数学人教版13.3.1 等腰三角形测试题

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必考点09 等腰三角形的性质与判定



●题型一 等腰三角形的分类讨论问题
★★★1、解决边的分类讨论问题
【例题1】（2022秋•南岗区校级月考）已知等腰三角形的两边长分别为7和3，则周长是（　　）
A．13 B．17 C．18 D．19
【分析】分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．
【解答】解：当3是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，舍去；
当7是腰时，则三角形的周长是3+7×2＝17．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．
【例题2】（2021秋•东莞市期中）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．
（2）能围成有一边的长是5cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设底长为xcm，则腰边长为 2xcm，根据周长列方程得到x+2x+2x＝20，然后解方程求出x，从而得到三角形的底边与腰长；
（2）当腰为5cm时，底边长为10cm，不符合三角形三边的关系，故舍去；当底边长为5cm，腰长为7.5cm．
【解答】解：（1）设底长为xcm，则腰边长为 2xcm，
根据题意得x+2x+2x＝20，
解得x＝4，
当x＝4时，2x＝8，
所以三角形的腰长为8cm、8cm，底边长为4cm；
（2）能．
当腰为5cm时，底边长为20﹣5﹣5＝10（cm），
而5+5＝10，不符合三角形三边的关系，故舍去；
当底边长为5cm，腰长为12×（20﹣5）＝7.5（cm），
综上所述，能围成有底边长是5cm，腰长为7.5cm的等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．也考查了三角形三边的关系．

★★★2、解决角的分类讨论问题
【例题3】（2022春•子洲县期末）已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（　　）
A．50° B．65°
C．50°或65° D．50°或80°或65°
【分析】此题分为：∠A为顶角、∠B为顶角和∠A、∠B同为底角，再根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质求得∠B的度数．
【解答】解：当∠A为顶角时，则∠B=180°−∠A2=65°；
当∠B为顶角时，则∠B＝180°﹣2∠A＝80°；
当∠A、∠B为底角时，则∠B＝∠A＝50°．
故选：D．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意分类讨论．

【例题4】（2022秋•长汀县校级月考）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　）
A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30°
【分析】方法1：首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案．
方法2：读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．
【解答】解：方法1：根据题意得：AB＝AC，BD⊥AC，
如图（1），∠ABD＝60°，
则∠A＝30°；
如图（2），∠ABD＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°．
故这个等腰三角形的顶角等于30°或150°．
方法2：①当为锐角三角形时可以画图，
高与左边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为180°﹣90°﹣60°＝30°，
②当为钝角三角形时可画图，
此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°，
∴三角形的顶角为180°﹣30°＝150°．
故选：D．


【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
★★★3、确定等腰三角形的分类讨论问题
【例题5】（2021•牡丹江）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为
等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 ．
【分析】首先根据题意画出符合题意的所有图形，然后利用等腰三角形求解即可求得答案．
【解答】解：（1）如图，△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，求∠ABC的度数．

∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∴∠ABC=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，
∵∠CDA=2∠ABC，
∴∠CAB=3∠ABC，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠ABC=180°，
∴∠ABC=36°，
（2）如图，△ABC中，AB=AC，AD=BD=CD，求∠ABC的度数．

∵AB=AC，AD=BD=CD，
∴∠B=∠C=∠DAC=∠DAB,
∴∠BAC=2∠ABC，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴4∠ABC=180°，
∴∠ABC=45°，
故答案为：36°或45°．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．注意分类
讨论思想的应用是解此题的关键．
【例题6】（2021秋•克东县期末）如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB＝AB时，②当OA＝AB时，③当OA＝OB时，分别求得符合的点B，即可得解．
【解答】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：
①当OB＝AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；

②当OA＝AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；

③当OA＝OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，

1+1+2＝4，
故选：D．
【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；分类讨论是解决本题的关键．

【解题技巧提炼】
解决等腰三角形的分类讨论问题时，主要从边，分为腰和底来讨论；角：分为顶角和底角来讨论；一腰上的高问题：要分锐角和钝角三角形来讨论；在讨论的时候有时利用等腰三角形的性质和判定时需要用到方程的思想和三角形的内角和定理来解决.

