数学12.1 全等三角形同步测试题

必考点06  添加辅助线构造全等三角形的技巧

●题型一  添加公共边构造全等三角形

【例题1】如图，AB＝AC，BD＝CD．

（1）求证：∠B＝∠C

（2）若∠A＝2∠B，求证：∠BDC＝4∠C．

【例题2】如图，已知CA＝CB，AD＝BD，M，N分别是CB，CA的中点，求证：DN＝DM．

【例题3】（2022秋•韩城市月考）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，且AB＝AD，AC＝AE，连接CD，EB．

（1）求证：∠CAD＝∠EAB；

（2）试判断CF与EF的数量关系，并说明理由．

【解题技巧提炼】

当图形中直接证明全等条件不够时，有时可以连接公共边构造全等三角形，再利用全等三角形的判定与性

质解决问题.

●题型二  巧用角平分线构造全等三角形

【例题4】如图，AD∥BC，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，过点P的直线垂直于AD，垂足为D，交BC于点C．试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？

【例题5】（2021春•酒泉期末）如图所示，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC延长线于点G．求证：BF＝CG．

【例题6】感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC．

探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC．

应用：如图③，四边形ABCD中，∠B＝60°，∠C＝120°，DB＝DC＝a，求AB﹣AC的值（用含a的代数式表示）

【解题技巧提炼】

当题中出现角平分线的条件或结论时，常向角的两边作垂线段，构造全等三角形，在利用全等三角形

的判定和性质解决问题.

●题型三  “倍长中线法”构造全等三角形

【例题7】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程．

（1）求证：△ADC≌△EDB

证明：∵延长AD到点E，使DE＝AD

在△ADC和△EDB中

AD＝ED（已作）∠ADC＝∠EDB（ 　         　）　 CD＝BD（中点定义）

∴△ADC≌△EDB（ 　　）

（2）探究得出AD的取值范围是 　           　；

【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．

【问题解决】

（3）如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的长．

【例题8】（2022春•碑林区校级期末）问题提出:

（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，连接CD并延长至E，使得DE＝CD，连接EB，根据SAS可证△CDA≌△EDB，从而得到∠A＝∠EBD，进而得到AC∥EB，再由∠ACB＝90°，得到∠EBC＝90°，再根据SAS可证△ABC≌△ECB，从而得到AB与CD之间的数量关系为 　    　．

问题解决

（2）如图②，在△ABC中，过点C作CA'⊥CA，CB'⊥CB，使得CA'＝CA，CB'＝CB，连接A'B'，E为A'B'的中点．连接CE，求证：CEAB；

【解题技巧提炼】

当三角形中有中点或中线时，常倍长中线，构造全等三角形，转换边、角条件，从而将分散

的边、角集中在一个图形中，使问题得到解决．

●题型四  利用“截长补短法”构造全等三角形

【例题9】（2021秋•五峰县期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，

学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．

截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；

补短法：延长较短线段和较长线段相等．

这两种方法统称截长补短法．

请用这两种方法分别解决下列问题：

已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点，

求证：AB﹣AC＞PB﹣PC．

【例题10】（2021秋•泊头市期中）[阅读]在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系，截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．

[应用]把两个全等的直角三角形的斜边重合，∠CAD＝∠CBD＝90°，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．

（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，证明：AM+BN＝MN；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长CB到点E，使BE＝AM，连接DE，先证明△DAM≌△DBE，再证明△MDN≌△EDN，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；

（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明）

（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图③，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系？证明你的结论．

【解题技巧提炼】

在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系，截长法：将较长的线

段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较

长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．

●题型五  利用“一线三等角模型”构造全等三角形

【例题11】如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，6），求点A的坐标．

【例题12】已知C，D过∠BCA顶点的一条直线，CA＝CB，E，F是直线CD上的两点，且∠BEC＝∠CFA．

（1）如图（1），若∠BCA＝90°，∠BEC＝∠CFA＝90°，则BE＝　   　CF（填“＞”、“＜”或“＝”）

（2）如图（2），∠BCA+∠BEC＝180°，则（1）中的结论是否成立？为什么？

（3）如图（3），若∠BEC＝∠CFA＝∠BCA，则线段EF，BE，AF之间有何数量关系？说明理由．

【解题技巧提炼】

“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形，这个角可以是直角也可以是锐角或钝角，有些时候我们也称之为“M型”“三垂直”等. 

