数学八年级上册11.2.1 三角形的内角同步练习题

这是一份数学八年级上册11.2.1 三角形的内角同步练习题，共20页。

专题11.7 三角形的内角（知识讲解）
【学习目标】
1．通过平行线性质和平角定义理解三角形内角和；
2．掌握三角形内角和及三角形的外角与内角的关系；
3．能够运用三角形内角和定理进行相关角的计算及相关证明问题.
【知识点梳理】
【知识点一】三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．


特别说明：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
【知识点二】直角三角形两锐角和：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.


特别说明：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.
【典型例题】
类型一、三角形的内角和
1．完成下面的证明已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE//BA，DF//CA．
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．
证明：∵DE//BA，
∴∠3＝　　（ 　     　），
∠2＝　　（ 　     　）．
∵DF//CA，
∴∠1＝　　（ 　     　），
∠BFD＝　　（ 　     　）．
∴∠2＝　　（ 　     　）．
∵∠1＋∠2＋∠3＝180°（平角的定义），
∴∠A＋∠B＋∠C＝180°（等量代换）．

【答案】∠B，两直线平行，同位角相等；∠BFD，两直线平行，内错角相等；∠C，两直线平行，同位角相等；∠A，两直线平行，同位角相等；∠A，等量代换
【分析】先根据平行线的性质得出∠A=∠2，∠1=∠C，∠3=∠B，再由平角的定义即可得出结论．
解：∵DE//B
∴∠3＝∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2＝∠BFD（两直线平行，内错角相等），
∵DF//CA，
∴∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等），
∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），
∴∠2＝∠A（等量代换）．
∵∠1+∠2+∠3＝180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠C＝180°（等量代换）．
故答案为：∠B，两直线平行，同位角相等；∠BFD，两直线平行，内错角相等；∠C，两直线平行，同位角相等；∠A，两直线平行，同位角相等；∠A，等量代换．
【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．
举一反三：
【变式1】 在探索并证明三角形的内角和定理“三角形三个内角的和等于180°”时，圆圆同学添加的辅助线为“过点A作直线DE // BC”．请写出“已知”、“求证”，并补全证明．
已知：
求证：
证明：过点A作直线DE // BC．

【答案】已知：如图，；求证：；证明见分析．
【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可证明．
解：如图，．
求证：．
证明：如图，过点A作直线DE // BC．
∵DE // BC，
∴，（两直线平行，内错角相等）．
∵（平角定义），
∴．
即三角形内角和为．
【点拨】本题考查三角形内角和定理的证明，平行线的性质，平角的定义．掌握两直线平行，内错角相等是解题关键．
【变式2】 在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系．如图，把三角形ABC分成三部分，然后以某一顶点（如点B）为集中点，把三个角拼在一起，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是180°”的结论．但是，通过本学期的学习我们知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．
小聪认真研究了拼图的操作方法，形成了证明命题“三角形三个内角的和是180°”的思路：
①画出命题对应的几何图形；
②写出已知，求证；
③受拼接方法的启发画出辅助线；
④写出证明过程．
请你参考小聪解决问题的思路，写出证明该命题的完整过程．

【分析】根据要求画出△ABC，写出已知，求证．构造平行线，利用平行线的性质解决问题即可．
解：△ABC．
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
证明：如图，延长CB到F，过点B作BE∥AC．

∵BE∥AC，
∴∠1=∠4，∠5=∠3，
∵∠2+∠4+∠5=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°，
即∠A+∠ABC+∠C=180°．
【点拨】本题考查三角形内角和定理的证明，平行线的性质，平角的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
类型二、与平行线有关的内角和问题
2.如图，已知，且．