●题型二 等腰三角形的性质
★★★1、利用等腰三角形的性质求角的度数
【例题7】（2022•梅江区校级开学）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．BD平分∠ABC，则∠BDC是（　　）

A．36° B．60° C．72° D．80°
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可得∠ABC的度数，再根据角平分线的定义可得∠ABD的度数，然后根据三角形的外角性质解答即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC=180°−36°2=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=12∠ABC＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；
【例题8】（2022•南京模拟）如图，在△ABC中，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A等于（　　）

A．45° B．30° C．60° D．75°
【分析】设∠EBD＝x，根据等腰三角形的性质可得∠EBD＝∠EDB＝x，再利用三角形的外角性质可得∠AED＝2x，然后利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠AED＝2x，从而利用三角形的外角性质可得∠BDC＝3x，再利用等腰三角形的性质可得∠BDC＝∠C＝∠ABC＝3x，最后根据三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：设∠EBD＝x，
∵DE＝EB，
∴∠EBD＝∠EDB＝x，
∴∠AED＝∠EBD+∠EDB＝2x，
∵AD＝DE，
∴∠A＝∠AED＝2x，
∴∠BDC＝∠A+∠EBD＝3x，
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠C＝3x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝3x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴2x+3x+3x＝180°，
∴x＝22.5°，
∴∠A＝2x＝45°，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，灵活运用相关性质是解题的关键．
★★★2、利用等腰三角形的性质求线段长
【例题9】（2022春•城固县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若DE＝4，则CF的长为 　 　．

【分析】由等腰三角形的性质得到△ABC是△ACD的面积的两倍，然后用等面积法求得DE和CF的关系，进而得到CF的长．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ACD＝2×12×DE•AC＝DE•AC，
∵S△ABC=12AB•CF，
∴12AB•CF＝DE•AC，
∵AC＝AB，
∴12CF＝DE，
∵DE＝4，
∴CF＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、解题的关键是熟练应用等面积法求高．
★★★3、证明等腰三角形中角之间的数量关系
【例题10】如图，已知AB=AC，BD⊥AC于点D，求证：∠DBC=∠BAC．

【分析】过点A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CAE= 12∠BAC，再根据同角的余角相等求出∠DBC=∠CAE，从而得证．
【解答】证明:过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴∠CAF=∠BAF=12∠BAC，
∵AF⊥BC，BD⊥AC ，
∴∠AFC=∠BDC=90°，即∠CAF+∠C=∠DBC+∠C=90°，
∴∠DBC= ∠CAF，
∴∠DBC = 12∠BAC.
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
★★★3、利用等腰三角形性质证明线段相等
【例题11】已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB=AC，AP=AQ．求证：BP=CQ．

【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BO=CO，PO=QO，根据等式的性质，可得答案．
【解答】证明：过点A作AO⊥BC于O．  
∵AB=AC，AO⊥BC，
∴BO=CO，                          
∵AP=AQ，AO⊥BC ，
∴PO=QO ,                   
∴BO-PO=CO-QO
∴BP=CQ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用线段垂直平分线的性质是解题关键．
【解题技巧提炼】
等腰三角形的性质:
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．（简称：等边对等角）
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．（三线合一）
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．

●题型三 等腰三角形的判定
【例题12】（2021秋•鹿邑县期末）在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB≠AC，若用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点D，使△ACD是等腰三角形，则下列作法中，正确的有（　　）

A．②③ B．①② C．①③ D．①②③
【分析】根据作图痕迹可知，图①作的是∠BAC的平分线，图②作的是CA＝CD，图③作的是AC的垂直平分线，然后逐一判断即可解答．
【解答】解：图①：由题意得：AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD=12∠BAC＝45°，
∵∠BAC＝90°，AB≠AC，
∴∠B≠∠C≠45°，
∴∠C≠∠CAD，
∴△ACD不是等腰三角形，
故①错误；
图②：由题意得：
CA＝CD，
∴△ACD是等腰三角形，
故②正确；
图③：由题意得：
点D在AC的垂直平分线上，
∴DA＝DC，
∴△ACD是等腰三角形，
故③正确，
所以，上列作法中，正确的有：②③，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．
【例题13】（2021春•东城区校级期末）已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，
∠3＝∠4．求证：△ABC是等腰三角形．

【分析】由∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据三角形外角的性质，易证得∠B＝∠C，然后由等角对等边，证得：△ABC是等腰三角形．
【解答】证明：∵∠B＝∠3﹣∠1，∠C＝∠4﹣∠2，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与三角形外角的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
【例题14】已知如图，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，FD＝FE．求证：△ABC是等腰三角形．

【分析】过点D作DG∥AE于点G，利用平行线的性质得出∠GDF＝∠CEF，进而利用ASA得出△GDF≌△CEF，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可．
【解答】证明：过点D作DG∥AE于点G，
∵DG∥AC
∴∠GDF＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），
在△GDF和△CEF中，
∠GDF=∠CEFDF=EF∠DFG=∠CFE，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴DG＝CE
又∵BD＝CE，
∴BD＝DG，
∴∠DBG＝∠DGB，
∵DG∥AC，
∴∠DGB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
【解题技巧提炼】
等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简称：等角对等边）
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．

