八年级数学上册专题11.5 三角形高线、中线与角平分线（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题11.5 三角形高线、中线与角平分线（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
类型一、三角形的高
1．画的边上的高，正确的是（       ）
A． B． C．D．
2．如图，△ABC中BC边上的高和△AEC中AE边上的高分别是（　　）

A．EF和CD B．BC和CD C．AB和CD D．AB和EF
3．已知，图中的虚线部分是小玉作的辅助线，则下列结论正确的是（       ）

A．CD是边AB上的高 B．CD是边AC上的高
C．BD是边CB上的高 D．BD是边AC上的高
类型二、三角形的高的有关计算
4．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线．则下列结论错误的是（       ）

A．BF＝CF B．∠BAF＝∠CAF
C．∠B＋∠BAD＝90° D．
5．下列说法正确的是（　　）
A．三角形的角平分线是射线
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．锐角三角形的三条高交于一点
D．三角形的高和中线一定在三角形的内部
6．已知中，D、E分别是边AB、AC上的点，连接DE、BE、DC，下列各式中正确的是（       ）．

A． B．
C． D．
类型三、三角形中线的有关长度计算
7．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是BC边上的中点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是（　　）

A．16 B．18 C．20 D．22
8．如图，，，分别是的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（       ）

A． B．
C． D．
9．在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中线、高和这边所对角的角平分线，最短的是（　　）
A．角平分线 B．高 C．中线 D．不能确定
类型四、三角形中线的有关面积计算
10．如图所示，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且AD：BD=3：4，AE：CE=2：1，连接DE，那么（       ）

A． B． C． D．
11．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（       ）.

A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2
12．如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF−S△BEF=          

A．1 B．2 C．3 D．4
类型五、与重心的有关计算
13．如图，在ABC中，点O是ABC的重心，则AD为三角形的（       ）

A．角平分线 B．高线 C．中线 D．垂直平分线
14．三角形的重心是（　　）
A．三角形三边的高所在直线的交点
B．三角形的三条中线的交点
C．三角形的三条内角平分线的交点
D．三角形三边中垂线的交点
15．下列说法错误的是(        )
A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D．三角形的三条高可能相交于外部一点
类型六、重心的性质
16．不一定在三角形内部的线段是（　　）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线
C．三角形的高 D．三角形的高和中线
17．如图所示，已知G为直角△ABC的重心，，且，，则△AGD的面积是（       ）

A．9cm2 B．12cm2 C．18cm2 D．20cm2
18．已知点是的重心，如果连接，并延长交边于点，那么下列说法中错误的是（       ）
A． B． C． D．
类型七、三角形角平分线
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　）

A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△ABE的高
20．如图，中，，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且于点H，下列判断中，正确的个数是（       ）

①BG是的边AD上的中线；
②AD既是的角平分线，也是的角平分线；
③CH既是的边AD上的高，也是的边AH上的高．
A．0 B．1 C．2 D．3
21．如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点则的度数是（   ）

A． B． C． D．
二、填空题
类型一、三角形的高
22．在三角形的三条高中，位于三角形外的可能条数是______条．
23．如图，点在线段上，，，，，则在中，边上的高是_________．

24．在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形这三种三角形中，有两条高在三角形外部的是___________三角形．
类型二、三角形的高的有关计算
25．△ABC的高AD、CE交于点O，连接BO并延长交AC 于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则 CE∶AD∶BF值为_____．

26．如图所示，AD、CE是△ABC的两条高，AB=6，BC=5，AD=4，则CE=______．

27．在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB，△ABC的面积为8，AB＝4，则DE的长为 ___．
类型三、三角形中线的有关长度计算
28．已知中，，中线把分成两个三角形，这两个三角形的周长差是，则的长是__________．
29．如图所示，AD是△ABC的中线．若AB＝7cm，AC＝5cm，则△ABD和△ADC的周长的差为____cm．

30．如图，AD是BC边上的中线，AB＝5 cm，AD＝4 cm，△ABD的周长是12 cm，则BC的长是____cm．

类型四、三角形中线的有关面积计算
31．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点F，若四边形AEFD的面积为6，则△CBF的面积为_________．

32．如图，在中，点D、F、F分别在三边上，E是的中点，、、交于一点G，，，则的面积是_________．

33．如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为40，则△BEF的面积=_______

类型五、与重心的有关计算
34．三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一点叫此三角形的_________心．
35．如图，已知△ABC三条中线相交于点O，则△ABO与△DBO的面积之比为_______

36．等腰Rt△ABC中，斜边AB＝12，则该三角形的重心与外心之间的距离是_____．
类型六、重心的性质
37．在△ABC中，中线AD和中线CE相交于点O，那么AD：AO＝___．
38．已知点G是△ABC的重心，AG＝4，那么点G与边BC中点之间的距离是 ___．
39．如图，等腰三角形中，，中线交于点G，若，则_____．

类型七、三角形角平分线
40．如图，若AD是的角平分线，则________________或________________．

41．如图，中，一内角和一外角的平分线交于点连结，_______________________.

