精品解析：四川省成都市武侯区2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题

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2022~2023学年度上期期末考试试题
八年级数学
注意事项：
1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟．
2．考生使用答题卡作答．
3．在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．
4．选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
6．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等．
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1. 在，，，，这五个数中，无理数的个数为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据无理数的定义判断即可．
【详解】解：，，，，这五个数中，无理数有、共2个．
故选A．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义、算术平方根等知识点，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无理数包括以下三方面的数：①含π的，如2π；②开方开不尽的根式，如；③一些有规律的数，如0.010010001...．
2. 成都市某一周内每天的最高气温为：6，8，，，7，8，8（单位：℃），则这组数据的极差为（　　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】极差是一组数据里面最大数据与最小数据的差，以此来求解即可．
【详解】解：最大值为，最小值为6；
；
故答案为：4．
【点睛】本题考查了极差的计算，极差反映了一组数据变化范围的大小，掌握极差的概念是求解的关键．
3. 直角三角形的三条边如果同时扩大3倍，则得到的三角形是（　　）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理得出a2+b2=c2，推出9a2+9b2=9c2，得出（3a）2+（3b）2=（3c）2，根据勾股定理的逆定理得出即可．
【详解】解：设原直角三角形的三边的长是a、b、c，则由勾股定理得a2+b2＝c2，
∴9a2+9b2＝9c2，
即（3a）2+（3b）2＝（3c）2，
∴将直角三角形的三条边长同时扩大3倍，得到的三角形还是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
4. 已知一次函数的图象过二、三、四象限，则下列结论正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象在坐标平面内的位置确定k、b的取值范围即可得答案．
【详解】∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴，，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，对于一次函数（k≠0），当k>0时，图象经过一、三象限；当k<0时，图象经过二、四象限，当b>0时，图象与y轴交于y轴正半轴；当b<0时，图象与y轴交于y轴负半轴；熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
5. 举反例是一种证明假命题的方法．为说明命题“若，则”是假命题，所举反例正确的是（　　）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】把各组数值代入逐一判断即可解题．
【详解】解：A.，时，成立，不符合题意；
B. ，时，成立，不符合题意；
C. ，时，成立，不符合题意；
D. ，时，，原命题不成立，本选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查举反例，能举出反例说明命题不成立是解题的关键．
6. 射箭时，新手成绩通常不太稳定．小明和小华练习射箭，第一局12支箭全部射进完后，两人的成绩如图所示．根据图中信息，估计小明和小华两人中为新手的是（　　）

A. 小明 B. 小华 C. 都为新手 D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】根据统计图可知，小华的射击不稳定，可判断新手是小李．
【详解】解：由统计图可以看出，小华的成绩在2至9环之间波动，小明的成绩在6至9环之间波动，
∴小华的成绩波动比小明的大，
∵波动性越大，方差越大，成绩越不稳定，
∴新手是小华．
故选：B．
【点睛】本题考查了方差的意义，熟知波动性越大，方差越大，成绩越不稳定是解题的关键．
7. 已知一次函数 y = 3x - 1 与 y = 2x 图象的交点是（1，2），求方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两函数交点即为两函数组成的方程组的解，从而求出答案．
【详解】求方程组的解就是一次函数与函数的交点.
即：
故选C.
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标
8. 中国象棋历史悠久，战国时期就有关于它的正式记载．观察如图所示的象棋棋盘，我们知道，行“马”的规则是走“日”字对角（图中向上为进，向下为退），如果“帅”的位置记为，“马2退1”后的位置记为（表示第2列的“马”向下走“日”字对角到达第1列的位置），那么“马8进7”后的位置可记为（　　）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此即可获得答案．
【详解】解：用表示“帅”的位置，那么“马8进7”（表示第8列的“马”向上走“日”字对角到达第7列的位置）后的位置可记为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用坐标确定位置，明确数对表示位置的方法是解题关键．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9. 计算：___________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据立方根定义即可求解．
【详解】解：
故答案为9．
【点睛】本题考查立方根的定义，解题的关键是熟练掌握立方根的概念．
10. 已知和都是方程的解，则___________，___________．
【答案】 ①. 5 ②. 2
【解析】
【分析】将方程的解代入方程求解，即可得到答案；
【详解】解：∵和都是方程的解，
∴，解得，
故答案为5，2；
【点睛】本题考查二元一次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值．
11. 如图是某灯具的镜面反射示意图，从光源点处发出的光线，经弯曲的镜面反射后射出，且满足反射光线，若，于点，则的度数为___________．

