八年级数学上册专题11.4 三角形高线、中线与角平分线（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题11.4 三角形高线、中线与角平分线（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解三角形的高、中线、角平分线及垂心、重心、内心的概念，并能画出这个三角形三条重要线段；
2.能进行三角形的高、中线、角平分线的有关计算；
3.对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用；
4.与三角形有关的几何模型形成初步认识，并能简单加以运用。
【知识要点】
知识点一、三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
三角形的高的数学语言：
如图一，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.

图一 图二
注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；
特别说明：如图二
（1）三角形的高是线段；分别为AD、BE、CF。
（2）三角形有三条高，且相交于一点H，这一点H叫做三角形的垂心；
（3）三角形的三条高：
(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；
(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；
(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.


知识点二、三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
三角形的中线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC.

图三 图四
特别说明：
（1）三角形的中线是线段；
(2)三角形三条中线全在三角形内部；
(3)三角形有三条中线而且三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；
(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如图四：


知识点三、三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
三角形的角平分线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.

图五 图六
注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .
特别说明：
（1）三角形的角平分线是线段；
（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；
（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线；


图七

知识点四、三角形的稳定性
   三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
特别说明：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．
【典型例题】
类型一、三角形的高
1．如图，已知，

求作：（1）边上的高；（2）边上的高．
【答案】（1）见分析；（2）见分析．
【分析】
（1）过点B向作垂线即可；
（2）过点A向BC的延长线作垂线即可．
解：（1）如图，垂线BD即为边上的高；
（2）如图，垂线AE即为边上的高．

【点拨】此题考查作三角形的高线，过三角形的一个顶点向对边作垂线，从顶点到垂足之间的线段即为该边的高线，掌握三角形高线的定义是解题的关键．
举一反三：
【变式1】下列各图中，正确画出AC边上的高的是（       ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据三角形高的定义，过点B作AC的垂线，且垂足在直线AC上，然后结合各选项图形解答．
解：过点B作AC的垂线，且垂足在直线AC上，
所以正确画出AC边上的高的是D选项，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了三角形的高线的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键．
【变式2】如图，，则线段______是中边上的高．

【答案】
【分析】
根据三角形高线的定义判断即可；
解：∵，
∴中BC边上的高是AE．
故答案是AE．
【点拨】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高线，准确分析判断是解题的关键．
类型二、三角形的高的有关计算
2．如图，在三角形中，，垂足为A，过点A画的垂线段，垂足为点C，过点C画直线CDOA，交线段于点D．

(1)补全图形（按要求画图）；
(2)求的度数：
(3)如果，，，求点A到直线的距离．
【答案】(1)见分析(2)90°(3)2.4
【分析】
（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明CD⊥AB可得结论；
（3）利用面积法求解即可．
(1)解：如图所示，

(2)解：∵，CDOA，
∴，
∴；
(3)解：∵，
∴．
∴点A到直线OB的距离是2.4．
【点拨】本题考查作图一复杂作图，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，，CD是AB边上的高线，，，，则CD的长是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据根据三角形面积公式求解即可．
解：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高，
∴，
∴，
故选B．
【点拨】本题主要考查了与三角形高有关的面积计算，熟知三角形面积公式是解题的关键．
【变式2】如图，在中，，P是边上的任意一点，于点E，于点F.若，则______．

【答案】
【分析】
根据，结合已知条件，即可求得的值．
解：如图，连接

于点E，于点F

，

故答案为：
【点拨】本题考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键．
类型三、三角形中线的有关长度计算
3.如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上．
（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．
（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，求线段AE的长．

【答案】（1）；（2）或．
【分析】
（1）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，所以，则可解得；
（2）由三角形的周长被分成的两部分的差是2，可得方程①或②．解得或．
解：（1）由图可知三角形的周长，四边形的周长，
又三角形的周长与四边形的周长相等，为中点，
，，
即，
又，，，
，
．
（2）由三角形的周长被分成的两部分的差是2，可得方程
①当时，即：，解得：，
②当时．即：，解得．
故长为或．
【点拨】本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，关键是要学会分类讨论的思想思考问题．
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（　　）

A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
【答案】B
【分析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得．
解：据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，
其余线段DE、EF、FG都不符合题意，
故选B．
【点拨】本题主要考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
【变式2】 如图中，是边上的中线，是中边上的中线，若的面积是24，，则点到的距离是___．

【答案】2
【分析】
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答．
解：∵AD是BC上的中线，
∴S   =S = ，
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴S =S   = S ，
∴S = ，
∵△ABC的面积是24，
∴S   =×24=6.
∵AE=6，S=6
∴点B到ED的距离=2，
故答案为2.
【点拨】此题考查中线的定义，解题关键在于求出面积比.
类型四、三角形中线的有关面积计算
4． 如图，中，，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，回到C点时运动结束，已知点P的速度为每秒，运动的时间为t秒．