42．如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，则：∠1+∠2+∠3＝_____．

三、解答题
43．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：

(1)在给定方格纸中画出平移后的△A'B'C'；
(2)画出AB边上的中线CD；
(3)画出BC边上的高线AE；
(4)△A'B'C'的面积为　　；
(5)在图中能使S△PAC＝S△ABC的格点P的个数有　　个（点P异于点B）．





44．如图，三角形ABC的三个顶点坐标分别是、、．

(1)将三角形△ABC向下平移3个单位长度得到三角形；
(2)写出的坐标；
(3)求出三角形ABC的面积．









45．如图，BD和CE是△ABC的中线，AE=3cm，CD=2cm，若△ABC周长为15cm，求BC边的长．





46．如图，已知，分别是的高和中线，，，，．
(1)求的长度；
(2)求的面积．




47．画出下图中的重心．


48．中，点是重心，//，+=7.2cm，求．





49．如图，是的角平分线，， 交于点E，，交 于点F．图中与有什么关系？为什么？

















参考答案
1．A
【分析】
根据过三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，据此解答．
解：A选项，图形中AD是BC边上的高，符合题意；
B选项，图形中CD不是BC边上的高，不符合题意；
C选项，图形中CD是AB边上的高，不符合题意；
D选项，图形中AD不是AB边上的高，不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了三角形的高线，熟记概念是解题的关键．钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
2．C
【分析】
根据三角形高的定义，△ABC中 BC边上的高为从BC边相对的顶点A向BC边作的垂线段，△AEC中AE边上的高为从AE边相对的顶点C向AE边作的垂线段，观察图形，找出符合要求的线段即可．
解：根据三角形高的定义可知，AB是△ABC中BC边上的高，CD是△AEC中AE边上的高，
故选C．
【点拨】本题考查三角形高的定义：从三角形一个端点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和它对边垂足之间的线段称三角形这条边上的高．
3．A
【分析】
根据三角形高线定义解答．
解：图中CD是边AB上的高，BD是边CD上的高，
故选：A．
【点拨】此题考查了三角形的高的定义：从角的顶点向角的对边所作的垂线段，是三角形的高线，熟记定义是解题的关键．
4．B
【分析】
根据三角形的高、中线、角平分线的概念进行判断即可．
解： AF是中线

故A选项正确，不符合题意；
同高

故D选项正确，不符合题意；
AE是角平分线
∠BAE＝∠CAE
故B选项错误，符合题意；
AD是高

∠B＋∠BAD＝90°
故C选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，掌握这些概念是解题的关键．
5．C
【分析】
根据三角形角平分线，中线，高线的概念以及平行线公理，对各选项分析判断利用排除法求解．
解：A. 三角形的角平分线是线段，故本选项不符合题意；
B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题意；
C. 锐角三角形的三条高交于一点，正确，故此选项符合题意；
D. 三角形的内部三角形的中线一定在三角形的内部，高线不一定在三角形的内部，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，平行线公理是基础题，熟记概念是解题的关键．
6．C
【分析】
A选项，设点E、C到AB的距离分别为，，则，根据三角形面积公式进行判断即可；B选项设点D、B到AC的距离分别为x，y，则，，根据三角形面积公式进行判断即可；C选项，设点C到AB距离为h，，，根据三角形面积公式进行判断即可；D选项，设点D到AC距离为，则，，根据三角形面积公式进行判断即可
解：A选项：设点E、C到AB的距离分别为，，则，
，，
∴，故A错误；
B选项：设点D、B到AC的距离分别为x，y，则，，
，，，故B错误；
C选项：设点C到AB距离为h，，，
∴，故C正确；
D选项：设点D到AC距离为，则，，
∴，故D错误.
故选C．
【点拨】本题考查了与三角形的高有关的计算，掌握三角形的高的定义，根据三角形的面积计算是解题的关键．
7．D
【分析】
利用三角形的周长公式先求解再证明再利用周长公式进行计算即可．
解： AC＝8，△ACD的周长为20，