●题型四 等腰三角形的性质与判定的综合应用
【例题15】（2022秋•通州区校级月考）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，△AMN的周长为33，AB＝15，则AC为（　　）

A．15 B．18 C．20 D．23
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△MBO和△NCO是等腰三角形，从而可得MO＝MB，NO＝NC，然后根据线段的和差关系可得，△AMN的周长＝AB+AC，进行计算即可解答．
【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，
∴MO＝MB，NO＝NC，
∵△AMN的周长为33，AB＝15，
∴AM+MN+AN＝33，
∴AM+OM+ON+AN＝33，
∴AM+MB+CN+AN＝33，
∴AB+AC＝33，
∴AC＝18，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
【例题16】（2021秋•陇县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，
BE＝3，则AC＝（　　）

A．10 B．11 C．13 D．15
【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM＝5，BM＝2BE＝6，再利用∠4是△BCM的外角，利用等腰三角形判定得到CM＝BM，利用等量代换即可求证．
【解答】解：延长BE交AC于M，


∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM＝5，
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE＝6，
∵∠4是△BCM的外角，
∴∠4＝∠5+∠C，
∵∠ABC＝3∠C，
∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5，
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C，
∴∠5＝∠C，
∴CM＝BM＝6，
∴AC＝AM+CM＝AB+2BE＝11．
故选：B．
【点评】此题考查等腰三角形的判定与性质，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，准确添加辅助线构建等腰三角形是解题关键．
【例题17】（2022春•神木市期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BP、CQ是△ABC两腰上的高，BP与CQ交于点O．求证：△BCO是等腰三角形．

【分析】由题意可求得∠ABC＝∠ACB，再由高得∠BQC＝∠CPB＝90°，从而可求得∠OBC＝∠OCB，即有OB＝OC，从而得证△BCO是等腰三角形．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BP、CQ是△ABC两腰上的高，
∴∠BQC＝∠CPB＝90°，
∵∠OBC＝90°﹣∠ACB，∠OCB＝90°﹣∠ABC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴△BCO为等腰三角形．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，等腰三角形的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角之间的关系．
【解题技巧提炼】
等腰三角形的判定与性质：
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线.

●题型五 利用等腰三角形的性质解决实际问题
【例题18】（2021秋•江州区期末）如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离为（　　）

A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．求不出来
【分析】由上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里的时速向正北航行，10时到达海岛B处，可求得AB的长，又由∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，可得∠C＝∠NAC，即可证得BC＝AB，则可得从海岛B到灯塔C的距离．
【解答】解：根据题意得：AB＝2×15＝30（海里），
∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，
∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°，
∴∠C＝∠NAC，
∴BC＝AB＝30海里．
即从海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

【例题19】（2022春•青岛期末）如图，∠AOB是一钢架，∠AOB＝18°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与OE的长度相等，则最多能添加的钢管根数为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．无数
【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．
【解答】解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB＝18°，
∴∠GEF＝∠FGE＝36°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是18°，第二个是36°，第三个是54°，四个是72°，五个是90°就不存在了．
所以一共有4个．
故选：A．
【点评】此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．

【解题技巧提炼】
利用等腰三角形的性质解决实际问题时，主要利用了等边对等角的性质和三角形外角的性质

●题型六 与等腰三角形相关的探究题
【例题20】（2021秋•青县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变 　 　（填“大”或“小”）；
（2）在点D的运动过程中，当∠BDA的度数是 　 　时，△ADE是等腰三角形．

【分析】（1）结合图形分析即可解答；
（2）分三种情况，当AD＝AE时，当DA＝DE时，当EA＝ED时，然后利用等腰三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：（1）点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变小，
故答案为：小；
（2）分三种情况：
当AD＝AE时，
∴∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED是△DEC的外角，
∴∠AED＞∠C，
此种情况不存在，
当DA＝DE时，
∵∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝∠DEA＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝110°，
当EA＝ED时，
∴∠EAD＝∠ADE＝40°，
∵∠C＝40°，
∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝80°，
综上所述：∠BDA的度数是110°或80°，
故答案为：110°或80°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，分三种情况讨论是解题的关键．

【解题技巧提炼】
解决与等腰三角形相关的探究题时，主要是综合运用等腰三角形的性质和判定，有时会用到分类讨论的思想来解决问题.








