八年级数学上册专题11.26 《三角形》全章复习与巩固（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题11.26 《三角形》全章复习与巩固（知识讲解）
【知识点一】三角形的分类
【知识点二】三角形三边关系
（1）三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（2）已知两边求第三边的范围：两边之差＜第三边＜两边之和。
【知识点三】三角形的高
（1）锐角三角形的三条高都在三角形内，它们在三角形内交于一点；
（2）直角三角形的一条高在三角形内，另外两条高就是两条直角边，三条高在直角顶点相交.；
（3）钝角三角形有一条高在三角形内，还有两条高在三角形外，三条高延长后在三角形外交于一点。
【知识点四】三角形的中线
（1）三角形的三条中线在三角形内交于一点（重心）；
（2）三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形。
【知识点五】三角形的角平分线
三角形的三条角平分线在三角形内交于一点（内心）
【知识点六】三角形的角平分线
三角形的内角和等于180°，外角和等于360°
【知识点七】直角三角形
（1）直角三角形的两个锐角互余。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；
（3）有两个角的和等于第三个角的三角形是直角三角形；
（4）有两个角的差等于第三个角的三角形是直角三角形。
【知识点八】三角形的外角的性质
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
（2）三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角。
【知识点九】三角形角平分线的有关结论：
（1）三角形两个内角的角平分线相交所成的钝角等于90°加上第三个角的一半。
（2）三角形两个外角的角平分线相交所成的锐角等于90°减去第三个角的一半。
（3）三角形一个内角和一个外角的角平分线相交所成的锐角等于第三个角的一半。
【知识点十】多边形
（1）从n边形的一个顶点出发,可以引（n-3）条对角线，它将n边形分成（n-2）个三角形. n边形的对角线公式是：
（2）n边形的内角和等于(n-2)×180°,多边形的外角和等于360°。
【知识点十一】正多边形
（1）正多边形的每个内角等于，每个外角等于
（2）三角形的内角和是外角和的一半，四边形的内角和与外角和相等，六边形的内角和是外角和的2倍。
（3）求多边形的内角和时，如果少加了一个角，那么少加的角等于180°减去余数；如果多加了一个角，那么多加的角就是余数。
【典型例题】
类型一、三角形概念及分类
1．下面几个定义是否正确，如果不正确，请你正确的定义：
(1)三条线段首尾相接组成的图形叫三角形；（2）多边形所有外角的和叫多边形的外角和
【答案】（1）不正确，见分析；（2）不正确，见分析.
解：（1） 不正确，由不在同一直线上的三条线段首尾相接所组成的图形叫三角形；
（2）不正确，在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫这个多边形的外角和.
【点拨】正确理解题意是解题的关键.
举一反三：
【变式1】已知的三边长分别为a，b，c．若a，b，c满足，试判断的形状．
【答案】的形状是等边三角形．
【分析】利用平方数的非负性，求解a，b，c的关系，进而判断．
解：∵，
∴，
∴a=b=c，
∴ 是等边三角形．
【点拨】本题主要是考查了三角形的分类，熟练掌握各类三角形的特点，例如三边相等为等边三角形，含的三角形为直角三角形等，这是解决此类题的关键．
【变式2】满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．
(1) △ABC中，∠A＝30°，∠C＝∠B；
(2) 三个内角的度数之比为1:2:3.
【答案】(1)锐角三角形；(2)直角三角形．
【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.
解：(1) ∵∠A＝30°，∠C＝∠B，∠A＋∠C＋∠B＝180°，∴∠C＝∠B＝75°，
∴满足条件的三角形是锐角三角形．
（2） ∵三个内角的度数之比为1∶2∶3，∴可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，
∴满足条件的三角形是直角三角形．
【点拨】本题主要考查了三角形的分类问题．
类型二、三角形中线、高线和角平分线
2．如图，在6×10的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知△ABC的每个顶点都在格点上．
(1) 画出△ABC中BC边上的高线AE；
(2) 在△ABC中AB边上取点D，连接CD，使；
(3) 直接写出△BCD的面积是__________．

