2022-2023学年贵州省新高考“西南好卷”高二下学期适应性月考数学试题（六）含答案

这是一份2022-2023学年贵州省新高考“西南好卷”高二下学期适应性月考数学试题（六）含答案，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年贵州省新高考“西南好卷”高二下学期适应性月考数学试题（六）

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】利用补集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，故或.
故选：B.
2．平面向量与相互平行，已知，，且与向量的夹角是钝角，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出坐标，根据的模计算出，即可求出.
【详解】由题意可得与相互平行，，，与向量的夹角是钝角，
设，
∴，解得：；
此时，即与不平行，
当时，，则，符合题意；
当时，，则，不合题意，舍去；
综上，，，
故选：A.
3．展开式中所有项的系数和为25，则该展开式中项的系数为（    ）
A．6 B．7 C．8 D．2023
【答案】B
【分析】令，得出关于的关系式，逐项检验，解出.然后根据二项式定理，分别得出以及中含的项，即可得出答案.
【详解】令，得.
因为，所以，所以.
当时，有，无整数解；
当时，有，无整数解；
当时，有，解得.
所以，，.
中含的项为，中含的项为，
所以，该展开式中项的系数为.
故选：B.
4．某同学参与了自媒体《数学的维度》栏目约稿启事，为了估计投稿人数，随机了解到6个投稿回执编号，从小到大依次为2，5，12，68，100，126，这6个编号把区间分成7个小区间，可以用前6个区间的平均长度估计整个区间的平均长度，进而求得投稿人数的估计值为（    ）
A．139 B．141 C．147 D．150
【答案】C
【分析】根据题意和数据特征计算得到其平均值为21，进而进行估计即可求解.
【详解】由题知，前六个区间长度依次为：2，3，7，56，32，26，
其平均值为21，所以估计，
故选：C.
5．如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解法一：取中点，连接，为的中点，连接，先证明平面，即可得出，根据勾股定理求出.然后由，得出或其补角等于异面直线和所成的角，在中，即可求出答案；解法二：先证明平面，建立空间直角坐标系，得出点的坐标，表示出，即可根据数量积公式，求出答案.
【详解】解法一：
  
如图1，取中点，连接，为的中点，连接，
易知底面，
因为平面，所以平面底面.
又平面底面，，
所以平面.
因为平面，所以.
同理可得，.
设底面半径为，，.
因为分别为的中点，所以，
则在中，或其补角等于异面直线和所成的角.
所以.
解法二：
如图2，为的中点，连接，
易知底面，
因为平面，所以平面底面.
又平面底面，，
所以平面.
  
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，
则，，，，
所以，，
记所求角为，则.
故选：C.
6．现有，，，，五人到甲，乙，丙三个学校学习，每人只能到一个学校学习，每个学校至少一人至多两人学习，不能去甲学校，，不能同时到丙学校，则不同的分配方案有（    ）
A．56 B．57 C．58 D．60
【答案】B
【分析】本题考查排列组合，由题意得有一个学校一人学习，另外两个学校均有两人学习，故按照甲，乙，丙三个学校只有一人学习进行分类讨论即可.
【详解】由题知：有一个学校一人学习，另外两个学校均有两人学习：
第一类，甲学校只有一人学习，按，或，中一人到甲讨论，
有种情况；
第二类，丙学校只有一人学习，按到丙或乙讨论，
有种情况；
第三类：乙学校只有一人学习，按到乙或丙讨论，
有：种情况；
所以共有57种不同的分配方案，
故选：B.
7．某市卫健委为调查研究某种流行病患者的年龄分布情况，随机调查了大量该病患者，年龄分布如下图.已知该市此种流行病的患病率为0.1%，该市年龄位于区间的人口占总人口的28%.若从该市居民中任选一人，若此人年龄位于区间，则此人患这种流行病的概率为（    ）（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率）
    
A．0.28 B．0.00054 C． D．
【答案】D
【分析】设该居民年龄位于区间为事件A，该居民患这种流行病为事件，由已知可得出的值，根据概率的乘法公式求出的值，然后即可根据条件概率公式得出的值.
【详解】设该居民年龄位于区间为事件A，该居民患这种流行病为事件，
由题意知，，，.
因为，
所以，
所以，.
故选：D.
8．函数的导函数，对任意，，则（    ）
A． B．
C． D．与的大小不确定
【答案】C
【分析】由已知得，则构造函数，求导后得，从而可得在上单调递增，从而可得结果.
【详解】∵，
∴，
∴，
令，则，
∴在上单调递增，
∴，即，
∴，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，解题的关键是将已知条件变形后，构造函数，利用导数判断其单调性即可得结论，考查数学转化思想，属于较难题.