“一线三等角”----三垂直全等模型辅助线如何构造: 图形中存在“一线二等角”,补上“一等角”构造模型解题.

◆◆题型一  添加公共边构造全等三角形

1．如图：已知AD、BC相交于O，且AB＝CD，AD＝CB．

求证：∠B＝∠D．

2．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，AD＝BC，则∠A＝∠C，请说明理由；AB与CD相互平行吗？为什么？

3．如图，在Rt△ACB和Rt△AED中，已知AB＝AD，∠1＝∠2，求证：EG＝CG．

◆◆题型二  巧用角平分线构造全等三角形

4．已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，DB＝DA，DM⊥BE于M．

（1）求证：AC＝BM+CM；

（2）若AC＝10，BC＝6，求CM的长．

5．（2021秋•东莞市校级期末）如图，∠B＝90°，∠C＝90°，E为BC中点，DE平分∠ADC．

（1）求证：AE平分∠DAB；

（2）求证：AE⊥DE；

（3）求证：DC+AB＝AD．

◆◆题型三  “倍长中线法”构造全等三角形

6．如图，△ABC中，E，F分别在AB，AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小．

7．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，CD＝AB，AE是△ABD的边BD上的中线．

求证：AC＝2AE．

◆◆题型四  利用“截长补短法”构造全等三角形

8.（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，

若EF＝BE+FD．求证：∠EAF∠BAD

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，证明你的结论．

◆◆题型五  利用“一线三等角模型”构造全等三角形

9．（2022•南京模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°点D在BC的延长线上，且BD＝AB．过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．

（1）求证：△ABC≌△BDE；

（2）请找出线段AB、DE、CD之间的数量关系，并说明理由．

10．如图，已知AB⊥BC，AE⊥BE，CD⊥BE，垂足分别为B，E，D，AB＝BC．求证：（1）△ABE≌△BCD；

（2）DE＝CD﹣AE．

11．在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，且OA＝3．

（1）如图①，OB＝5，以A为直角顶点，在第三象限内作等腰Rt△ABC，求点C的坐标．

（2）如图②，以y轴负半轴一点P，作等腰直角三角形Rt△APD，其中∠APD＝90°，过点D作DE⊥x轴于点E，求OP﹣DE的值．

1．如图所示，D是四边形AEBC内一点，联结AD，BD，已知CA＝CB，DA＝DB，EA＝EB，请问C，D，E三点在一条直线上吗？为什么？

2．如图所示，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，AD＝BC，DE＝BF，且点E、F分别在AD、CB的延长线上．求证：BE＝DF．

3．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2＝∠1+∠C．

4．（2021秋•惠阳区校级月考）如图①所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N．

（1）求证：MN＝AM+BN；

（2）如图②，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

5．如图，P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P转动的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，求证：PM＝PN．

【拓展1】OM+ON的值是否为定值？请说明理由．

【拓展2】四边形PMON的面积是否为定值？请说明理由．

6．（2022春•丰城市校级期末）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．

（1）求证：△ABC≌△ADE；

（2）求证：CD＝2BF+DE．

7．（2022秋•如皋市校级月考）已知在平面直角坐标系中A（0，2），P（3，3），且PA⊥PB．

（1）如图1，求点B的坐标；

（2）如图2，若A点运动到A1位置，B点运动到B1位置，仍保持PA1⊥PB1，求OB1﹣OA1的值．

8．（2022春•富平县期末）问题情境：

（1）如图1，∠AOB＝90，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，过点P作PN⊥OA于点N，作PM⊥OB于点M，请写出PE与PF的数量关系 　       　；

变式拓展：

（2）如图2，已知OC平分∠AOB，P是OC上一点，过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F，∠MPN＝∠EPF．

试解决下列问题：

①PE与PF之间的数量关系还成立吗？为什么？

②若OP＝2OM，试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由．

9.已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABC放在平面直角坐标系中，如图所示．

（1）如图1，若A（1，0），B（0，3），求C点坐标；

（2）如图2，若A（1，3），B（﹣1，0），求C点坐标；

（3）如图3，若B（﹣4，0），C（0，﹣1），求A点坐标．

10．（2021秋•铁锋区期末）【问题背景】

如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　            　．

【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

【学以致用】

如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．

11．（2022秋•南关区校级月考）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：

[模型呈现]

如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝　    　，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；

[模型应用]

如图2，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为       　．

A.50    B.62      C.65      D.68

[深入探究]

如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；