八年级数学上册专题12.17 三角形全等几何模型-共顶角（点）模型（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题12.17 三角形全等几何模型-共顶角（点）模型

（专项练习）

共顶角（点）模型：共顶角（点）模型，就是欲证全等的两个三角形有相同角或对应角在同一个顶点上。

一、单选题

1．如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（       ）

A． B． C． D．

2．如图，在中，，，，P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），现给出以下四个结论：①②是等腰直角三角形；③④；其中所有正确结论的序号为（       ）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④

3．如图，已知，则的度数为（       ）

A． B． C． D．

4．如图，点D在AB上，点E在AC上，①AB＝AC，②∠B＝∠C，③∠BFD＝∠CFE，④BE＝CD，⑤AE＝AD．五个条件中，能使的序号组合是（       ）

A．①② B．②③ C．①④ D．③⑤

5．如图，，增加下列条件可以判定的是（       ）

A． B． C． D．

6．如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点A的坐标为（-2，5），则线段DE的长为（　　）

A． B． C． D．

7．如图，已知AB＝AC，∠DAB＝∠DAC，那么判定△ABD≌△ACD的依据是（　　）

A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS

8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD相交于点O，如果已知∠ABC＝∠ACB，那么还不能判定△ABE≌△ACD，补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）

A．AD＝AE B．BE＝CD C．OB＝OC D．∠BDC＝∠CEB

9．如图，BC⊥CE，BC=CE，AC⊥CD，AC=CD，DE交AC的延长线于点M，M是DE的中点，若AB=8，则CM的长为（       ）

A．3.2 B．3.6 C．4 D．4.8

10．如图，点E是△ABC内一点，∠AEB=90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB=6，EF=1，则线段AC的长为（       ）

A．7 B．8 C．9 D．10

11．如图，在和中，，，，线段BC的延长线交DE于点F，连接AF．若，，，则线段EF的长度为（       ）

A．4 B． C．5 D．

12．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，则∠BPD的度数为（　　）

A．110° B．125° C．130° D．155°

二、填空题

13．如图，点D、E是线段AB、AC上的两点，且AB＝AC．再添加一个条件可以使得△ACE≌△ACD，你添加的条件是______．（只需填一种情况）

14．如图，已知BE＝DC，请添加一个条件，使得△ABE≌△ACD：_____．

15．如图，AD，BE是的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是______（写出一个即可）．

16．如图，OP平分∠MON，过点P的直线与OM，ON分别相交于点A，B，只需添加一个条件即可证辱，这个条件可以是___（写出一个即可）．

17．已知：如图，AC＝DC，∠1＝∠2，请添加一个已知条件：_____，使ABCDEC．

18．如图，已知EC＝BC，∠1＝∠2，要使△ECD≌△BCA，需添加的条件是________(只需写出一个条件)．

19．如图，在中，，，，分别在，，上，且，，，则的度数是_____．（用含的代数式表示）

20．如图，，，，，，则______．

21．如图，与的顶点A、B、D在同一直线上，，，，延长分别交、于点F、G．若，，则______．

22．如图，已知，，添加一个条件，使，你添加的条件是______（填一个即可）．

23．如图，已知，，，B、D、E三点在一条直线上．若，，则的度数为___________．

24．如图，BE交AC于点M，交CF于点D，AB交CF于点N，，给出的下列五个结论中正确结论的序号为                             ．

①；②；③；④；⑤．

25．如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝______°．

三、解答题

26．已知，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度均为1cm/s．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s）．

（1）如图1，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．

（2）如图2，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

（3）如图3，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，请直接写出∠CMQ度数．

27．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），过点A作AG⊥AH且AG＝AH，连接GC，HB．

（1）证明：AHB≌AGC；

（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．

①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；

②当AQG为等腰三角形时，求∠AHE的度数．

28．在中，∠BAC＝90°，，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE（，），连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，猜想：BC与CE的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）题的结论是否仍然成立？说明理由；

（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，结论（1）题的结论是否仍然成立？不需要说明理由．

参考答案：

1．B

【分析】

根据，，正好是两边一夹角，即可得出答案．

解：∵在△ABO和△DCO中，，

∴，故B正确．

故选：B．

【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键．

2．A

【分析】

利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等（△APF≌△BPE，△APE≌△CPF），根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．