◆◆◆题型一 等腰三角形的分类讨论问题
1．（2021秋•东莞市期末）若一条长为24cm的细线能围成一边长等于9cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为 　 　cm．
【分析】分两种情况，9cm为等腰三角形的腰，9cm为等腰三角形的底．
【解答】解：分两种情况：
当9cm为等腰三角形的腰时，底边长＝24﹣9×2＝6cm，
∴三角形的三边分别为9cm，9cm，6cm，
当9cm为等腰三角形的底时，腰长=12×（24﹣9）＝7.5cm，
∴三角形的三边分别为7.5cm，7.5cm，9cm，
综上所述：该等腰三角形的腰长为9cm或7.5cm，
故答案为：9或7.5．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，分类讨论是解题的关键．
2．（2022春•巴中期末）在等腰△ABC中有一个角是50°，那么另外两个角分别是（　　）
A．50°、80° B．50°、80°或 65°、65°
C．65°、65° D．无法确定
【分析】根据等腰三角形的性质分∠B为顶角或底角两种情况求解即可．
【解答】解：当∠B＝50°为顶角时，
此时∠A＝∠C=180°−50°2=65°；
当∠B＝50°为底角时，
此时另一底角为50°，顶角为80°，
故另外两个角分别是50°，80°或65°，65°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，注意此题有两种情况．

3．（2022春•蓬莱市期末）等腰三角形顶角为86°，则腰上的高与底边所成的角的度数为（　　）
A．4° B．43° C．47° D．53°
【分析】结合题意画出图形，可先求得两底角的大小，再结合直角三角形两锐角互余可求得答案．
【解答】解：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝86°，过C作CD⊥AB，垂足为D，
∴∠B=180°−∠A2=180°−86°2=47°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠DCB＝90°，
∴∠DCB＝90°﹣47°＝43°，
即腰上的高与底边所成的角的度数为43°．
故选：B．

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理是解题的关键．
4．（2022春•泰和县期末）在△ABC中，∠B＝36°，点P是射线BA上的任意一点，当△PBC为等腰三角形时，∠BPC的度数为 　 　．
【分析】根据题意结合等腰三角形的性质分三种情况求解即可．
【解答】解：①如图，当BP＝CP时，

∵BP＝CP，∠B＝36°，
∴∠B＝∠BCP＝36°，
∴∠BPC＝180°﹣∠B﹣∠BCP＝180°﹣36°﹣36°＝108°；
②如图，当BC＝CP时，

∵BC＝CP，∠B＝36°，
∴∠BPC＝∠B＝36°；
③如图，当BC＝BP时，

∵BC＝BP，∠B＝36°，
∴∠BPC＝∠BCP=12×（180°﹣∠B）=12×（180°﹣36°）＝72°，
故答案为：108°或36°或72°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记“等边对等角”是解题的关键．

◆◆◆题型二 等腰三角形的性质
5．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（　　）

A．39° B．40° C．49° D．51°
【分析】利用等边对等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，
∴∠B＝∠ACB＝78°．
∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，
∴∠D＝∠CAD=12∠ACB＝39°．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难度不大．
6．（2021秋•交城县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F，求证：AE＝FE．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠C＝40°，
∴∠B＝∠C＝40°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝50°；
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵EF∥AC，
∴∠F＝∠CAF，
∴∠F＝∠BAF，
∴AE＝FE．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的等边对等角解答．

◆◆◆题型三 等腰三角形的判定
7．（2022春•杨浦区校级期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，点D、E在AB上，如果BC＝BD，∠CED＝∠CDE，那么图中的等腰三角形共有（　　）个．

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】先求出各个角的度数，然后根据等腰三角形的判定即可求出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝36°，
∴∠A＝54°，
∵BC＝BD，
∴∠CDB＝∠DCB＝72°，
∴∠ECB＝36°，∠ACE＝54°，
∴CE＝BE，AE＝CE，
∴△BCD，△CDE，△CEB，△ACE都是等腰三角形，
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是求出各个角的度数，本题属于基础题型．

8．（2022秋•镇江月考）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（　　）

A．5 B．6 C．8 D．9
【分析】分三种情况：当BA＝BC时，当AB＝AC时，当CA＝CB时，然后进行分析即可解答．
【解答】解：如图：

分三种情况：
当BA＝BC时，以点B为圆心，BA长为半径作圆，点C1，C2，C3即为所求；
当AB＝AC时，以点A为圆心，AB长为半径作圆，点C4，C5，C6，C7，C8即为所求；
当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上，
综上所述：满足条件的格点C的个数是8，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．
9．（2021秋•历下区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：△ABC是等腰三角形．

【分析】由条件可得出DE＝DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B＝∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C；
∴AB=AC
∴△ABC为等腰三角形．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出DE＝DF是解题的关键．

