2022-2023学年上海市徐汇中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年上海市徐汇中学高二下学期期末数学试题

一、填空题

1．抛物线的准线方程为          .

【答案】

【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程.

【详解】抛物线的准线方程是.

故答案为：.

2．已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角            ．

【答案】

【分析】根据直线的方程求得直线的斜率为，得到，进而求得的值.

【详解】由题意，直线的方程为，可得直线的斜率为，即，

又因为，所以.

故答案为：.

3．已知随机事件，则          .

【答案】

【分析】由条件概率的计算公式即可求解.

【详解】由条件概率可得,

所以.

故答案为：

4．已知双曲线的离心率，实半轴长为4，则双曲线的方程为          .

【答案】

【分析】由离心率求出，再由求出可得双曲线方程．

【详解】由已知可得 ,即得,所以双曲线方程为:.

故答案为: .

5．已知函数，则          ．

【答案】

【分析】首先计算，当时，即可求值.

【详解】，

，

.

故答案为：

6．受新冠肺炎的影响，部分企业转型生产口罩，如表为某小型工厂2~5月份生产的口罩数（单位：万）

若与线性相关，且回归直线方程为，则表格中实数的值为      .

【答案】/7.1

【分析】根据线性回归直线方程经过样本中心，将代入求解.

【详解】，故，故，故，

故答案为：7.1

7．某校高中三年级1600名学生参加了区第一次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩量服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为      人.

【答案】200

【分析】根据正态分布的对称性可求得，即可求得答案.

【详解】由题意可知，且,

则，

故此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为，

故答案为：200.

8．若圆与直线x＋y＋1＝0相交于A、B两点，则弦的长为      .

【答案】

【分析】确定圆心和半径，计算圆心到直线的距离为，再根据弦长公式计算得到答案.

【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，

故.

故答案为：

9．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，则      .

【答案】0.6

【分析】由题意知，，根据二项分布的概率、方差公式计算即可.

【详解】由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，

所以，

所以或．

由，得，

即，

所以，

所以，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查的是二项分布问题，根据二项分布求概率，再利用方差公式求解即可．

10．若是函数的极小值点，则实数的值为      .

【答案】2

【分析】求导，根据极值点与导函数的关系求的值，并代入原函数结合单调性检验.

【详解】由题意可得： ，

因为，解得或，

若，则，

令，解得或；令，解得；

则函数在上单调递增，在上单调递减，

所以是极小值点，符合题意；

若，则，

令，解得或；令，解得；

则函数在上单调递增，在上单调递减，

所以是极大值点，不符合题意；

综上所述：实数的值为2.

故答案为：2.

11．端午节吃粽子是我国的传统习俗.一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出3个，则取到白米粽的个数的数学期望为        .

【答案】/1.2

【分析】设取到白米粽的个数为随机变量，求出对应的概率，利用期望公式求解.

【详解】设取到白米粽的个数为随机变量，则，

所以，，

，，

所以

故答案为：

12．已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于A，B两点，且，，则在下列结论中，正确结论的序号为      ．

①双曲线的离心率为2；②双曲线的一条渐近线的斜率为；

③线段AB的长为 ；④的面积为．

【答案】①④

【分析】利用双曲线定义结合可得，利用，求得，继而可得，即可求得额离心率，判断①，由离心率可得，判断②，利用，求得，判断③，计算的面积判断④.

【详解】如图示：不妨设A在第一象限，则，

由于，可得： ，

由于，所以 ，

故 ，可得： ，

故 ，而,故，

所以由可得 ，即，

所以①双曲线的离心率 ，①正确；

由可得，故 ，

则双曲线的渐近线的斜率为，②错误；

由以上分析可知，③错误；

在 中， ，

 故 ，④正确，

故答案为︰①④﹒

【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线定理的理解和应用，解答本题的关键在于利用双曲线定义结合已知求得后，要注意推出 ，从而 ，即可求得相关线段长，则离心率渐近线斜率和弦长以及面积问题即可解决.

二、单选题

13．设，则“”是“直线与直线平行”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据直线一般式中平行满足的关系即可求解.

【详解】若直线与直线平行，

则，解得或，

经检验或时两直线平行．

故“”能得到“直线与直线平行”，但是 “直线与直线平行”不能得到“”

故选：A

14．已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（    ）

A．当曲线表示双曲线时，的取值范围是

B．当时，曲线表示一条直线

C．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆

D．存在，使得曲线为等轴双曲线

【答案】C

【分析】根据直线、椭圆以及双曲线方程的特征逐项分析判断.

【详解】对于选项A：曲线表示双曲线时，则，解得或，

所以的取值范围是，故A错误；

对于选项B：当时，则，解得，

所以曲线表示两条直线，故B错误；

对于选项C：当时，则，

即，可得，

曲线：表示焦点在轴上的椭圆，故C正确；

对于选项D：若曲线为等轴双曲线，且方程可整理为，

可得，则，无解，

所以不存在，使得曲线为等轴双曲线，故D错误；

故选：C.