解：如图，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵∠BAC=90°，P是BC中点，

∴AP=CP，

∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，

∴∠1=∠2，

在△APE与△CPF中，

，

∴△APE≌△CPF（ASA），

同理可证△APF≌△BPE，

①由△APE≌△CPF得到AE=CF，故①正确；

②由△APE≌△CPF得到PE=PF，

∵∠EPF是直角，

∴△EPF是等腰直角三角形，故②正确；

③由△APE≌△CPF得到S△APE=S△CPF，

则S四边形PEAF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△APF=S△ABC，故③正确；

④∵EF大小是变化的，而AP不变，所以EF不一定等于AP∴④错误；

正确结论为①②③，共3个．

故选：A．

【点拨】此题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．

3．C

【分析】

首先根据已知条件证明，再利用等腰三角形求角度即可．

解：∵，

∴，

∴，

在与中，

∵，

∴（SAS），

∴，，

∴，

故选：C．

【点拨】本题主要考查三角形全等的证明，利用已知条件进行证明是解题的关键．

4．A

【分析】

根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．

解：A．①②

在△ABE和△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD（ASA），故本选项符合题意；

B. ②③ ，C. ①④ ，D. ③⑤都不能证明△ABE≌△ACD，故都不符合题意．

故选：A．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形可以用HL．

5．B

【分析】

利用全等三角形的判定，逐项判断即可求解．

解：根据题意得：，，

A、添加，无法判定，故本选项错误，不符合题意；

B、添加，可利用角边角判定，故本选项正确，符合题意；

C、添加，无法判定，故本选项错误，不符合题意；

D、添加，无法判定，故本选项错误，不符合题意；

故选：B

【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

6．D

【分析】

由等腰直角三角形的性质得出OA=BO，∠AOB=90°，证明△ADO≌△OEB（AAS），由全等三角形的性质得出AD=OE=5，OD=BE=2，则可得出答案．

解：∵A（-2，5），AD⊥x轴，

∴AD=5，OD=2，

∵△ABO为等腰直角三角形，

∴OA=BO，∠AOB=90°，

∴∠AOD+∠DAO=∠AOD+∠BOE=90°，

∴∠DAO=∠BOE，

在△ADO和△OEB中，

，

∴△ADO≌△OEB（AAS），

∴AD=OE=5，OD=BE=2，

∴DE=OD+OE=5+2=7．

故选：D．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

7．D

【分析】

根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出相应的全等三角形，并写出判定依据．

解：在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD（SAS），

故选：D．

【点拨】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．

8．B

【分析】

根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法，可以得到哪个选项中的条件，不能判定△ABE≌△ACD，从而可以解答本题．

解：∵∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∵∠BAE=∠CAD，

∴补充条件AD=AE时，△ABE≌△ACD（SAS），故选项A不符合题意；

补充条件BE=CD，无法判断△ABE≌△ACD，故选项B符合题意；

补充条件OB=OC时，则∠OBC=∠OCB，故∠ABE=∠ACD，则△ABE≌△ACD（ASA），故选项C不符合题意；

补充条件∠BDC=∠CEB时，则∠AEB=∠ADC，则△ABE≌△ACD（AAS），故选项D不符合题意；

故选：B．

【点拨】本题考查全等三角形的判定的知识，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．

9．C

【分析】

过点E作EF⊥AC，交AC的延长线于点F，先证明△DCM≌△EFM（AAS），得到CM＝FM，CD＝FE，再证明△ABC≌△FCE（SAS），得到FC＝AB＝8，利用CM＝FC得到答案．

解：如图，过点E作EF⊥AC，交AC的延长线于点F，

∵ CD⊥AC，EF⊥AC

∴∠DCM＝∠EFM＝90°

∵M是DE的中点

∴DM＝EM

∵∠DMC＝∠EMF

∴△DCM≌△EFM（AAS）

∴CM＝FM，CD＝FE

∵BC⊥CE，EF⊥AC

∴∠BCE＝90°，∠CFE＝90°

∴∠ACB＋∠ECF＝90°，∠ECF＋∠FEC＝90°

∴∠ACB＝∠FEC

∵AC＝CD

∴AC＝FE

∵BC＝CE

∴△ABC≌△FCE（SAS）

∴FC＝AB＝8

∵CM＝FM

∴M是FC的中点

∴CM＝FC＝4

故选：C

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形的判定方法是基础，添加辅助线构造全等三角形是关键．

10．B

【分析】

延长交于，证明，根据全等三角形的性质求出，根据三角形中位线定理解答即可．

解：延长交于，

平分，

，

在和中，

，

，

，，

，，

，

，

，

，

故选：B．

【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

11．B

【分析】

证明，，根据全等三角形对应边相等，得到，，由解得，继而解得，最后由解答．

解：，，，

，，

，

故选：B．

【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、线段的和差等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