◆◆◆题型四 等腰三角形的性质与判定的综合应用
10．（2020秋•兰山区期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．9
【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得EG＝EB，DF＝DC即可求得结果．
【解答】解：∵ED∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠GCB，
∵∠DBF＝∠FBC，∠ECG＝∠GCB，
∴∠DFB＝∠DBF，∠ECG＝∠EGC，
∴BD＝DF，CE＝GE，
∵FG＝2，ED＝6，
∴DB+EC＝DF+GE＝ED﹣FG＝6﹣2＝4，
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明．
11．（2021秋•渌口区期末）如图，在△ABC中，BC＝15厘米，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长为 　 　．

【分析】根据平行线的性质可证明△DPB和△EPC为等腰等角线，从而将△PDE的周长转化为BC的长．
【解答】解：∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠APB＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝15cm．
故答案为：15cm．
【点评】本题考查平行线的性质和等腰三角形的判定与性质，解题关键是根据图形熟练运用平行线的性质进行角的转化．

12．（2021秋•合川区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝105°，AD⊥BC，垂足为D，若AB+BD＝CD，求∠B的度数.

A．20° B．25° C．45° D．50°
【分析】延长DB至E，使BE＝AB，连接AE，则DE＝CD，从而可求得∠C＝∠E，再根据外角的性质即可求得∠ABD＝2∠E，根据三角形内角和公式即可求得∠C的度数，于是得到结论．
【解答】解：延长DB至E，使BE＝AB，连接AE．
∵AB+BD＝CD，
∴BE+BD＝CD，
∴DE＝CD
∵AD⊥BC，
∴AE＝AC，
∴∠C＝∠E；
∵BE＝AB，
∴∠E＝∠BAE，
∴∠ABD＝∠E+∠BAE＝2∠E＝2∠C；
∵∠ABC+∠C+∠BAC＝2∠C+∠C+105°＝180°，
∴∠C＝25°，
∴∠ABC＝2∠C＝50°，

【点评】此题考查了等腰三角形的判定和性质及三角形内角和定理等知识点的综合运用．作出辅助线是正确解答本题的关键．

◆◆◆题型五 利用等腰三角形的性质和判定解决实际问题
13．（2022春•富平县期末）如图，大海中有两个岛屿A与B，∠BEQ＝30°，在海岸线PQ上的点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若在海岸线PQ上的点E处测得∠AEP＝74°，求∠BAE的度数．

【分析】（1）根据条件可知∠AFB＝60°，进一步可证△FEA≌△FBA（SAS），即可得证；
（2）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠BAE的度数．
【解答】（1）证明：∵∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，
∴∠AFB＝60°，
∴∠AFE＝∠AFB，
∵∠BEQ＝30°，
∴∠EBF＝30°，
∴∠BEQ＝∠EBF，
∴FE＝FB，
在△FEA和△FBA中，
FE=FB∠AFE=∠AFBAF=AF，
∴△FEA≌△FBA（SAS），
∴AE＝AB；
（2）解：∵∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°，
∴∠AEB＝76°，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB＝76°，
∴∠BAE＝28°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
14．（2021春•岳麓区月考）如图所示，AOB是一钢架，设∠AOB＝α，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，若最多能添加这样的钢管4根，则α的取值范围是　 ．

【分析】由等腰三角形的性质和外角性质可得，∠GEF＝2α，∠GFH＝3α，∠HGB＝4α，由题意可列不等式组，即可求解．
【解答】解：∵OE＝EF，
∴∠EOF＝∠EFO＝α，
∴∠GEF＝∠EOF+∠EFO＝2α，
同理可得∠GFH＝3α，∠HGB＝4α，
∵最多能添加这样的钢管4根，
∴4α＜90°，5α≥90°，
∴18°≤α＜22.5°，
故答案为18°≤α＜22.5°．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定和性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．

◆◆◆题型六 与等腰三角形相关的探究题
15．（2022秋•吴江区校级月考）如图，△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）如图①，若AB≠AC，图中有哪几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图②，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB
于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？有哪几个？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．


【分析】（1）由EF∥BC，可得∠EOB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠OCB＝∠FCO，于是得到△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证；
（2）根据平行线的性质和角平分线定义得到△BEO是等腰三角形，在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，
【解答】解：（1）△EOB、△FOC为等腰三角形，EF＝BE+CF，
理由：∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠OCB＝∠FCO，
即EO＝EB，FO＝FC，
∴EF＝EO+OF＝BE+CF；
（2）△EOB和△FOC是等腰三角形，EF＝BE﹣FC．理由如下：
同（1）可证得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，
∴∠FOC＝∠OCG；
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO＝∠FOC＝∠OCG，
∴FO＝FC，故△FOC是等腰三角形；
∴EF＝EO﹣FO＝BE﹣FC．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的定义等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．