【答案】(1)画图见分析(2)画图见分析(3)
【分析】
（1）利用网格线过A作BC的垂线即可；
（2）利用网格线的特点，取格点D，满足，则D即为所求作的点；
（3）利用三角形的面积公式直接计算即可．
(1)解：如图，即为BC上的高．
(2)如图，利用网格特点，可得，

∴D即为所求作的点，满足．
(3)．
【点拨】本题考查的是画三角形的高，三角形的面积的计算，熟悉等高的两个三角形的面积之间的关系是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，已知△ABC中，AB＝15，BC＝20
（1）画出△ABC的高AD和CE；
（2）若AD＝5，求CE的长．

【答案】（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据三角形高的定义画图；（2）利用面积法进行计算，即可得到答案；
解：（1）如图：
                                           
（2）∵S△ABC=AD•BC=CE•AB，
∴CE=；
【点拨】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的面积．
【变式2】如图，已知AD∥BC．
(1) 找出图中所有面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由．
(2) 如果BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F，＝，求的值．（直接写出答案）

【答案】(1)理由见分析；(2)
【分析】
（1）根据等底等高的三角形的面积相等解答，以及等式的性质进行解答即可．
（2）利用△ABC和△BCD的面积列式整理即可得解．
(1)解：①△ABC与△BCD，②△ADB与△ADC，③△AMB与△DMC；
选择①说明：设AD、BC间的距离为h，
则S△ABC＝，S△BCD＝，
∴△ABC与△DBC的面积相等；
同理：△ADB与△ADC的面积相等．
∵△ABC与△DBC的面积相等，
∴S△ABC﹣S△BCM＝S△DBC﹣S△BCM，即，S△AMB＝S△DMC．
(2)解：∵S△ABC＝S△BCD，
∴AC•BE＝BD•CF，
∴，
∵
∴．
【点拨】本题考查了三角形的面积，平行线间的距离相等，熟记等底等高的三角形的面积相等是解题的关键．
3．如图，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，求AB，BC．

【答案】AB＝9cm，BC＝3cm．
【分析】由BD是中线，可得AD=CD，又由△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，△ABC的周长是21cm，AB=AC，可得AB-BC=6cm，2AB+BC=21cm，继而求得答案．
解：∵BD是中线，
∴AD＝CD＝AC，
∵△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，
∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6cm①，
∵△ABC的周长是21cm，AB＝AC，
∴2AB+BC＝21cm②，
联立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm．
【点拨】本题考查了三角形周长与三角形的中线．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
举一反三：
【变式1】如图所示，设四边形的面积为，四边形的面积为，其中E、F分别为边上的两个三等分点，G、H分别为边上的两个三等分点，请直接写出与的等量关系，并说明理由．

【答案】，理由见分析．
【分析】如图连结、、，然后根据三角形等底等高得到，，进而得到，然后再说明即可解答．
解：，理由如下：
连结DE、EG、GB、BD，则：S△BDE=S△BAD，S△BDG=S△BCD，S△EHG=S△EHD，S△BGF=S△EGF，
∴SDEBG=SABCD=S1，
又∵S△EHG=S△EHD，S△BGF=S△EGF，
∴SEFHG=SDEBG=S1，
∴S2=S1，即．

【点拨】本题主要考查了三角形的等分点以及三角形的面积， 掌握等底等高三角形的面积关系是解答本题的关键．
【变式2】如图，在中，、是边、上的中线，与相交于点，是的中点．
（1）求证：； （2）若，求的面积．

【答案】（1）详见分析；（2）12.
【分析】
（1）由BD、CE是边AC、AB上的中线得到点O为△ABC的重心，然后根据重心的性质易得OC＝2OE；
（2）根据三角形面积公式易得S△OCD＝2S△CDN＝2，再利用重心的性质得OB：OD＝2：1，则S△BCD＝3S△OCD＝6，然后根据AD＝CD可得S△ABC＝2S△BCD＝12．
解：（1）∵、是边、上的中线，
∴点为的重心，
∴，即；
（2）∵是的中点，
∴，
∵点为的重心，
∴，
∴，
∴为中线，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了三角形重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了三角形中线的性质.
4．请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，BC//ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．