（1）当_____时，把的周长分成相等的两部分？
（2）当_____时，把的面积分成相等的两部分？
（3）当t为何值时，的面积的6？
【答案】（1）6；（2）5.5；（3）11秒或秒
【分析】
（1）先求出△ABC的周长为24cm，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，再根据时间=路程÷速度即可求解；
（2）根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；
（3）分两种情况：①P在AC上；②P在AB上．
解：（1）△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，
∴△ABC的周长=8+6+10=24cm，
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，
此时CA+AP=BP+BC=12cm，
∴2t=12，
解得：t=6；
（2）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，
此时CB+BP=6+5=11（cm），
∴2t=11，
解得：t=5.5；
（3）分两种情况：
①当P在AC上时，
∵△BCP的面积=6，
∴×6×CP=6，
∴CP=2，
∴2t=6+10+6，解得：t=11；
②当P在AB上时，
∵△BCP的面积=6=△ABC面积的，
∴BP=AB=，即2t-6=，
解得：t=，
故t为11秒或秒时，△BCP的面积为6．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连接CP．设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．根据BD：DC=2：1，E为AC的中点，得△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，进而得到△ABP的面积是4x．再根据△ABE的面积是△BCE的面积相等，得4x+x=2y+x+y，解得y= x，再根据△ABC的面积是3即可求得x、y的值，从而求解．
解：连接CP，

设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．
∵BD：DC=2：1，E为AC的中点，
∴△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，
∵BD：DC=2：1
∴△ABD的面积是4x+2y
∴△ABP的面积是4x．
∴4x+x=2y+x+y，
解得y= x．
又∵△ABC的面积为3
∴4x+x= ，
x= ．
则四边形PDCE的面积为x+y= ．
故选B．
【点拨】此题能够根据三角形的面积公式求得三角形的面积之间的关系．等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比；等底的两个三角形的面积比等于它们的高的比．
【变式2】 如图，BD是△ABC边AC的中线，点E在BC上，BE=EC，△AED的面积是3，则△BED的面积是_______________．

【答案】
【分析】
根据△AED与△CED是等底等高的两个三角形，求出△CED的面积，根据三等分线的性质求出△ABE的面积，进而得到△ABC的面积和△BDC的面积，最后利用S△BED＝S△BDC-S△CDE即可求解．
解：∵BD是△ABC边AC的中线
∴△AED与△CED是等底等高的两个三角形，
∴S△AED=S△CED＝3
∴S△AEC= S△AED+S△CED=6
∵BE=EC
∴E是BC的三等分点
∴S△ABE=S△AEC=3
∴S△ABC= S△ABE +S△AEC=9
∵S△ABD和S△CBD等底等高
S△ABD=S△CBD=S△AEC=
∴S△BED＝S△BDC-S△CDE＝．
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形的面积．中线能把三角形的面积平分，同理三等分线可以将三角形的面积三等分．
类型五、与重心的有关计算
5．如图，已知△ABC，AD为边BC上的中线，求作△ABC的重心M．

【答案】见分析
【分析】
直接利用重心的定义结合线段垂直平分线的作法得出答案．
解：作AB的垂直平分线EF交AB于点N，连接CN交AD于点M，即为所求．

【点拨】此题主要考查了复杂作图以及重心的定义，正确把握相关定义是解题关键．
举一反三：
【变式1】三角形的重心是三条（   ）
A．中线的交点       B．角平分线的交点        C．高线的交点         D．垂线的交点
【答案】A
【分析】
根据三角形重心的定义即可解答.
解：三角形的重心为三条中线的交点
故选A
【点拨】本题考查的是重心，熟练掌握重心的定义是关键.
【变式2】 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝4，P是△ABC的重心，连结BP，CP，则△BPC的面积为_____．

【答案】4
【分析】
△ABC的面积S＝AB×BC＝＝12，延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝BE，即可求解．
解：△ABC的面积S＝AB×BC＝＝12，
延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝BE，（证明见备注）

△BEC的面积＝S＝6，
BP＝BE，
则△BPC的面积＝△BEC的面积＝4，
故答案为：4．
备注：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，
例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点．EC、FB交于G．

求证：EG＝CG 证明：过E作EH∥BF交AC于H．
∵AE＝BE，EH∥BF，
∴AH＝HF＝AF，
又∵AF＝CF，
∴HF＝CF，
∴HF：CF＝，
∵EH∥BF，
∴EG：CG＝HF：CF＝，
∴EG＝CG．
【点拨】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
类型六、重心的性质
6． 如图，在中，、是边、上的中线，与相交于点，是的中点．

