析】将两圆方程作差，可得出公共弦方程，则点可看成公共弦方程和圆在第一象限的交点，当时，直线趋向于，即可求得的值.【详解】将两圆方程相减，得公共弦方程为，故点可看成公共弦方程和圆在第一象限的交点，当时，直线趋向于，即，.故答案为：.10．若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为        .【答案】【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率.【详解】因为△ABF2为等边三角形，可知，A为双曲线上一点，，B为双曲线上一点，则 ，即，∴由，则，已知，在△F1AF2中应用余弦定理得：，得c2=7a2，则e2＝7⇒e＝故答案为：【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a，c的值，这时可将或视为一个整体，把关系式转化为关于 或的方程，从而得到离心率的值.11．已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，P、Q分别为、上的动点，且满足，则点P的横坐标的取值范围是             ．【答案】【分析】求出圆的圆心、半径，设出点P的坐标，利用圆的性质得出，结合已知建立不等式，求解作答.【详解】圆：的圆心，半径，设点，有，依题意，，当且仅当三点共线时取等号，而，即有，于是，即，整理得，解得，所以点P的横坐标的取值范围是.故答案为：12．已知实数a、b、c、d满足，则的最小值为      ．【答案】/4.5【分析】将看作是到的距离的平方，P在曲线上，Q在直线上，利用导数求解函数的单调性，结合点到直线的距离即可求解.【详解】∵，∴， ，设，，则点P在曲线上，Q在直线上，设曲线上切线斜率为1的切点为，，当时，，此时函数递增，当时，，函数递减，故当时，，直线在曲线上方，由，即，记，显然在上是增函数，而，∴是的唯一解．，，点到直线的距离为，∴的最小值为．  【点睛】处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. （3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理. 二、单选题13．在一次试验中，测得的五组数据分别为，，，，，去掉一组数据后，下列说法正确的是（    ）A．样本数据由正相关变成负相关 B．样本的相关系数不变C．样本的相关性变弱 D．样本的相关系数变大【答案】D【分析】由正负相关、相关系数的含义及相关性强弱依次判断即可.【详解】由题意，去掉离群点后，仍然为正相关，相关性变强，相关系数变大，故A、B、C错误，D正确.故选：D.14．在直角坐标平面内，点的坐标分别为，则满足为非零常数）的点的轨迹方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】设,由于直线的倾斜角为,直线的倾斜角的补角为,利用直线斜率公式可将转化为,化简整理即可【详解】由题,设,因为,因为直线的倾斜角为,直线的倾斜角的补角为,所以,化简可得故选：C【点睛】本题考查直接法求轨迹方程,考查斜率公式的应用15．如图是函数的大致图象，则等于（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】函数表达式中有三个未知数，将图像与轴的三个交点代入表达式，可求出函数的表达式，是函数的两个极值点，通过求导，根据韦达定理得到的关系式，从而求出【详解】由图可得：，代入函数表达式得：，解得：，所以：，，由图可得，是函数的两个极值点，令，则或，根据韦达定理得： ，所以故选：C16．已知分别为双曲线的左､右焦点，双曲线的半焦距为，且满足，点为双曲线右支上一点，为的内心，若成立表示面积），则实数（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可求出双曲线的离心率，设内切圆半径为，则由可得，而，则，从而可求出的值.【详解】因为，所以，所以，解得，因为，所以，设内切圆半径为，因为为的内心，成立表示面积），所以，所以，因为点为双曲线右支上一点，所以，所以，所以，所以，故选：C 三、解答题17．函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B，(1)求和；(2)若集合，且，求实数P的取值范围．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）解不等式求出，进而求和；（2）根据可得满足的不等式，其解即为实数p的取值范围.【详解】（1）对于集合A：由，解得或，∴，对于集合B：由，解得，∴，所以，，；（2），因为，所以，解得，，所以，实数p的取值范围为：．18．已知直线．（1）若，求实数的值；（2）当时，求直线与之间的距离．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程.（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线与之间的距离.【详解】（1）∵，且，∴，解得．（2）∵，且，∴且，解得，∴，即∴直线间的距离为．【点睛】本题考查了由两直线平行求参数，考查了由两直线垂直求参数的值，属于基础题.19．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）数据，统计结果如下表所示．组别频数2515020025022510050(1)已知此次问卷调查的得分，近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），求；（附：若，则，，，）(2)在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次赠送的机制为：赠送20元话费的概率为，赠送40元话费的概率为．现市民甲要参加此次问卷调查，记该市民参加问卷调查获赠的话费为元，求的分布及期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，期望为 【分析】（1）根据题中的统计表，求得，结合，进而求得的值.（2）根据题得到话费可能的值有20，40，60，80元，根据互斥事件与独立事件的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】（1）解：根据题中的统计表，结合题设中的条件，可得： ，又由，所以.（2）解：根据题，可得所得话费可能的值有20，40，60，80元，其中；；；，所以随机变量的分布列为：20406080所以期望为.20．已知椭圆：过点记椭圆的左顶点为M，右焦点为(1)若椭圆C的离心率，求的范围；(2)已知，过点作直线与椭圆分别交于，两点（异于左右顶点）连接，，试判定与是否可能垂直，请说明理由；(3)已知，设直线的方程为，它与相交于，.若直线与的另一个交点为.证明：.【答案】(1)；(2)垂直，理由见解析；(3)证明见解析. 【分析】（1）先根据在椭圆上，得到b,a的关系，再结合离心率的范围可以求得b的范围；（2）假设向量数量积为0，可以求得E点坐标，可以确定EM与EG垂直；（3）设点后联立直线和椭圆方程，再消参数得出横坐标关系，即可得出结论.【详解】（1）在椭圆上, 可得；（2）  且椭圆过, 因此椭圆方程为由题意得，假设设,则,由得 即①又点在椭圆上，②①②联立消去，得则 （为左项点不符合题意舍）, 所以与垂直.（3）  设,由（2）知椭圆方程为与直线的方程 联立消去，并整理得，可得又点A 在直线上， 又直线 AD 的方程为与椭圆方程为联立消去，整理得,所以于是可得  ，即,从而B , D 两点关于 x 轴对称，因此.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．已知函数（1）若时，取得极值，求实数a的值；（2）当时，求在上的最小值；（3）若对任意，直线都不是曲线的切线，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用，再验证在的左右两侧的符号是否异号即可；（2）对于分类讨论当时与时，利用的单调性即可得出；（3）任意，直线都不是曲线的切线，等价于对恒成立，即最小值大于-1，解出即可.【详解】（1）又 时，取得极值，解得 ，当时，，当 ，，在时取得极小值，故符合.（2）当时，对恒成立，在上单调递增，当时，由解得 ，若，则，在上单调递减.若，则，在上单调递增.在时取得极小值，也是最小值，即 ,综上所述，（3）任意，直线都不是曲线的切线，对恒成立，即的最小值大于-1，而的最小值为，，故.