【答案】##50度
【解析】
【分析】过P作，根据平行线性质得到，，
结合，即可得到答案；
【详解】解：过P作，
∵过P作，
∴，，
∵，，
∴，
故答案为：；

【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是作出辅助线．
12. 若点，在直线上，且满足，则___________（选填“>”或“<”）．
【答案】<
【解析】
【分析】根据一次函数的增减性，即可求解．
【详解】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握对于一次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小是解题的关键．
13. 如图，在正方形的外面分别作和，其中，，，则正方形的面积是___________．

【答案】144
【解析】
【分析】利用30度角所对的直角边等于斜边的一半解题即可．
【详解】解：∵，
∴
又∵，，
∴，
∴正方形的面积为，
故答案为：144．
【点睛】本题考查30度角直角三角形的性质，掌握30度角直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14. （1）计算：；
（2）解方程组：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用多项式乘多项式的计算法则，用其中一个多项式里的每一项分别乘另一个多项式里的每一项，再把结果相加计算即可；
（2）先整理，再选择用加减消元法解此二元一次方程组或者可用整体代入消元解方程，任选一种方法求解即可．
【详解】解：（1）原式
．
（2）方法一：
整理，得
由①②，得．
解得．
把代入①，得．
∴原方程组的解为
方法二：

把①代入②，得．
解得．
把代入②，得．
∴原方程组的解为
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式和二元一次方程组的解法，熟练掌握多项式乘多项式的计算法则和加减消元法解二元一次方程组是解决本题的关键．
15. 某校组织广播操比赛，打分项目（每项满分10分）包括以下几项：服装统一、进退场有序、动作规范，其中甲、乙两个班级的各项成绩（单位：分）分别如下：
项目
班级
服装统一
进退场有序
动作规范
甲班
10
8
8
乙班
8
9
9

（1）填空：根据表中提供的信息，甲、乙两个班级各项成绩的这6个数据的众数是___________，中位数是___________；
（2）如果将服装统一、进退场有序、动作规范这三项得分依次按30%，30%，40%的比例计算各班的广播操的比赛成绩，试问甲、乙两个班级哪个班的广播操比赛成绩较高？
【答案】（1）8，8.5
（2）乙班
【解析】
【分析】（1）将六个数据从小到大排列，出现最多即为众数，排在中间的两个数的平均数为中位数；
（2）按照三项得分的比例计算最终得分，然后比较即可．
【小问1详解】
解：将数据从小到大排列得：8，8，8，9，9，10
∴众数是8；中位数是；
【小问2详解】
解：甲班这次比赛的成绩为：（分）；
乙班这次比赛的成绩为：（分）；
∵，
∴乙班广播操比赛成绩较高．
【点睛】本题主要考查中位数及众数以及按照权重计算，熟练掌握众数及中位数的计算方法和求加权平均数的方法是解决本题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．

（1）请在图中画出点关于轴的对称点，则点的坐标为___________；
（2）在（1）的条件下，连接交轴于点，则点的坐标为___________；
（3）在（2）的条件下，连接，，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据对称的性质求解即可；
（2）根据网格的特点求解即可；
（3）首先根据对称的性质得到，，然后等量代换得到，然后根据点的坐标特点得到点在线段的中垂线上，最后利用同位角相等，两直线平行证明即可．
【小问1详解】
如图，

∵点的坐标为，点和点关于轴的对称，
∴点的坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
根据网格的特点可得，
点C的坐标为，
故答案为：；
【小问3详解】
证明：∵点关于轴的对称点是点，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴点在线段的中垂线上，
∴，
∴，
∴．
∴．
【点睛】此题考查了网格的特点，轴对称的性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
17. 已知一次函数的图象分别与轴相交于，两点．

（1）分别求，两点的坐标；
（2）点在线段上，连接，若直线将的面积分成两部分，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）分别令一次函数中的、等于零即可求解；
（2）根据题意找到点位置，再由直线将的面积分成两部分，列出式子，解方程即可求解．
【小问1详解】
在中，令，得．
∴点的坐标为．
在中，令，得，解得．
∴点的坐标为．
【小问2详解】
设．

①当时．

即，解得．
∴点的坐标为．
②当时．

即，解得．
∴点的坐标为．
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【点睛】此题考查了一次函数与三角形相结合的问题，解本题的关键在于弄清楚的面积分成两部分的面积比不同时的分类讨论．
18. 在四边形中，，．