点D是BC边上的中点，

AB＝10，
的周长为：．
故选：D.
【点拨】本题考查的是三角形的周长的计算，三角形的边的中点的应用，掌握“三角形的周长公式及中点的含义”是解本题的关键．
8．D
【分析】
根据三角形的高线，角平分线和中线解答即可；
解：A．∵是的中线
∴，
故选项正确，不符合题意；
B．∵是的角平分线
∴
故选项正确，不符合题意；
C．∵分别是的高，
∴
故选项正确，不符合题意；
D．不一定成立，故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点拨】此题考查三角形的高线，角平分线和中线，关键是根据三角形的高线，角平分线和中线的定义进行判断即可．
9．B
【分析】
根据垂线段最短解答．
解：∵是三条边都不相等的三角形的同一条边上的中线、高和这边所对角的角平分线，
∴最短的是高线．
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，理解垂线段最短是解题的关键．
10．B
【分析】
连接BE，设，用S表示的面积，即可求解．
解：连接BE，设，

∵AD：BD=3：4，
∴，
∴，
又∵AE：CE=2：1，
∴，
∴，
∴，
∴=，
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的面积，能够根据线段的比表示出三角形面积的比是解题的关键．
11．A
【分析】
根据三角形中线的性质可得S△EBC=S△ABC，，结合已知条件即可求解．
解：∵点D，E分别为边BC， AD中点，
，
，
∵F是EC的中点，
，
，
△ABC的面积等于4cm2，
∴S△BEF=1cm2，
即阴影部分的面积为1cm2,
故选：A．
【点拨】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题的关键．
12．B
【分析】
观察图形可以发现，S△ADF+S△ABF=S△ABD，S△BEF+S△ABF=S△ABE，根据差不变原理，S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE，再根据等高三角形面积比等于底边长的比，分别求出S△ABD和S△ABE，作差即可．
解：∵点D是AC的中点，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∵，
即．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了三角形面积与底的正比关系，根据差不变原理，将要求的两个三角形面积的差转化为易求的两个三角形面积的差是本题解题的关键．
13．C
【分析】
根据重心的定义：三角形三边中线的交点，即可求解.
解：根据重心的定义：三角形三边中线的交点为三角形的重心
故选C.
【点拨】本题主要考查了重心的定义，解题的关键在于能够熟练掌握重心的定义.
14．B
【分析】
根据重心是三角形三边中线的交点，三角形三条高的交点是垂心，三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，等知识点作出判断．
解：三角形三条高的交点是垂心，A选项不符合题意；
三角形三条边中线的交点是三角形的重心，B选项符合题意；
三角形三条内角平分线的交点是三角形的内心，C选项不符合题意；
三角形三边中垂线的交点三角形的外心，D选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的重心、内心与外心等知识，是基础题，熟记概念是解题的关键．
15．A
解：A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 ，错误，符合题意；
B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点，正确，不符合题意；
C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点，正确，不符合题意；
D．三角形的三条高可能相交于外部一点，正确，不符合题意.
故选A.
16．C
【分析】
根据三角形的高、中线、角平分线的性质解答．
解：因为在三角形中，
它的中线、角平分线一定在三角形的内部，
而钝角三角形的两条高在三角形的外部．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的高、中线、角平分线．熟悉各个性质是解题的关键．
17．A
【分析】
由于G为直角△ABC的重心，所以BG＝2GD，AD＝DC，根据三角形的面积公式可以推出，而△ABC的面积根据已知条件可以求出，那么△AGD的面积即可求得．
解：∵G为直角△ABC的重心，
∴BG＝2GD，AD＝DC，
∴，
而，
∴，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了三角形的重心的性质，解题的关键是根据G为直角△ABC的重心，得出BG＝2GD，AD＝DC．
18．B
【分析】
根据三角形重心的定义和性质解答即可．
解：∵点是的重心，
∴，，，
∴A、C、D正确，B错误，
故选B．

【点拨】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
19．C
【分析】
根据三角形的高、中线、角平分线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：、，是的中线，正确；
、平分，是的角平分线，正确；
、是的角平分线，
，
是中线，
，
不正确，符合题意；
、，是的高，正确．
故选：．
【点拨】本题考查了三角形的角平分线，高线，中线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键．
20．C
【分析】
根据三角形中线的定义、三角形角平分线的定义和三角形高的定义逐一判断即可．
解：因为G为AD的中点，
所以BG是的边AD上的中线，故①正确；
因为，
所以AD是的角平分线，AG是的角平分线，故②错误；
因为于点H，
所以CH既是的边AD边上的高，也是的边AH上的高，故③正确，
综上正确的有2个
故选C．
【点拨】此题考查的是三角形中线、角平分线和高的识别，掌握三角形中线的定义、三角形角平分线的定义和三角形高的定义是解决此题的关键．
21．C
【分析】
根据角平分线的定义和三角形的外角性质，即可得到，代入求值即可；
解：∵的平分线与的外角平分线相交于点D，