1．（2022春•雁塔区校级期中）等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角是（　　）
A．35° B．55° C．35°或55° D．55°或70°
【分析】本题可先求出与70°角相邻的三角形的内角度数，然后分两种情况求解即可．
【解答】解：∵等腰三角形的一个外角为70°，
∴与它相邻的三角形的内角为110°；
①当110°角为等腰三角形的底角时，两底角和＝220°＞180°，不合题意，舍去；
②当110°角为等腰三角形的顶角时，底角＝（180°﹣110°）÷2＝35°．
因此等腰三角形的底角为35°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．

2．（2022秋•香坊区校级月考）下列说法错误的是（　　）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等
C．等腰三角形的两个底角相等
D．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
【分析】根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：A、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故A错误，符合题意；
B、三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故B正确，不符合题意；
C、等腰三角形的两个底角相等，故C正确，不符合题意；
D、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，故D正确，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
3．（2022秋•栖霞区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD．则下列结论：①∠C＝2∠A；②BD平分∠ABC；③BC＝AD；④OD＝2CD．正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，根据线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，可求得∠ABD＝∠DBC＝∠A＝36°，∠ABC＝∠BDC＝∠C＝72°，继而求得：①∠C＝2∠A；②BD平分∠ABC；③BC＝AD．
【解答】解：∵AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠C＝2∠A，故①正确；
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝36°，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴BD平分∠ABC，故②正确；
∴∠BDC＝∠C＝72°，
∴BC＝BD＝AD，故③正确；
由条件不能得出OD＝2CD，故④错误．
故选：C．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

4．（2021秋•莒南县期中）下列给出的5个图中，能判定△ABC是等腰三角形的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①根据三角形内角和定理得∠A≠∠B≠∠C，则△ABC不是等腰三角形；
②证出∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形；
③由平行线的性质得∠C＝∠CAD＝50°，则∠B＝∠C，得△ABC是等腰三角形；
④由平行线的性质得∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝60°，则∠BAC＝∠BCA，得△ABC是等腰三角形；
⑤先由平行线的性质得∠A＝∠D＝30°，再由三角形的外角性质得∠B＝60°﹣∠A＝30°，则∠B＝∠A，得△ABC是等腰三角形；即可得出结论．
【解答】解：图①中，∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣66°＝44°，
∴∠A≠∠B≠∠C，
∴△ABC不是等腰三角形；
图②中，∵∠B+∠C＝140°，∠B＝70°，
∴∠C＝140°﹣70°＝70°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
图③中，∵AD∥BC，
∴∠C＝∠CAD＝50°，
∵∠B＝50°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
图④中，∵AD∥BC，
∴∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BAC＝60°﹣30°＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴△ABC是等腰三角形；
图⑤中，∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D＝30°，
∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，
∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，
∴∠B＝∠A，
∴△ABC是等腰三角形；
能判定△ABC是等腰三角形的有4个，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握等腰三角形的判定和平行线的性质是解题的关键．
5．（2021秋•长春期末）若△ABC中刚好有∠B＝2∠C，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（　　）
A．45°或36° B．72°或36°
C．45°或72° D．45°或36°或72°
【分析】分设三角形底角为α，顶角为2α或设三角形的底角为2α，顶角为α，根据三角形的内角和为180°，得出答案．
【解答】解：①设三角形底角为α，顶角为2α，
则α+α+2α＝180°，
解得：α＝45°，
②设三角形的底角为2α，顶角为α，
则2α+2α+α＝180°，
解得：α＝36°，
∴2α＝72°，
∴三角形的“可爱角”应该是45°或72°，
故选：C．
【点评】本题是新定义题，主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，运用分类思想是解题的关键．

6．（2022秋•崇川区校级月考）在等腰三角形ABC中，CA＝CB，过点A作△ABC的高AD．若∠ACD＝30°，则这个三角形的底角与顶角的度数比为（　　）
A．2：5或10：1 B．1：10 C．5：2 D．5：2或1：10
【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况讨论求解即可．
【解答】解：如图，△ABC是锐角三角形时，

∵CA＝CB，∠ACD＝30°，
∴∠CAB＝∠B=12×（180°﹣∠ACD）＝75°，
∴这个三角形的底角与顶角的度数比为：75°：30°＝5：2；
如图，△ABC是钝角三角形时，

∵∠ACD＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACD＝150°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠B=12×（180°﹣∠ACD）＝15°，
∴这个三角形的底角与顶角的度数比为：15°：150°＝1：10；
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
7．（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据“两圆一线”画图找点即可．
【解答】解：如图，C点与P、Q、R重合时，均满足△ABC是等腰三角形，