求证：BD∥EF．
证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（______________）
∵BC∥ED（________）
∴∠AED=________（________________）
∴∠AED=∠ABC
∴∠1=________
∴BD∥EF（________________）．
【答案】角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行
【分析】根据角平分线的定义得出∠1=∠AED，∠2=∠ABC，根据平行线的性质定理得出∠AED=∠ABC，求出∠1=∠2，再根据平行线的判定定理推出即可．
解：证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（角平分线的定义）
∵BC∥ED（已知）
∴∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等）
∴∠AED=∠ABC
∴∠1=∠2
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理等知识点，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在三角形ABC中CD为的平分线，交AB于点D，，．
(1) 求证：；
(2) 如果，，试证明．

【分析】
（1）先根据角平分线的定义求得∠ACB，进而说明∠ACB=∠3，然后运用同位角相等、两直线平行即可证明；
（2）先根据两直线平行、内错角相等可得，进而得到∠BCD=∠2可得EF//DC，运用平行线的性质可得∠BFE=∠BDC，最后结合即可证明．
(1)证明：∵CD平分，（已知）
∴（角平分线的定义）
又∵（已知）
∴（等量代换）
∴．
(2)证明：由（1）知（已证）
∴（两直线平行，内错角相等）
又∵（已知）
∴（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴（垂直的定义）
∴（等量代换）
∴（垂直的定义）．
【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线线的判定与性质成为解答本题的关键．
【变式2】如图，在中，是边上的高线．
（1）若是边上的中线，，．求的长．
（2）若是的平分线，，，求的大小．

【答案】（1）CD＝4cm；（2）5°
【分析】
（1）根据三角形的面积公式计算三角形的底边BC，再根据三角形中线的性质进行求解;
（2）根据三角形内角和定理计算∠BAC和∠EAC，再根据角平分线的定义计算出∠DAC,最后根据角的和差关系进行计算求解即可.
解：（1）∵AD，AE分别是边BC上的中线和高，
AE＝3cm，S△ABC＝12cm2，
∴S△ADC＝6cm2，∴×AE×CD＝6，
∴×3×CD＝6，解得：CD＝4（cm）；
（2）∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝90°，又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝45°
又AE是边BC上的高
∴∠EAC＝40°，
∴∠DAE＝45°－40°＝5°.
【点拨】本题主要考查三角形中线，角平分线，高，解决本题的关键是要熟练掌握三角形中重要线段的性质.
类型三、三角形边三边关系
5．已知三条线段，，，以这三条线段为边能构成三角形吗？请说明理由．
【答案】能，理由见分析
【分析】根据三线段构成三角形的条件即可判断．
解：∵是最长线段，而
∴以这三条线段为边能构成三角形
【点拨】本题考查了构成三角形的条件，一般地：由于最长线段与任一线段的和总是大于第三边的，因此只要考虑两条短线段的和是否大于最长线段，即可判断三线段是否构成三角形．
举一反三：
【变式1】已知△ABC的三边长分别为a，b，c．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）2＋（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值．
【答案】（1）等边三角形；（2）最大值13，最小值11
【分析】
（1）根据完全平方式的非负性即可得出结果；
（2）根据三角形三边关系即可得出答案．
解：（1）∵（a﹣b）2＋（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形；
（2）∵a＝5，b＝2，且c为整数，
∴5﹣2＜c＜5＋2，即3＜c＜7，
∴c＝4，5，6，
∴当c＝4时，△ABC周长的最小值＝5＋2＋4＝11；
当c＝6时，△ABC周长的最大值＝5＋2＋6＝13．
【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，三角形三边关系等知识点，熟知相关知识是解题的关键．
【变式2】如图，点P是△ABC内任意一点，求证：．

【分析】根据三角形三边关系进行证明即可．
证明：∵PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PC+PA＞AC．
∴把它们相加，得：PA+PB+ PB+PC+ PC+PA＞AB+BC+AC
∴2(PC+ PC+PA)＞AB+BC+AC
再除以2，得PA+PB+PC．
【点拨】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解答此题的关键
类型四、三角形内角和与外角性质
6．如图，直线，与，分别相交于点A，，且，交直线于点．
(1)若∠1=58°，求的度数；
(2)若，，，求直线与的距离．