(1)求证：，请完成下面的证明：
∵，，
∴
∴（___________________），
∴___________________（___________________），
又∵（已知），
∴（___________________），
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（___________________）；
(2)若平分，且，，求的度数．
【答案】(1)两直线平行，同位角相等；∠AEF；同位角相等，两直线平行；等量代换；两直线平行，同位角相等；(2)40°．
【分析】
（1）求出∠FDE=∠2，根据三角形内角和定理求出∠FEC=∠ECB，根据平行线的判定得出EF∥BC，根据平行线的性质得出即可；
（2）根据∠3=∠B得∠B=50°，根据三角形内角和定理求出∠ECB=20°，根据角平分线定义得出∠ACB=2∠ECB=40°，即可得出答案．
解：(1)∵∠1+∠2=180°，∠1+∠AEC=180°，
∴∠AEC=∠1
∴AB∥FD（同位角相等，两直线平行），
∴∠3=∠AEF（两直线平行，内错角相等），
又∵∠3=∠B（已知），
∴∠AEF=∠B（等量代换），
∴FE∥CB（同位角相等，两直线平行）
∴∠AFE=∠ACB（两直线平行，同位角相等）；
故答案为：同位角相等，两直线平行；∠AEF；两直线平行，内错角相等；等量代换；两直线平行，同位角相等；
(2)∵∠3=∠B，∠3=50°，
∴∠B=50°，
∵∠2+∠B+∠ECB=180°，∠2=110°，
∴∠ECB=20°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ECB=40°．
【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理的应用以及角平分线的计算，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
举一反三：
【变式1】 已知：如图，AB∥CD，∠B＝∠D． 求证：∠1＝∠2．

【分析】根据平行线的性质得出∠BAC＝∠DCA，进而利用三角形内角和定理得出∠1＝∠2．
解：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
又∵∠B＝∠D，
∴∠1＝180°-∠D-∠ACD，∠2＝180°-∠B-∠BAC=180°-∠D-∠ACD，
∴∠1＝∠2．
【点拨】此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
【变式2】 如图，， ．

(1)试说明；
(2)若，且，求的度数．
【答案】(1)见分析 (2)35°
【分析】
（1）根据，可得BM∥CN，从而得到∠CBM=∠BCN，再由，可得∠ABC=∠BCD，即可求证；
（2）根据对顶角相等可得∠ABD=110°，再由三角形的内角和定理可得∠BAD=35°，然后根据AB∥CD，即可求解．
(1)解：∵，
∴BM∥CN，
∴∠CBM=∠BCN，
∵，
∴∠3+∠CBM=∠4+∠BCN，即∠ABC=∠BCD，
∴AB∥CD；
(2)解：∵∠ABD=∠EBF，，
∴∠ABD=110°，
∴∠BAD+∠BDA=70°，
∵，
∴∠BAD=35°，
∵AB∥CD，
∴∠ADC=∠BAD=35°．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质和判定，对顶角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质和判定，对顶角的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
类型三、三角形折叠有关角度问题
3. 已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度数．

【答案】70°，详见分析
【分析】先根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝140°，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
解：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠EBC+∠FCB＝360°﹣140°＝220°，
∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠EBC+∠FCB）＝110°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝70°．
【点拨】本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知ABCD，解决下列问题：

(1)如图①，写出∠ABE、∠CDE和∠E之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，若∠E＝100°，求∠P的度数．
【答案】(1)∠ABE+∠CDE+∠DEB＝360°，理由见分析 (2)130°
【分析】
（1）过E作EF∥AB，根据平行线的性质即可得出结论；
（2）根据得出三角关系，以及角平分线定义求出四边形PBED中的三个角，进而利用四边形内角和求出所求角的度数即可．
解：(1)根据题意得：∠ABE+∠CDE+∠E＝360°，理由如下：