∴,
又∵，
，
∴．
故答案选C．
【点拨】本题主要考查了三角形的外角性质与内角和定理，准确分析题目是解题的关键．
22．0或2
【分析】
当三角形为钝角三角形时，三角形的高有两条在三角形外，一条在三角形内；当三角形为直角三角形和锐角三角形时没有高在三角形外．
解：∵当三角形为直角三角形和锐角三角形时，没有高在三角形外；而当三角形为钝角三角形时，三角形的高有两条在三角形外，一条在三角形内．
∴在三角形的三条高中，位于三角形外的可能条数是0或2条
故答案为0或2．
【点拨】此题主要考查了三角形的高的位置，不同形状的三角形，它的高的情况不同，要求学生必须熟练掌握．
23．4
【分析】
在ABD中，BD边上的高即为从A点向对边BD延长线做一条垂线，即为AC，所以BD边上的高的长度即可求得．
解：∵ACBC，∴∠ACB=90°，
而在ABD中，BD边上的高即为从A点向对边BD延长线做一条垂线，即为AC=4cm，
∴BD边上的高为4cm，
故答案为：4．
【点拨】本题主要考察了三角形的高线的知识，要掌握三角形高线的做法，从三角形一个端点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和它对边垂足之间的线段称三角形这条边上的高，这样就可以直接求出答案．
24．钝角
【分析】
根据三角形的高的概念，可知锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条在内部．
解：有两条高在三角形外部的是钝角三角形，
故答案为钝角.
【点拨】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，注意不同形状的三角形的高的位置．
25．12：15：10
【分析】
根据三角形三条高线交于一点，可得BF⊥AC，再根据三角形面积是一定的，即可得到CE：AD：BF值．
解：在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，
∴BF⊥AC，
∴AB×CE＝BC×AD＝AC×BF，
∵AB＝5，BC＝4，AC＝6，
∴×5×CE＝×4×AD＝×6×BF，
∴CE：AD：BF＝12：15：10．
故答案为：12：15：10．
【点拨】本题考查了三角形的面积，关键是熟练掌握三角形面积公式，难点是得到BF⊥AC．
26．##
【分析】
利用三角形面积公式得到×AB×CE=×BC×AD，然后把AB=6，BC=5，AD=4代入可求出CE的长．
解：根据题意得，S△ABC=×AB×CE=×BC×AD，
所以CE=．
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形面积公式：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．
27．2
【分析】
由中线的性质可得S△ABD＝4，再利用三角形的面积公式建立关于DE的方程，解方程即可求DE的长．
解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积为8，
∴S△ABD＝S△ABC＝4，
∵DE⊥AB，AB＝4，
∴AB•DE＝4，
×4DE＝4，
解得：DE＝2．
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查三角形的面积，简单一元一次方程，解答的关键是明确三角形的中线把三角形分成两个面积相等的两部分．
28．42cm或18cm
【分析】
先根据三角形中线的定义可得BD=CD，再求出AD把△ABC周长分为的两部分的差等于|AB-AC|，然后分AB＞AC，AB＜AC两种情况分别列式计算即可得解．
解：∵AD是△ABC中线，

∴BD=CD．
∵AD是两个三角形的公共边，两个三角形的周长差是12cm，
∴如果AB＞AC，那么AB-AC=12cm，即AB-30=12cm
∴AB=42cm；
如果AB＜AC，那么AC-AB=12cm，即30-AB=12cm
AB=18cm．
综上所述：AB的长为42cm或18cm．
故答案为：42cm或18cm．
【点拨】考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
29．2
【分析】
将△ABD和△ADC的周长表示出来，可以得到周长差即为AB﹣AC的差，算出即可．
解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD的周长差为：
（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，
∵AB＝7cm，AC＝5cm，
∴△ABD和△ACD的周长差＝7﹣5＝2cm．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了三角形中线的定义、三角形的周长，掌握三角形中线的定义是解题关键．三角形中线的定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线．
30．6
【分析】
根据AD是BC边上的中线，得出为的中点，可得，根据条件可求出．
解：AD是BC边上的中线，
为的中点，
，
，△ABD的周长是12cm，
，
，
故答案是：6．
【点拨】本题考查了三角形的中线，解题的关键利用中线的性质得出为的中点．
31．6
【分析】
由中线的性质可知，四边形AEFD的面积与三角形DFC的面积之和为三角形ABC面积的一半，同理三角形DFC与三角形BFC的面积之和也为三角形ABC面积的一半，即三角形BFC的面积等于四边形AEFD的面积．
解：△ABC的中线BD、CE相交于点F，