【答案】(1)32°(2)
【分析】（1）先求出∠ABC，再利用平行线的性质求解即可；（2）利用等面积法即可求解．
解：(1)∵，
∴∠BAC=90°，
∵∠1=58°，
∴∠ABC=90°-58°=32°,
∵,
∴∠2=∠ABC=32°．
(2)图，过点A作AD⊥BC，垂足为D
所以线段AD的长度等于a与b之间的距离，
因为AB⊥AC
所以 AB·AC=BC·AD，
所以AD= ，
所以a与b的距离为 ．

【点拨】本题考查了垂直的定义、直角三角形两个锐角互余，平行线的性质、三角形的面积公式等内容，解题关键是牢记相关概念与性质．
举一反三：
【变式1】如图，△ABC中，E是AB上一点，过D作DEBC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠AED=∠1．
(1) 求证：ABDF．
(2) 若∠1=52°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．

【答案】(1)见分析(2)
【分析】
（1）根据，得出，又因为，等量代换得，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明；
（2）根据，得出，再根据平分，得出，最后在中利用三角形内角和等于即可求解．
(1) 证明：，
，
又，
，
；
(2)解：，
，
平分，
，
在中，
，
．
答：的度数为．
【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系．
【变式2】在四边形ABCD中，，．
(1) 如图①，若，求出的度数；
(2) 如图②，若的角平分线交AB于点E，且，求出的度数；
(3) 如图③，若和的角平分线交于点E，求出的度数．

【答案】(1)(2)(3)
【分析】
（1）利用四边形内角和进行角的计算即可；
（2）利用四边形内角和及角平分线的计算得出，再由三角形外角的性质求解即可；
（3）利用角平分线得出，，结合三角形内角和定理即可得出结果．
(1) 解：∵四边形的内角和是360°，，
∴
∵
∴

(3) ∵，，
∴，
∵CE平分
∴
∵
∴

(3)∵BE，CE分别平分和
∴，
∴
∴在中，．

【点拨】题目主要考查四边形内角和及平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
类型五、直角三角形角的关系
5．如图，已知在中，，AE是BC边上的高，AD是的角平分线，求的度数．

【答案】10°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE的度数即可得到答案．
解：∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴，
∵AE是BC边上的高，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°-∠B=60°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，过点A作AE∥BC ，过点C作CF∥AB，AE与CF相交于点D．
(1) 依题意，补全图形；求证：∠ADC与∠ACB互余．

【分析】
（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据平行线的性质可得出∠B=∠ADC，再根据直角三角形两锐角互余可得结论．
解：(1)如图所示：                                      

(2)∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠B+∠BAD=180°，∠ADC+∠BAD=180°．
∴∠B=∠ADC，
在△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠ADC +∠ACB=90°，即∠ADC 与∠ACB互余．
【点拨】本题主要考查了作平行线，平行线的性质以及直角三角形两锐角互余，正确识别图形是解答本题的关键．
【变式2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC， AD、BE相交于点F．
(1) 若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
(2) 试说明：∠AEF＝∠AFE．

【答案】(1)∠AEF＝72°(2)见分析
【分析】
（1）由AD⊥BC得∠ABD+∠BAD＝90°，再根据等角的余角相等得∠ABD＝∠CAD＝36°， 再结合角平分线的性质进一步可求得∠AEF的度数；
（2）由角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，再由等角的余角相等进一步证明即可．
解：(1)∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，   
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE∠ABC＝18°，
∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；
(2)∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，                                                  
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，                                           
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
【点拨】本题考查角平分线的定义，同角（等角）的余角相等，直角三角形两锐角互余等，解题关键是分清各角之间的关系．
类型六、多边形的内角和与外角和
6．（1）已知：如图①，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，直接写出∠P与∠A的数量关系为 　 　．
（2）已知：如图②，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系．