二、多选题
9．一个盒子中装有个黑球和个白球，现从该盒子中有放回的随机取球次，取到白球记分，取到黑球记分，记次取球后的总得分为，则（    ）
A．服从二项分布 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】依题意每次取到白球的概率为，且总得分由白球的个数决定，则，在根据二项分布的概率、期望、方差公式计算可得.
【详解】依题意每次取到白球的概率，取到黑球的概率，
取到白球记分，取到黑球记分，记次取球后的总得分为，
即总得分由取到白球的个数决定，故总得分，所以A正确.
，故B错误.
，故C正确.
，故D正确.
故选：ACD
10．已知函数，则（    ）
A．的最小正周期为 B．点是图象的一个对称中心
C．为奇函数 D．在上单调递增
【答案】AD
【分析】先利用三角恒等变换得到，然后再根据正弦函数的周期，对称中心，奇偶性和单调性逐项进行判断即可求解.
【详解】因为
，
因为的最小正周期，故A正确；
因为，故B错；
因为，显然，故C错；
因为，，，故D正确；
故选：AD.
11．已知函数，则（    ）
A．的图像关于对称 B．的图像关于对称
C．在上单调递减 D．
【答案】BD
【分析】首先求出的定义域，利用与判断出A错误B正确，利用特殊值判断出C错误，分别在与时讨论可判断出，所以D正确.
【详解】函数的定义域为；
因为不恒为零，故A错误；
因为，故B正确；
令，，
当时；当时，
所以.
因为，，
所以，故C错误；
因为关于对称，
当时，，且，所以，
当时，，
且，所以，故D正确；
故选：BD.
12．已知为坐标原点，，过动点作直线的垂线，垂足为点，.记动点的轨迹曲线为.已知，，，均在上，直线，的唯一交点为，则（    ）
A．曲线的方程为
B．
C．
D．若，分别交轴于点，，则
【答案】ACD
【分析】设，得，根据可得曲线的方程为.故A正确；设直线，的方程分别为：，，，分别与抛物线方程联立，根据韦达定理可推出B错，C正确；根据直线、的方程求出的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算可得D正确.
【详解】对于A：设，则，因为，所以，
因为，，所以，
所以曲线的方程为.故A正确；
依题意，设直线，的方程分别为：，，，
将代入抛物线得，，
所以，同理，
对于B：显然，故B错；
对于C：所以，同理，故C正确；
对于D：显然直线的斜率存在，
则直线的方程为：，代入得：，
同理得：，
所以，
因为，所以，故D正确.
故选：ACD.

三、填空题
13．若随机变量，其密度函数为，则 .（附：若（单位：）服从正态分布，则，，.）
【答案】0.84135
【分析】求出正态分布的均值和方差，即可得出的值.
【详解】由题意，
在随机变量中，，，
∴，，
∴，
  
故答案为：0.84135
14．在中，，，则 .
【答案】120°
【分析】先利用切化弦得到，然后利用三角形内角和定理和两角和的余弦公式即可求解.
【详解】因为，，
所以，所以，
由A是三角形内角，所以，
故答案为：120°.
15．点是双曲线上一动点，过做圆的两条切线，切点为，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由于是直角三角形，且，所以当取得最小值时，取得最小值，设出，，表达出，配方后求出最小值，从而得到答案.
【详解】由题知：设，，则，
由于是直角三角形，且，所以当取得最小值时，取得最小值，
  
则
，当时，等号成立，
故，
故答案为:.

四、双空题
16．如图，国际象棋棋盘，由64个黑白相间的格子组成，棋盘上2个不同的正方形格如果有一条公共边，就称它们为相邻的.将棋盘上个白色正方形格作上标记，使得板上的任意黑色正方形格都与至少一个作上标记的白色正方形格相邻，则的最小值为 .若棋盘由个黑白相间的格子组成，则的最小值为 .
  