15．函数的图象如图所示，则函数的图象可能是

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．

【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．

16．已知为坐标原点，点在抛物线：上，过点的直线交抛物线于、两点.①抛物线的准线为；②直线与抛物线相切；③；④.以正结论中正确的是（    ）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

【答案】B

【分析】根据题意求出抛物线C方程，再假设出直线AB的直线方程，联立方程和利用韦达定理即可判断得出答案．

【详解】对于①：因为点在抛物线：上，

则，解得，

所以抛物线：，其准线为，故①错误；

对于②：令，则，可得，

即抛物线在A点处切线斜率与直线AB斜率相同，

所以直线AB与抛物线C相切，故②正确；

对于③：由题意可知，直线PQ斜率存在，

设直线PQ的方程为 ，

联立方程，消去y得：，

可得，即，且，

因为

因为，所以，故③正确；

对于④：由题意可知，

因为，

又因为，则，

所以，故④错误

故选：B．

【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法

（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．

（2）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．

三、解答题

17．记关于的不等式的解集为，不等式的解集为.

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，分式不等式化为，结合分式不等式解法的结论，即可得到解．

（2）由含绝对值不等式的解法，得，并且集合是的子集，由此建立不等式关系，即可得到的取值范围．

【详解】（1）当时，，即，化简得，即，所以， 所以不等式的解集为，由此可得．

（2），可得,

，得，再解，即

①当时，无解，，满足；

②当时，解得，此时，由此可得，即a的取值范围是．

③当时，解得，此时，由此可得，即a的取值范围是．

综上所述，a的取值范围是

18．李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：

(1)求出这40个通勤记录的中位数M，并完成下列2×2列联表：

(2)根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由．

附：，，

【答案】(1)，填表见解析

(2)无显著差异；理由见解析

【分析】(1)根据茎叶图求出中位数，列表即可；(2)将表格中数据代入公式即可.

【详解】（1）由茎叶图可知，该组数据的中位数为，故列出2×2列联表如下：

（2）由2×2列联表可知，，

故上下班的通勤时间不存在显著差异.

19．：，，：.

(1)求，有交点的概率；

(2)设交点个数为，求的分布列及数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见详解，

【分析】（1）联立方程利用判断交点个数，并结合古典概型运算求解；

（2）根据（1）中的结果求分布列，进而可求期望.

【详解】（1）联立方程，消去y得，

显然，可得，

因为，则的符号如下表所示：

共有25个基本事件，其中：

（没有交点）有6个基本事件，概率为；

（有1个交点）有1个基本事件，概率为；

（有2个交点）有18个基本事件，概率为；

所以，有交点的概率.

（2）由题意可知：的可能取值有，

由（1）可得：，

则的分布列为

所以的数学期望.

20．已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）当时，讨论的单调性；

（3）若对任意的，，恒有成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）极小值，无极大值；（2）参考解析；（3）

【详解】试题分析：第一问，将代入中确定函数的解析式，对进行求导，判断的单调性，确定在时，函数有极小值，但无极大值，在解题过程中，注意函数的定义域；第二问，对求导，的根为和，所以要判断函数的单调性，需对和的大小进行3种情况的讨论；第三问，由第二问可知，当时，在为减函数，所以为最大值，为最小值，所以的最大值可以求出来，因为对任意的恒成立，所以，将的最大值代入后，，又是一个恒成立，整理表达式，即对任意恒成立，所以再求即可.

试题解析：（1）当时，

由,解得.

∴在上是减函数，在上是增函数.

∴的极小值为，无极大值.

（2）.

①当时，在和上是减函数，在上是增函数；

②当时，在上是减函数；

③当时，在和上是减函数，在上是增函数.

（3）当时，由（2）可知在上是减函数，

∴.

由对任意的恒成立，

∴

即对任意恒成立，

即对任意恒成立，

由于当时，，∴.

【解析】1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的极值；3.利用导数求函数的最值；4.不等式的性质.

21．已知椭圆C：的焦距为，且过点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，为坐标原点．

①若点P在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标；

②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值．

【答案】(1)

(2)①证明见解析，；②直线OM与ON的斜率之积为.

【分析】（1）根据焦距和所过点联立方程组求解即可；

（2）设出直线方程并与椭圆方程联立，①根据中点公式及垂直平分线方程化简即可证明并得到定点；②利用弦长公式和点到直线距离公式，表示出三角形面积，并借助重要不等式得到三角形面积最大时，直线方程中的参数满足的条件，由此化简直线OM与ON的斜率之积即可得出定值.

【详解】（1）因为焦距为，即，所以，

又因为椭圆过点，所以，解得，

所以椭圆C的方程为.

（2）由题意知，直线l斜率存在，设直线l方程为，设.

由得，

，.

①因为点P为线段的中点，点P在直线上，所以，即，.

所以.

所以线段MN的垂直平分线方程为，即，即.

故线段的垂直平分线恒过定点.

②由弦长公式得，

坐标原点到直线的距离为，

所以的面积为.

当且仅当，即时等号成立.

所以.

所以直线OM与ON的斜率之积为定值.