过E作EF∥AB，
∴∠FEB+∠EBA＝180°，
∵CD∥AB，EF∥AB，
∴CD∥EF，
∴∠CDE+∠DEF＝180°，
∴∠CDE+∠DEB+∠ABE＝360°，
故答案为：∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；
(2)∵BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，
∴∠EDP∠CDE，∠EBP∠ABE，
即∠CDE＝2∠EDP，∠ABE＝2∠EBP，
代入（1）的等式得：2∠EBP+2∠EDP+∠E＝360°，
∵∠E＝100°，
∴∠EBP+∠EDP＝180°∠E＝130°，
在四边形PBED中，
∠P＝360°﹣（∠EBP+∠EDP+∠E）
＝360°﹣（130°+100°）
＝130°．
【点拨】本题考查平行线的性质和角平分线的性质；熟练掌握平行线的性质和角平分线的性质的运用是解决本题的关键．
【变式2】 如图，在中，，，分别平分和，，相交于点F，求的度数．

【答案】45°
【分析】根据三角形角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理即可求解．
解：在中，，

，分别平分和，



∴∠AFE=45°．
【点拨】本题考查了三角形的角平分线的性质，三角形内角和定理，掌握三角形角平分线的定义是解题的关键．
类型四、三角形内角和定理的应用
4.如图，在中，点D为上一点，将沿翻折得到，与相交于点F，若平分，，．

(1)求证：； (2)求的度数．
【答案】(1)证明见分析；(2)．
【分析】
（1）利用三角形内角和定理求出，再利用折叠和角平分线的性质证明，即可证明；
（2）利用三角形内角和定理求出，再利用对顶角相等证明，再利用三角形内角和定理即可求出．
解：(1)∵，，
∴,
∵AE平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
(2)解：，
∴，
∵，且，
∴．
【点拨】本题考查三角形内角和定理，折叠的性质，角平分线的性质，对顶角相等，（1）的关键是求出，证明；（2）的关键是求出．
举一反三：
【变式1】 折叠三角形纸片，使点落在边上的点，且折痕．若，求的度数，并说明理由．

【答案】，证明见分析
【分析】根据折叠的性质可得∠ADE=∠FDE，再由平行的性质可得∠ADE=∠B，再由平角的定义可得出∠BDF的度数．
解：∠BDF=80°，理由如下：
由折叠得，△ADE≌△FDE，
∴∠ADE=∠FDE，
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠FDE=∠B=50°，
∴∠BDF=180°-∠ADE-∠FDE=180°-2∠B=180°-100°=80°．
【点拨】本题主要考查平行线的性质以及折叠的性质，由折叠得到∠ADE=∠FDE是解题的关键．
【变式2】 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上的一点，将△ABC沿AD翻折后，点B恰好落在线段CD上的B'处，且AB'平分∠CAD．求∠BAB'的度数．

【答案】60°
【分析】由折叠和角平分线可求∠BAD=30°，即可求出∠BAB'的度数．
解：由折叠可知，∠BAD=∠B'AD，
∵AB'平分∠CAD．
∴∠B'AC=∠B'AD，
∴∠BAD=∠B'AC=∠B'AD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD=∠B'AC=∠B'AD=30°，
∴∠BAB'=60°．
【点拨】本题考查了折叠和角平分线，解题关键是掌握折叠角相等和角平分线的性质．
类型五、直角三角形两锐角互余的应用
5.如图，在中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，，过点E作，垂足为F．

(1)试说明；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见分析 (2)46°
【分析】
（1）根据AD平分，结合，得出，最后内错角相等两直线平行，得出即可；
（2）根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质，得出，根据垂直定义，得出，最后根据三角形内角和得出．
解：(1)∵AD平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
(2)∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质，是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图所示，有一个三角尺（足够大），其中，把直角三角尺放置在锐角上，三角尺的两边恰好分别经过点．

(1)若，则_________°，__________°，___________°；
(2)若，求的度数；
(3)请你猜想一下与所满足的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)145°；90°；55°；(2)30°(3)∠ABD+∠ACD+∠A=90°，理由见分析
【分析】
（1）根据三角形内角和定理可以求出，根据直角三角形两锐角互余求出∠DBC+∠DCB=90°，由此即可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（2）同（1）求解即可；
（3）同（1）求解即可．
(1)解：∵∠A=35°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=145°；
∵∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=55°，
故答案为：145°；90°；55°；
(2)解：∵∠A=60°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°；
∵∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=30°；
(3)解：∠ABD+∠ACD+∠A=90°，理由如下：
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A；
∵∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=180°-∠A-90°，
∴∠ABD+∠ACD+∠A=90°．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，熟知三角形内角和定理是解题的关键．
【变式2】 如图，在中，，有一块直角三角板放置在上，恰好三角板的两条直角边，分别经过点，，且顶点始终在内部．