【答案】 10
【分析】将“棋盘”按最长的黑格子对角线水平放置，按第行奇数位置的白格子标记，再求出标记的白格子的个数和即可作答.
【详解】如图1，将“棋盘”按最长的黑格子对角线水平放置，则各奇数行白格子的个数分别为：
1，3，5，7，7，5，3，1，在第3、7、11、15行将奇数位置的白格子作上标记，
从而作上标记的白格子共有，
此时，任意黑色正方形格都与至少一个作上标记的白色正方形格相邻，并且去掉上述标记中的一个，
与该标记相邻的黑色正方形格同其它标记的白色正方形格不相邻，所以的最小值为10；
若由个黑白相间的格子组成，将“棋盘”按最长的黑格子对角线水平放置，
则各奇数行白格子的个数分别为1，3，…，，，…，3，1，
在第行将奇数位置的白格子作上标记，如图2，从而作上标记的白格子共有，
此时，任意黑色正方形格都与至少一个作上标记的白色正方形格相邻，并且去掉上述标记中的一个，
与该标记相邻的黑色正方形格同其它标记的白色正方形格不相邻，所以的最小值为.
  
故答案为：10；

五、解答题
17．已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且.
(1)证明：；
(2)求集合中的元素个数.
【答案】(1)证明见解析
(2)5

【分析】（1）设数列的公差为，由已知列方程解出和，可证得结论；
（2）由题意可得，解不等式即可.
【详解】（1）设数列的公差为，则有，
由，得，
解得：，，所以.
（2）由（1）知，，，由得：，
所以，即，由，解得：，
所以集合中元素个数为个.
18．为研究药物是否有效，现随机抽取100只患病的小白鼠进行试验，得到如下列联表：

发病
未发病
总计
不治疗
22

50
药物治疗

42

总计


100
(1)将列联表填写完整（不需写出填写过程），试根据小概率值的独立性检验，分析发病与药物治疗是否有关.
附：，其中.

0.10
0.05
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
(2)现有药物，各4粒，两种药物外观和气味极为相似，如果从中选4粒，能将全部选出来，则算是试验成功一次.某人声称能够通过气味区分两种药物，他连续试验10次，成功3次，请问他是猜对的，还是确有区分能力（设各次试验相互独立）？
附：发生概率在0.01以下的事件被称为小概率事件，一般认为小概率事件在试验次数较少时不应发生.
【答案】(1)列联表见解析，有关
(2)确有区分能力

【分析】（1）根据表格数据可填写完整，零假设为：发病与药物治疗无关，计算出与附表数据半径可得答案；
（2）假设他是猜对的，则每次试验成功的概率，求出他10次成功3次的概率为，显然，10次成功3次为小概率事件，他很难猜对可得答案.
【详解】（1）

发病
未发病
总计
不治疗
22
28
50
药物治疗
8
42
50
总计
30
70
100
零假设为：发病与药物治疗无关，
，
根据小概率值的独立性检验，可以认为发病与药物治疗有关；
（2）假设他是猜对的，则每次试验成功的概率为，
所以他10次成功3次的概率为，
显然，10次成功3次为小概率事件，他很难猜对，
所以，他确有区分能力
19．在如图所示的空间几何体中，与均是等边三角形，直线平面，直线平面，.

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）设平面与直线的交点为，根据线面垂直的性质定理以及判定定理推得平面，进而得出，，得出为中点，且二面角的平面角为.根据平面四边形的条件，可得出，即可得出面面垂直；
（2）根据面面垂直的性质，推得平面，进而根据已知推得四边形为矩形.以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，得出点的坐标，求出平面与平面的法向量，根据向量法，即可得出答案.
【详解】（1）
如图1，设平面与直线的交点为，连接，.
因为直线平面，直线平面，平面，平面，
所以，.
因为，平面，平面，
所以平面.
因为平面，平面，
所以，.
又因为与均是等边三角形，
所以为中点，且二面角的平面角为.
在平面四边形中，
因为，
所以，
所以平面平面.
（2）由（1）知，平面平面，平面平面，
又，平面，
所以，平面.
又因为，平面，
所以，.
同理可得，.
所以，四边形为平行四边形.
又，所以四边形为矩形.