故答案为：６．
【点拨】本题考查了三角形中线的性质，能够准确地找到所求图形面积与已知图形面积之间的联系是快速解决本题的关键．
32．30
【分析】
由 BD＝2DC，得 S△BDG＝2S△GDC，求出S△BEC，根据S△ABC＝2S△BEC可求出答案．
解：在△BDG和△GDC中，
∵BD＝2DC, 这两个三角形在BC边上的高线相等，
∴S△BDG＝2S△GDC，
∴S△GDC＝4.
同理S△GEC＝S△AGE＝3.
∴S△BEC＝S△BDG＋S△GDC＋S△GEC＝8＋4＋3＝15，
∴S△ABC＝2S△BEC＝30.
故答案为：30．
【点拨】本题考查了中线的性质，三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三角形面积相等，面积相等并且同高的三角形底相等．
33．10
【分析】
利用角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得到S△EBD=S△ABD，S△ECD=S△ACD，所以S△EBD+S△ECD=S△ABC，然后根据F点为CE的中点得到S△BEF=S△ECB．
解：∵E点为AD的中点，
∴S△EBD=S△ABD，S△ECD=S△ACD，
∴S△EBD+S△ECD=（S△ABD+S△ACD）=S△ABC，
∴S△ECB=×40=20，
∵F点为CE的中点，
∴S△BEF=S△ECB=×20=10．
故答案为：10．
【点拨】本题考查了三角形的面积，解题的关键是掌握三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
34．重
【分析】
根据三角形的重心的定义即可求解．
解：三角形的三条中线交于一点，这一点叫此三角形的重心；
故答案为：重．
【点拨】本题主要考查了三角形的重心，重心是三角形三边中线的交点；三角形的中线将三角形的面积分成了相等的两部分，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．
35．
【分析】
根据三角形的重心性质得，过点B作交AD的延长线与点G，则BG是和的高，根据三角形的面积公式即可得．
解：由题可知，点O是的重心，
∴，
如图所示，过点B作交AD的延长线与点G，

∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形的重心及重心性质，解题的关键是掌握这些知识点．
36．2．
【分析】
画出图形，找到三角形的重心与外心，利用重心和外心的性质求距离即可.
解：如图，点D为三角形外心，点I为三角形重心，DI为所求.

∵直角三角形的外心是斜边的中点，
∴CD＝AB＝6，
∵I是△ABC的重心，
∴DI＝CD＝2，
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查三角形的重心和外心，能够掌握三角形的外心和重心的性质是解题的关键.
37．3：2
【分析】
由三角形重心的概念可知，再根据重心的性质即可求得AO=2OD，AD=3OD，即可求得AD：AO．
解：∵AD、AE分别是三角形的中线，
∴O是△ABC的重心，
∴AO=2OD，AD=3OD，
∴AD：AO=3OD：2OD=3：2．
故答案为：3：2．

【点拨】本题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
38．2
【分析】
三角形重心是三角形三条中线的交点，根据三角形重心的性质进行求解．
解：如图，D是BC边的中点；
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GD=4，即GD=2；
故答案为：2．