（1）求证：；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）详见分析；（2）12.
【分析】
（1）由BD、CE是边AC、AB上的中线得到点O为△ABC的重心，然后根据重心的性质易得OC＝2OE；
（2）根据三角形面积公式易得S△OCD＝2S△CDN＝2，再利用重心的性质得OB：OD＝2：1，则S△BCD＝3S△OCD＝6，然后根据AD＝CD可得S△ABC＝2S△BCD＝12．
解：（1）∵、是边、上的中线，
∴点为的重心，
∴，即；
（2）∵是的中点，
∴，
∵点为的重心，
∴，
∴，
∴为中线，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了三角形重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了三角形中线的性质.
举一反三：
【变式1】如图,在△ABC中,点D、E分别是边AC,AB的中点,BD,CE相交于点O,连接O在AO上取一点F,使得OF=AF若S△ABC =12,则四边形OCDF的面积为（     ）

A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
重心定理：三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心.重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等.
解：∵点D、E分别是边AC,AB的中点，
∴O为△ABC的重心，
∴=4,
∴=2,
∵OF=AF，
∴=,
∴S阴=+=.
故选B.
【点拨】本题考查了重心及重心定理，熟练掌握相关定理是解题关键.
【变式2】 如图，在△ABC中，D、E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG=1，则AD=________．

【答案】3.
【分析】
先判断点G为△ABC的重心，然后利用三角形重心的性质求出AG，从而得到AD的长．
解：∵D、E分别是BC，AC的中点，
∴点G为△ABC的重心，
∴AG=2DG=2，
∴AD=AG+DG=2+1=3．
故答案为3．
【点拨】本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
类型七、三角形角平分线
7．如图，已知在中，，AD是BC边上的高，AE是的平分线，求证：．

【答案】证明见分析.
试题分析：根据三角形内角和定理以及AD是BC边上的高，求得∠BAD=90°-∠B，再根据AE平分∠BAC，求得∠BAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-∠B-∠C，最后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD即可求解．
解：∵AD是BC边上的高，
∴∠BAD=90°-∠B．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-∠B-∠C．
∵∠DAE=∠BAE-∠BAD，
∴∠DAE=（90°-∠B-∠C）-（90°-∠B）=∠B-∠C=（∠B-∠C）．
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点．若∠A＝60°，则∠BMN的度数为(　　)

A．45° B．50° C．60° D．65°
【答案】B
分析：过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NG=NF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出MN平分∠BMC，然后根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角的三等分求出∠MBC+∠MCB的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠BMC的度数，从而得解．
解：如图，过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，

∵∠ABC的三等分线与∠ACB的三等分线分别交于点M、N，
∴BN平分∠MBC，CN平分∠MCB，
∴NE=NG，NF=NG，
∴NE=NF，
∴MN平分∠BMC，
∴∠BMN=∠BMC，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−60°=120°，
根据三等分,∠MBC+∠MCB= (∠ABC+∠ACB)=×120°=80°.
在△BMC中,∠BMC=180°−(∠MBC+∠MCB)=180°−80°=100°.
∴∠BMN=×100°=50°；
故选B.
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理：三角形内角和为180°；角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.熟记性质和定理是解本题的关键.
【变式2】 如图，点O在ABC内部，且到三边的距离相等．且∠A=70°，则∠BOC=______°．

【答案】125
【分析】
由条件可知BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形内角和可求得∠BOC．
解：∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）
=180°-（180°-70°）
=125°，
故答案为：125．
【点拨】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．
类型八、三角形的稳定性
8． 如图（1）扭动三角形木架， 它的形状会改变吗？
如图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变吗？
如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？

归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______；
②四边形木架的形状______说明四边形没有______．
【答案】图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；
图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定；
图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；
归纳：①是三角形， 稳定性；②四边形， 稳定性 ．
【分析】
①根据三角形的稳定性进行解答即可；
②根据四边形的不稳定性进行解答即可．
解：图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；
图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定；
图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；
归纳：
①由三角形具有稳定性知， 三角形木架的形状不会改变， 这说明三角形具有稳定性 ．
故答案为： 是三角形， 稳定性；
②四边形木架的形状是四边形， 四边形具有不稳定性 ．
故答案为： 四边形， 稳定性 ．
【点拨】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单．
举一反三：
【变式1】下列图形具有稳定性的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断即可得．
解：A、具有稳定性，符合题意；
B、不具有稳定性，故不符合题意；
C、不具有稳定性，故不符合题意；
D、不具有稳定性，故不符合题意，
故选A．
【点拨】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键．
【变式2】 如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是______．

【答案】三角形的稳定性
解：钉了一个加固板，即分割成了三角形，故利用了三角形的稳定性
故答案为：三角形的稳定性.