(1)如图1，则______度，______度；
(2)如图2，改变图1中直角三角板的位置，但使三角板的两条直角边，仍然分别经过点，．那么的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出的大小．
【答案】(1)140，90 (2)不变化，50°
【分析】
（1）在△ABC中，利用三角形内角和等于180°，可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，即可求∠ABC+∠ACB；可求∠XBC+∠XCB=90°，即可求出答案；
（2）不发生变化，根据三角形内角和定义有90°+（∠ABX+∠ACX）+∠A=180°，则∠ABX+∠ACX=90°-∠A，即可求出答案．
(1)解：∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=140°，
∵在△BCX中，∠BXC=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°．
故答案为：140，90；
(2)不变化，∠ABX+∠ACX=50°．
∵∠X=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=40°，
∴∠ABX+∠ACX=（∠ABC-∠XBC）+（∠ACB-∠XCB）
=（∠ABC+∠ACB）-（∠XBC+∠XCB）
=180°-∠A-90°
=90°-∠A．
=50°
【点拨】此题主要考查了三角形内角和定理，此题注意运用整体法计算，关键是求出∠ABC+∠ACB．
类型六、
6.如图，，于D，于G，．

(1)求∠2的度数；
(2)若CD平分∠ACB，求的度数．
【答案】(1)40°(2)50°
【分析】
（1）根据CD⊥AB，FG⊥AB，可判定CD∥FG，利用平行线的性质可知∠2＝∠BCD，再根据平行线的性质求解即可；
（2）根据角平分线的性质得出∠ACD＝40°，再根据直角三角形性质即可求解．
(1)解：∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG．
∴∠2＝∠BCD，
又∵DE∥BC，
∴∠1＝∠BCD=40°，
∴∠1＝∠2=40°．
(2)解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD=40°，
∵CD⊥AB，
∴∠A＝90°-∠ACD=50°.
【点拨】本题考查了平行线的性质与判定和三角形内角和，解题关键是熟练运用相关性质进行推理计算．
【变式一】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC， AD、BE相交于点F．

(1)若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
(2)试说明：∠AEF＝∠AFE．
【答案】(1)∠AEF＝72°(2)见分析
【分析】
（1）由AD⊥BC得∠ABD+∠BAD＝90°，再根据等角的余角相等得∠ABD＝∠CAD＝36°， 再结合角平分线的性质进一步可求得∠AEF的度数；
（2）由角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，再由等角的余角相等进一步证明即可．
解：(1)∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，   
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE∠ABC＝18°，
∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；
(2)∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，                                                  
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，                                           
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
【点拨】本题考查角平分线的定义，同角（等角）的余角相等，直角三角形两锐角互余等，解题关键是分清各角之间的关系．
【变式二】如图，点A在MN上，点B在PQ上，连接AB，过点A作交PQ于点C，过点B作BD平分∠ABC交AC于点D，且．

(1)求证：；
(2)若，求∠ADB的度数．
【答案】(1)见分析(2)
【分析】
（1）根据，利用三角形内角和．根据，得出，根据平行线判定定理即可得出结论；
（2）根据 ，得出方程，解方程求出，根据BD平分，求出，再根据余角性质求解即可．
解：(1)∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
(2)解：∵，
∴，
∴，
∴
∵BD平分，
∴，
∵，
∴．
【点拨】本题考查平行线判定，三角形内角和，等角的余角性质，一元一次方程，角平分线定义，掌握平行线判定，三角形内角和，等角的余角性质，一元一次方程，角平分线定义是解题关键．