【点拨】本题主要考查的是三角形重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
39．
【分析】
先利用重心性质得到AG=2GD=2，再根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用勾股定理计算AB的长．
解：∵中线AD，BE交于点G，
∴G点为△ABC的重心，BD=CD=BC=1，
∴AG=2GD=2，
∵AB=AC，AD为中线，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AB=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了等腰三角形的性质．
40．     =          ∠BAD     ∠CAD
【分析】
根据角平分线的定义进行求解即可．
解：∵AD是的角平分线，
∴，或，
故答案为：=，∠BAC，∠BAD，∠CAD．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键在于能够熟记角平分线的定义．
41．66
【分析】
过D作DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，DH⊥BA，交BA延长线于H，由BD平分∠ABC，可得∠ABD=∠CBD，DH=DF，同理CD平分∠ACE，∠ACD=∠DCF，DG=DF，由∠ACE是△ABC的外角，可得2∠DCE=∠BAC+2∠DBC①，由∠DCE是△DBC的外角，可得∠DCE=∠CDB+∠DBC②，两者结合，得∠BAC=2∠CDB，则∠HAC=180º-∠BAC，再证AD平分∠HAC，即可求出∠CAD．
解：过D作DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，DH⊥BA，交BA延长线于H，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，DH=DF，
∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCF=∠ACE，DG=DF，
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠BAC+∠ABC，
∴2∠DCE=∠BAC+2∠DBC①，
∵∠DCE是△DBC的外角，
∴∠DCE=∠CDB+∠DBC②，
由①②得，∠BAC=2∠CDB=2×24º=48º，
∴∠HAC=180º-∠BAC=180º-48º=132º，
∵DH=DF，DG=DF，
∴DH=DG，
∵DG⊥AC，DH⊥BA，
AD平分∠HAC，
∠CAD=∠HAD=∠HAC=×132º=66º．
故答案为：66．

【点拨】本题考查角的求法，关键是掌握点D为两角平分线交点，可知AD为角平分线，利用好外角与内角的关系，找到∠BAC=2∠CDB是解题关键．
42．90°
【分析】
根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理解答即可．
解：∵AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，
∴∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABC，∠3＝∠ACB，
∴∠1+∠2+∠3＝(∠BAC+∠ABC+∠ACB)，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°，
故答案为90°．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．
43．(1)见分析(2)见分析(3)见分析(4)8(5)7
【分析】
（1）利用点B和点B′的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、C的对应点A′、C′即可；
（2）根据三角形中线的定义画出图形即可；
（3）根据三角形高的定义画出图形即可；
（4）直接用三角形的面积公式可计算出△A'B'C'的面积；
（5）过B点作AC的平行线即可得到格点P的个数．
(1)解：如图，△A'B'C'即为所求作；
；
(2)解：如图，CD即为所求作；
(3)解：如图，AE即为所求作；
(4)解：△A'B'C'的面积=×4×4=8，
故答案为：8；
(5)解：如图，满足条件的点P有7个，

故答案为：7．
【点拨】本题考查了作图-平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
44．(1)见分析(2)(3)
【分析】
（1）将△ABC各顶点向左平移3个单位长度，再首尾顺次连接即可得；
（2）根据平移方式得到坐标；
（3）利用割补法计算即可．
(1)解：三角形△ABC向下平移3个单位长度得到三角形
先将点A、B、C向下平移3个格，得点A1、B1、C1，顺次连结
则△为所求；

(2)解：∵、、，三角形△ABC向下平移3个单位长度得到三角形
横坐标不变，纵坐标减3，
∴即，,
(3)解：将△ABC补成正方形AA1EF，
∴
=
=．

【点拨】本题主要考查作图-平移变换，割补法求三角形面积，解题的关键是熟练掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
45．
【分析】
根据中线定义可得AB，AC，根据△ABC周长公式即可求解．
解：∵BD和CE是△ABC的中线，
∴，，
∵△ABC周长为15cm，即，
∴．
【点拨】本题考查三角形中线定义、三角形周长公式，解题的关键是根据三角形中线求出AB和AC的长．
46．(1)(2)
【分析】
（1）利用等面积法，根据，代值求解即可；
（2）根据已知条件和（1）中求出的长，利用三角形面积公式得出，代值求解即可．
(1)解：在中，，是边上的高，
，，，
根据可得
；
(2)解：在中，是边上的中线，且，
，
在中，是边上的高，且由（1）知，
．
【点拨】本题考查三角形面积公式，熟练掌握三角形的中线与高线是解决问题的关键．
47．见分析
【分析】
先作BC、AC的垂直平分线，找到其中点，再作出中线，两中线的交点即重心．
解：如解图所示，作三角形的两条中线交于点，点即为所求．

【点拨】此题主要考查重心的作图，解题的关键是熟知重心是三角形中线的交点．
48．4.32．
【分析】
连接，并延长交于点，根据三角形重心的性质可得，继而由平行线分线段成比例得到，再设，根据题意列式解出的值即可解题．
解：连接，并延长交于点，
是重心，



设
则

．
【点拨】本题考查三角形重心、平行线分线段成比例等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
49．相等，理由见分析
【分析】
先根据角平分线的定义得出，再由平行线的性质即可得出结论．
解：相等．
理由：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵,
∴
∴．
【点拨】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．