故选：C．
【点评】本题考查“两圆一线”构造等腰三角形的方法，熟练使用两圆一线的方法是解题关键．
8．（2021秋•惠州期末）如图，在△ABC中，且∠ABC＝60°，且∠C＝45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于F，交AC于E，则图中等腰三角形的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据三角形高线的性质及直角三角形的性质推出∠ADC＝∠ADB＝90°，∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，从而利用等腰三角形的判定定理得到△ADC是等腰三角形，再根据角平分线的性质得到∠ABF＝∠CBE=12∠ABC＝30°，从而由∠ABF＝∠BAD推出△ABF是等腰三角形，而∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，进而求解．
【解答】解：∵AD是边BC上的高线，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，
∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，
∴△ADC是等腰三角形，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠CBE=12∠ABC＝30°，
∴∠ABF＝∠BAD，
∴△ABF是等腰三角形，
则∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，
而∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，
故△ABE为等腰三角形，
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的判定及直角三角形的性质，应充分运用数形结合的思想方法，结合图形从中寻找角之间的关系，结合相关定理及性质进行求解．
9．（2021秋•南岗区期末）如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，过点M作DE∥AC交AB于点D，交BC于点E，那么下列结论：①△ADM和△CEM都是等腰三角形；②△BDE的周长等于AB+BC；③AM＝2CM；④AD+CE＝AC．其中一定正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴∠DMA＝∠MAC，∠EMC＝∠MCA，
∵△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，
∴∠DAM＝∠MAC，∠ECM＝∠MCA，
∴∠DAM＝∠DMA，∠EMC＝∠ECM，
∴DA＝DM，ME＝EC，
即△ADM和△CEM都是等腰三角形；
故①正确；
∴DE＝DM+EM＝AD+CE，
∵AC＞DE，
∴AD+CE＜AC，故④错误；
∴△BDE的周长为：BD+DE+BE＝DB+DM+ME+BE＝AB+BC；故②正确；
根据已知条件无法证明AM＝2CM，故③错误．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
10．（2022春•源城区期末）已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（　　）
A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm
【分析】已知给出的9cm和15cm两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为xcm，分两种情况讨论：x+12x＝9或x+12x＝15．
【解答】解：设三角形的腰为xcm，如图：
△ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD是AC边上的中线，
则有AB+AD＝9cm或AB+AD＝15cm，分下面两种情况：
（1）x+12x＝9，
解得x＝6，
∵三角形的周长为9+15＝24（cm），
∴三边长分别为6cm，6cm，12cm，
∵6+6＝12，不符合三角形的三边关系，
∴舍去；
（2）x+12x＝15，
解得x＝10，
∵三角形的周长为24cm，
∴三边长分别为10cm，10cm，4cm．
综上可知：这个等腰三角形的腰长为10cm．
故选：B．

【点评】主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长．最后要注意利用三边关系进行验证．

11．（2022•滕州市校级模拟）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD⊥AC，垂足为D，点E在直线BC上，若CD＝CE，则∠BDE的度数为 　 　．
【分析】根据题意，分当E在C点左侧时与当E在C点右侧时两种情况讨论，并结合等腰三角形的性质进行分析即可求解．
【解答】解：如图，当E在C点左侧时，

∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠C＝∠ABC＝70°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝55°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDE＝∠BDC﹣∠CDE＝90°﹣55°＝35°；
当E在C点右侧时，如图，

∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠C＝∠ABC＝70°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝35°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝90°+35°＝125°，
故答案为：35°或125°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质以及运用分类讨论的思想是解题的关键．
12．（2021秋•勃利县期末）如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．

【分析】要证△ABC为等腰三角形，须证∠A＝∠C，而由题中已知条件，DF⊥AC，BD＝BE，因此，可以通过角的加减求得∠A与∠C相等，从而判断△ABC为等腰三角形．
【解答】证明：∵DF⊥AC，
∴∠DFA＝∠EFC＝90°．
∴∠A＝∠DFA﹣∠D，∠C＝∠EFC﹣∠CEF，
∵BD＝BE，
∴∠BED＝∠D．
∵∠BED＝∠CEF，
∴∠D＝∠CEF．
∴∠A＝∠C．
∴△ABC为等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定方法；角的等量代换是正确解答本题的关键．
13．（2021春•新泰市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF，EF相交于点F．
（1）求证：∠C＝∠BAD；
（2）若AC=3，求线段EF的长．