如图2，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
因为四边形为矩形，设，则由已知可得，，
则，，，，
所以，，，，.
设平面的一个法向量为，
则，所以.
令，则为平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为，
则，所以.
令，解得为平面的一个法向量.
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
20．某公司推出，两款理财产品，期限均为105天，两种理财产品互不相关.现将前7天购买款理财产品的人数进行统计，得到如下表格.
第天
1
2
3
4
5
6
7
购买人数
200
260
280
350
420
440
500
(1)请根据上述表中提供的数据用最小二乘法求出关于的经验回归方程，预测第10天、第20天购买款理财产品的数量，并说明该预测数据是否合理，理由是什么？
(2)两款理财产品每万元收益与概率如下表：
类型
理财产品
理财产品
收益（元）




概率




（ⅰ）若单独投资其中一款理财产品，综合平均收益与风险方面考虑，应选择哪款？
（ⅱ）若两种理财产品均投资，求理财产品，的最佳投资比例.
（参考公式：，，）
【答案】(1)，，，第天购买款理财产品的数量合理，第天购买款理财产品的数量不合理，理由见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）

【分析】（1）由已知表格中的数据求得，即可得出关于的经验回归方程，预测出相应结果.
（2）（ⅰ）利用数据求出，，即可得出结论；（ⅱ）设投资产品的比例为，则投资产品的比例为，记组合投资的收益为，先求，再表示出，求得相关二次函数最小值，即可得出结论.
【详解】（1）依题意得：，，
又因为，
，
所以，
所以，
所以，
当时，；
当时，.
所以预测第天、第天购买款理财产品的数量分别为人，人.
第天购买款理财产品的数量合理，
第天购买款理财产品的数量不合理，
因为解释变量的取值不能离样本数据的范围太远.
一般解释变量的取值在样本数据范围内，
经验回归方程的预报效果会比较好，
超出这个范围越远，预报的效果越差.
（2）（ⅰ）设投资理财产品每万元的收益为（元），
投资理财产品每万元的收益为（元），则
，
，
，，
由于，，
所以两种理财产品的平均收益相同，
但产品的投资风险更小，应选.
（ⅱ）若两种理财产品均投资，
不妨设投资产品的比例为，
则投资产品的比例为.
记组合投资的收益为，
（元），
故组合投资的平均收益为定值，
因为
，
令，
则当时，有，
即此时最小.理财产品，的最佳投资比例为.
21．已知为坐标原点，椭圆的离心率为，的上顶点到右顶点的距离为.
(1)求的方程；
(2)，为上的动点，设直线，的斜率分别为，，且.求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)1

【分析】（1）利用离心率和上顶点到右顶点的距离求出，即可求出的方程；
（2）设出，坐标和直线解析式，直线解析式和椭圆方程联立，表达出的面积，即可得出的面积的最大值.
【详解】（1）由题意，
在椭圆中，离心率为，
由题知：，解得：，
∴椭圆的方程为.
（2）由题意及（1）得，在中，，为上的动点，
设，，所以，，，
∴，即，
由对称性知直线斜率存在，设直线，
  
将代入，得：，
∴，，，
∵，
∴，
设到直线的距离为，，
∵，
，
当且仅当时取等号，即，时，取最大值1.
22．已知函数.
(1)讨论极值点的个数；
(2)若函数恰有2个极值点，3个零点，，（），探究：是否存在实数，使得.
【答案】(1)答案见解析
(2)不存在

【分析】（1）求导后，分类讨论，根据极值点的概念可得结果；
（2）根据函数恰有2个极值点，3个零点，，（），推出，，，，假设存在实数，使得，化为，再构造函数，，利用导数得，又，从而得假设不成立，由此可得答案.
【详解】（1）由题知：，
设函数，
当时，，所以在上单调递增，此时无极值点；
当时，开口向下，对称轴为，；
所以，在上单调递增，此时无极值点；
当时，开口向上，；
所以，在上单调递减，此时无极值点；
当时，开口向上，，对称轴为，；
所以在上有两个解，且，，
所以当时，，；当时，，；
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，上单调递减；
此时有两个极值点.
综上所述：当或时，无极值点；当时，有两个极值点.
（2）因为函数恰有2个极值点，
由（1）知：，，，，
又因为函数有3个零点，，（），且在上单调递减，在上单调递增，上单调递减；
所以，因为，所以，
因为，，
，
所以，
因为，
所以，
又因为，
假设存在实数，使得，
则，即，
即，
所以，
所以，
令，，
则，所以在上单调递减，，
所以，
所以不成立，
所以不存在实数满足：.
【点睛】难点点睛：根据已知条件得，，，，将等式化为是本题的难点.