（1）如图1，若，，．
①连接，试判断的形状，并说明理由；
②连接，过作，交的延长线于点，求的面积；
（2）如图2，若，，四边形的面积为，求的长．
【答案】（1）①直角三角形，理由见解析 ②
（2）
【解析】
【分析】（1）①利用勾股定理的逆定理即可判断的形状；②证明，利用全等三角形的性质可得，易得，即可获得答案；
（2）过作交的延长线于点，连接，过作，交的延长线于点，首先证明是等腰直角三角形，可得；结合（1）中，可得，，再由，可解得，进而可求得，然后由即可获得答案．
小问1详解】
解： ①是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即


；
【小问2详解】
过作交的延长线于点，连接，过作，交的延长线于点，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
同（1）②，可证，
∴，，
由（1）②，可知，
即，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，理解并掌握相关知识是解题关键．
B卷
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19. 已知，满足则这个方程组的解为___________．
【答案】
【解析】
【分析】两式相减得到新方程③，再利用加减消元法解得x，y 的值．
【详解】解：
得： ，
得：，
把代入③得：，
∴原方程的解为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．
20. 估算的结果的整数部分是___________．
【答案】8
【解析】
【分析】估算的取值范围，再利用不等式的基本性质计算即可．
【详解】解：
即：

∴的结果的整数部分为8
故答案为：8
【点睛】本题考查二次根式的估算以及不等式的基本性质，熟练掌握二次根式估算方法是解决本题的关键．
21. 如图，在数轴上，点A表示的数是1，点表示的数是3，在数轴的上方作，且，．以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于，两点（其中点在A的右侧），现将点表示的数记为，点表示的数记为，则代数式的值为___________．

【答案】20
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出，进而得到，再利用数轴上两点之间的距离求出，，代入求值即可得到答案．
【详解】解：点A表示的数是1，点表示的数是3，
，
，，
，
以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于，两点，
，
点表示的数记为，点表示的数记为，点在A的右侧
，，
，
故答案：20．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，勾股定理，代数式求值，完全平方公式，利用勾股定理求出的长是解题关键．
22. 如图，在中，，，过作，且满足（点和居于直线的异侧），连接，，若，则的面积为___________．

【答案】
【解析】
【分析】过点B作于点E， 于点F，设，，则，利用勾股定理求出，即，再根据平行线间的距离相等，得到，即可求出的面积．
【详解】解：过点B作于点E， 于点F，
，，
，
设，，则，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
整理得：，
解得：，即，
，，
，
，，
，
，
故答案为：．

【点睛】本题考查了勾股定理，平行线的判定和性质，平行线间的距离，熟练掌握勾股定理是解题关键．
23. 定义：对于平面直角坐标系中的不在同一条直线上的三点，，，若满足点绕点逆时针旋转后恰好与点重合，则称点为点关于点的“垂等点”．请根据以上定义，完成下列填空：

（1）若点在直线上，点与原点重合，且点关于点的“垂等点”刚好在坐标轴上，则点的坐标为___________；
（2）如图，已知点A的坐标为，点是轴上的动点，点是点A关于点的“垂等点”，连接，，则的最小值是___________．
【答案】（1）或；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据刚好在坐标轴上可得，M也在坐标轴上，由直线方程得到与坐标轴交点坐标，即可得到答案；
（2）设，表示出B点坐标，列出与m的关系式即可得到答案；
【小问1详解】
解：∵点关于点的“垂等点”刚好在坐标轴上，
∴M也在坐标轴上，
∵点在直线上，
∴当时，，当时，，
∴点M为或，
逆时针旋转可得，
N点坐标为或；
【小问2详解】
解：设，过B作轴于H，如图所示，

∵是点A关于点的“垂等点”，
∴，，
∵，轴
∴，，
∴，
∴，，，
∴点B的坐标为，
∴
的值，相当于点到，的距离之和，
相当于在直线上找一点到，距离之和最小点，
作点M关于直线对称的点，连接，即为最小距离点，
根据对称可得点，
∴，
∴的最小值是：；
【点睛】本题考查一次函数的应用，最短距离问题，新定义，及图形旋转的性质，解题的关键是根据题意找到最短居里点，利用一次函数问题解决最短距离问题．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24. 已知某景点的门票价格如下表：
购票人数/人
1~50
51~100
100以上
每张门票价/元
12
10
8
某校八年级（一）、（二）两个班共人去游览该景点，其中（二）班人数多于（一）班人数，且（一）班人数不少于（二）班人数的一半，如果两个班以班为单位各自购票，那么两个班需要支付的总费用为元．
（1）请通过列二元一次方程组的方法，分别求两个班的学生人数；
（2）如果两个班合在一起统一购票，试问此时两个班需要支付的总费用将比以班为单位各自购票的方式节约多少呢？
【答案】（1）（一）班有学生名，（二）班有学生名
（2）节约元
【解析】
【分析】（1）设（一）班有学生名，（二）班有学生名，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）分别算出两种方式，比较购票费用即可求解．
【小问1详解】
解：设（一）班有学生名，（二）班有学生名，由题意，得