【分析】（1）由等腰三角形的性质得出AD⊥BC．由直角三角形的性质可得出结论；
（2）证明△ABC≌△EAF（ASA）．由全等三角形的性质得出AC＝EF，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AE，D为线段BE的中点，
∴AD⊥BC．
∴∠C+∠DAC＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°．
∴∠C＝∠BAD．
（2）解：∵AF//BC，
∴∠FAE＝∠AEB．
∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB．
∴∠B＝∠FAE．
又∵∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE．
∴△ABC≌△EAF（ASA）．
∴AC＝EF．
∵AC=3，
∴EF=3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△EAF（ASA）是解题的关键．
14．（2022春•沙坪坝区校级期末）如图，在ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：∠ABF＝∠ACF；
（2）若∠BAC＝48°，求∠CFE的度数．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得AD垂直平分BC，可得BF＝CF，根据等边对等角可得∠ABC＝∠ACB，∠CBF＝∠BCF，即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝66°，由直角三角形的性质得∠ABF＝90°﹣∠BAC＝42°，可得∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝24°，则∠CBF＝∠BCF＝24°，根据三角形外角的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴CD＝BD，∠ABC＝∠ACB，
∴BF＝CF，
∴∠CBF＝∠BCF，
∴∠ABC﹣∠CBF＝∠ACB﹣∠BCF，
∴∠ABF＝∠ACF；
（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝48°，
∴∠ABC＝∠ACB＝66°，
∵BE⊥AC，
∴∠ABF＝90°﹣∠BAC＝42°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝24°，
由（1）得：∠CBF＝∠BCF，
∴∠CBF＝∠BCF＝24°，
∴∠CFE＝∠CBF+∠BCF＝48°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．

15．（2021秋•龙门县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）求证：∠B＝∠DEF；
（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．

【分析】（1）首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE＝FE，进而可得到△DEF是等腰三角形；
（2）根据△BDE≌△CEF，可知∠FEC＝∠BDE，∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B即可得出结论；
（3）由（2）知∠DEF＝∠B，再根据等腰三角形的性质即可得出∠DEF的度数．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△DBE和△ECF中，BD=CE∠B=∠CBE=CF，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝FE，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△BDE≌△CEF，
∴∠FEC＝∠BDE，
∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B
（3）∵由（2）知△BDE≌△CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴∠CEF+∠DEF＝∠BDE+∠B，
∴∠DEF＝∠B，
∴AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠DEF＝∠B=180−40°2=70°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键．

16．（2022春•锦江区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AB边上，AE＝AC，AD⊥CE，
连接DE．
（1）求证：∠DEC＝∠DCE；
（2）若AC＝BC，BE＝CE．
①求∠B的度数；
②试探究AB﹣AC与BC﹣DE的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD是CE的垂直平分线，即可求解；
（2）①由等腰三角形的性质可得∠B＝∠BCE，∠B＝∠BAC，∠AEC＝∠ACE，由三角形内角和定理可求解；
②先证明BD＝BE，可得结论．
【解答】（1）证明：∵AE＝AC，AD⊥CE，
∴AD是CE的垂直平分线，
∴DE＝CD，
∴∠DEC＝∠DCE；
（2）①解：∵AC＝BC，BE＝CE，AE＝AC，
∴∠B＝∠BCE，∠B＝∠BAC，∠AEC＝∠ACE，
∵∠AEC＝∠B+∠BCE，
∴∠ACE＝∠AEC＝2∠B，
∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，
∴∠B+∠B+∠B+2∠B＝180°，
∴∠B＝36°；
②解：AB﹣AC＝BC﹣DE，理由如下：
∵∠DCE＝∠DEC＝36°＝∠B，
∴∠BDE＝72°，
∴∠BED＝72°＝∠BDE，
∴BE＝BD，
∴AB﹣AC＝BC﹣DE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
17．（2022秋•泰州月考）如图，长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t＝2时，BP＝　 cm；
（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形？


【分析】（1）当t＝2时，AP＝2×2＝4cm，即可得到BP的长度；
（2）分三种情况讨论，①当点P在AB上时，②当点P在BC上时，③当点P在AD上时，根据全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质即可得到答案．
【解答】解：（1）当t＝2时，点P走过的路程为：2×2＝4（cm），
∵AB＝6cm，
∴BP＝AB﹣AP＝6﹣4＝2（cm），
故答案为：2；
（2）①当点P在AB上时，△CDP是等腰三角形，

∴PD＝CP，
在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，
∴△DAP≌△CBP（HL），
∴AP＝BP，
∴AP=12AB＝3（cm），
∴t＝3÷2＝1.5（秒），
②当点P在BC上时，△CDP是等腰三角形，

∵∠C＝90°，
∴CD＝CP＝6cm，
∴BP＝CB﹣CD＝2（cm），
∴t＝（AB+BP）÷2＝（6+2）÷2＝4（秒），
③当点P在AD上时，△CDP是等腰三角形，

∵∠D＝90°，
∴DP＝CD＝6cm，
∴t＝（AB+BC+CD+DP）÷2＝（6+8+6+6）÷2＝13（秒），
综上所述，t＝1.5秒或4秒或13秒时，△CDP是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定，矩形的性质，线段的动点问题，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论．