【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠P与∠A的数量关系；
（2）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠P与∠A+∠B的数量关系．
解：（1）∵DP平分∠ADC，
∴∠PDC=∠ADC．
同理，∠PCD=∠ACD．
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD=
；
故答案为：
（2）∵DP平分∠ADC，
∴∠PDC=∠ADC．
同理，∠PCD=∠BCD．
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD=
．
【点拨】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图是两位小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们是在求几边形？少加的内角为多少度？

【答案】他们在求九边形的内角和；少加的那个内角为120度．
【分析】
根据n边形的内角和公式，则内角和应是180°的倍数，且每一个内角应大于0°而小于180度，根据这些条件进行分析求解即可．
解：1140°÷180°＝6…60°，
则边数是：6+1+2＝9；
他们在求九边形的内角和；
180°﹣60°＝120°，
少加的那个内角为120度．
【点拨】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度．
【变式2】如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角(∠BCD)后，得到∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝460°．
(1)求六边形ABCDEF的内角和；
(2)求∠BGD的度数．

【答案】（1）720°；（2）100°
【分析】
（1）根据多边形的内角和公式求解即可；
（2）由已知条件和角的和差可求出∠GBC+∠C+∠CDG，再利用四边形BCDG的内角是360°求解即可．
解：（1）六边形ABCDEF的内角和为：180°×（6－2）=720°；
（2）∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=460°，
∴∠GBC+∠C+∠CDG=720°－460°=260°，
∴∠G=360°－（∠GBC+∠C+∠CDG）=100°．
【点拨】本题考查了多边形的内角和，正确理解题意、掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
类型七、正多边形的内角与外角
7．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠的变化情况，解答下列问题．

（1）将如表的表格补充完整：
正多边形的边数
3
4
5
6
……
n
∠的度数




……

（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠＝20°？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，，，；（2）存在，
【分析】
（1）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的∠α=；
（2）根据正n边形中的∠α=，可得答案．
解：（1）观察上面每个正多边形中的，填写下表：
正多边形边数
3
4
5
6


的度数






故答案为：，，，，；
（2）存在，理由如下：
设存在正边形使得，
得．
解得：，
存在正边形使得．
【点拨】本题考查了多边形内角与外角，每题都利用了正多边形的内角：，三角形的内角和定理，等腰三角形的两底角相等．
举一反三：
【变式1】如果正多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍多30°．
（1）它是几边形？
（2）这个正多边形的内角和是多少度？
（3）求这个正多边形对角线的条数．
【答案】（1）十二边形；（2）这个正多边形的内角和为；（3）对角线的总条数为54 条．
【分析】
（1）设一个外角为x°，则内角为（4x+30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x+4x+30=180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数；
（2）利用多边形内角和公式即可得到答案；
（3）根据n边形有条对角线，即可解答．
解：（1）设这个正多边形的一个外角为，
依题意有，
解得，

∴这个正多边形是十二边形.
（2）这个正多边形的内角和为；
（3）对角线的总条数为(条) ．
【点拨】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．另外还要注意从n边形一个顶点可以引（n-3）条对角线．
【变式2】如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫作正多边形，如图，就是一组正边形，观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题．
      
将下面的表格补充完整：
正多边形的边数





的度数
________
________
________
________

根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由；
根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）表格见分析；（2）存在，12；（3）不存在，理由见分析
【分析】
（1）根据多边形外角和公式求出多边形的每个外角，再根据三角形的外角性质以及平角的定义求出即可；
（2）根据（1）的结果得出规律，根据规律得出方程，求出方程的解即可；
（3）根据（1）的结果得出规律，根据规律得出方程，求出方程的解即可．
解：（1）如图ABCDE为正五边形，∠FAE=∠AEG=，∠1=∠2=∠3，
∴



，

同理可求得正六边形、正七边形、正八边形中的度数；
填表如下：
正多边形的边数





的度数





（2）存在正十二边形，使其中的．
理由是：由（1）得
∴，
解得，
即当多边形是正十二边形时，能使其中的；
（3）不存在，理由如下：
假设存在正边形使得，
得，
解得，
又是正整数，
所以不存在正边形使得．
【点拨】本题考查了正多边形的外角问题以及三角形的外角性质，能求出正多边形的每个外角的度数是解此题的关键，注意：正边形的每个外角=．