解得
答：（一）班有学生名，（二）班有学生名．
【小问2详解】
两个班合在一起统一购票总价为：（元），
∴（元）．
答：如果两个班合在一起统一购票，比以班为单位各自购票节约元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的乘法的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
25. 在中，，点为边上的动点，连接，将沿直线翻折，得到对应的．

（1）如图1，当于点时，求证：；
（2）若，．
①如图2，当，，三点在同一条直线上时，求的长（用含的代数式表示）；
②连接，，当时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）①，②或
【解析】
【分析】（1）由得出，根据折叠性质得出，进而得出，根据等角对等边即可得证；
（2）①设，则，在中，勾股定理得出，进而根据折叠的性质，以及勾股定理得出的长为；
②方法一：情形①过点在直线上方时，过作交的延长线于点，在中，，，根据勾股定理得出，证明，进而得出，根据，即可求解；情形②当点在直线下方时．过作交的延长线于点．同①，可证，在中，，．得出，勾股定理得出，进而即可求解；
方法二：①当点在直线上方时，取的中点，连接，得出过作于点，②当点在直线下方时．
取的中点，连接，过作交的延长线于点，同理可得，，进而即可求解
【小问1详解】
解：∵，
∴．
∴．
∵将沿直线翻折，得到对应的
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
【小问2详解】
①设，则．
在中，．
∵将沿直线翻折，得到对应的，
∴，．
∴．
即．
解得．
即的长为．

②方法一：情形①过点在直线上方时．
过作交的延长线于点．
∴．
∴，．
∴．
在中，，，
∴．
∴．
解得．
∴，．
∴，．
又∵，
∴．
∴．
∵，，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．

情形②当点在直线下方时．
过作交的延长线于点．
同①，可证．
∴．
∴
∴是等腰直角三角形．
在中，，．
∴．
∴．
∴．
综上所述，或．

方法二：
情形①当点在直线上方时，
取的中点，连接，
∴．
在中，．
∵将沿直线翻折，得到对应的，
∴．
∴．
∴．
∴．
过作于点，
∴．即点与点重合．
∵，
∴．
∵，
∴．

情形②当点在直线下方时．
取的中点，连接，
∴．
在中，
．
∵将沿直线翻折，得到对应的，
∴．
∴．
∴．
过作交的延长线于点，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
综上所述，或．

【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握折叠的性质是解题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，，点在轴的负半轴上，且，点是线段上的动点（点不与，重合），以为斜边在直线的右侧作等腰．

（1）求直线的函数表达式；
（2）如图1，当时，求点的坐标；
（3）如图2，连接，点是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）是，．
【解析】
【分析】（1）在中，令，求得点的坐标为，结合可得点的坐标为，设直线的表达式为，代入法可求解；
（2）设，在等腰中，结合点得，在中，令，得点的坐标为，求出，由建立方程求解即可；
（3）延长到点，使得，连接，，设，，易证可得 ，，依据三角形外角得到即，从而求出及，得到，进而证明，得到，可证得是等腰直角三角形得到结论．
【小问1详解】
解：在中，
令，得，
∴点的坐标为，
∴，
∴点的坐标为，
设直线发表达式为，
则
解得：，
∴直线的函数表达式为：；
【小问2详解】
设，
在等腰中，
，
∵点，，
∴，
∴，
在中，
令，得，
解得，
∴点的坐标为，
∴

，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴点的坐标为；
【小问3详解】
的大小是定值，，
理由如下：
延长到点，使得，连接，，
设，，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点坐标，勾股定理解直角三角，全等三角形的判定和性质，三角形外角及与三角形有关的角的计算；解题的关键是熟练掌握一次函数与坐标轴交点及代入法求函数解析式，运用倍长中线法构造全等三角形从而进行角的加减运算．