12．C

【分析】

易证△ACD≌△BCE，由全等三角形的性质可知：∠A＝∠B，再根据已知条件和四边形的内角和为360°，即可求出∠BPD的度数．

解：在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SSS），

∴∠A＝∠B，∠BCE＝∠ACD，

∴∠BCA＝∠ECD，

∵∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，

∴∠BCA+∠ECD＝100°，

∴∠BCA＝∠ECD＝50°，

∵∠ACE＝55°，

∴∠ACD＝105°

∴∠A+∠D＝75°，

∴∠B+∠D＝75°，

∵∠BCD＝155°，

∴∠BPD＝360°﹣75°﹣155°＝130°，

故选：C．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出∠B+∠D＝75°．

13．AB＝AD（答案不唯一）

【分析】

根据全等三角形的判定定理即可求解．

解：添加AE＝AD，

在△ABE和△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD（SAS），

故答案为AE＝AD（答案不唯一）

【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

14．∠B＝∠C

【分析】

根据全等三角形的判定方法解答即可．

解：∵BE＝DC，∠A＝∠A，

∴根据AAS，可以添加∠B＝∠C，使得△ABE≌△ACD，

故答案为：∠B＝∠C．

【点拨】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．

15．（答案不唯一）

【分析】

根据已知条件可知，故只要添加一条边相等即可证明．

解：添加，

AD，BE是的两条高线，

，

在与中，

．

故答案为：（答案不唯一）．

【点拨】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定是解题的关键．

16．答案不唯一，如OA＝OB

【分析】

添加OA=OB，根据OP平分∠MON，得出∠AOP=∠BOP，利用SAS证明△AOP≌△BOP

解：添加OA=OB，

∵OP平分∠MON，

∴∠AOP=∠BOP，

在△AOP和△BOP中，

，

∴△AOP≌△BOP（SAS），

故答案为OA=OB（答案不唯一）．

【点拨】本题考查添加条件判定三角形全等，掌握三角形全等的判定方法是解题关键．

17．

【分析】

已知给出了∠1＝∠2，可得三角形中一对应角相等，又有一边对应相等，根据边角边判定定理，补充BC＝AC可得ABCDEC答案可得．

解：∵∠1＝∠2，

∴∠BCA＝∠ECD，

又AC＝DC，添加BC＝CE，

∴ABCDEC（SAS）．

故答案为：BC＝EC．

【点拨】此题考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．解题的关键是添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件．

18．DC=AC（答案不唯一）

【分析】

由∠1＝∠2可得∠ECD=∠BCA，再由EC＝BC，添加DC=AC，利用“SAS”判定两个三角形全等．

解：添加的条件是DC=AC，理由如下：

∵∠1＝∠2，

∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，

即∠ECD=∠BCA，

在△ECD和△BCA中，

，

∴△ECD≌△BCA（SAS）．

故答案为DC=AC．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理．熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．

19．180°−2α

【分析】

根据已知条件可推出△BDF≌△CDE，从而可知∠EDC＝∠FDB，则∠EDF＝∠B．

解：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

在△BDF和△CED中，

，

∴△BDF≌△CED（SAS）

∴∠EDC＝∠DFB

，

∴∠EDF＝∠B＝（180°−∠A）÷2＝90°−∠A，

∵∠FDE＝α，

∴∠A＝180°−2α，

故答案为：180°−2α．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质及三角形内角和定理；此题能够发现全等三角形，再根据平角的定义和三角形的内角和定理发现∠EDF＝∠B．再根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质进行推导．

20．17

【分析】

由AAS证明△ABC≌△EFC，得出对应边相等AC=EC，BC=CF=9，求出EC，即可得出AC的长．

解：∵AC⊥BE，

∴∠ACB=∠ECF=90°，

在△ABC和△EFC中，

，

∴△ABC≌△EFC，

∵BE=26，CF=9，

∴AC=EC，BC=CF=9，

∵EC=BE-BC=26-9=17，

∴AC=EC=17．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．

21．##110度

【分析】

先证明△ABC≌△EDB，可得∠E=，然后利用三角形外角的性质求解．

解：∵，

∴∠ABC=∠D，

在△ABC和△EDB中

，

∴△ABC≌△EDB，

∴∠E=，

∴，，

∴∠EGF=30°+50°=80°，

∴80°+30°=110°，

故答案为：110°．

【点拨】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角和是解答本题的关键．

22．（答案不唯一）

【分析】

此题是一道开放型的题目，答案不唯一，先根据∠BCE＝∠ACD求出∠BCA＝∠DCE，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．

解：添加的条件是CB＝CE，

理由是：∵∠BCE＝∠ACD，

∴∠BCE＋∠ECA＝∠ACD＋∠ECA，

∴∠BCA＝∠DCE，

在△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC（SAS），

故答案为：CB＝CE（答案不唯一）．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．

23．25°

【分析】

先证明△ABD≌△ACE（SAS）；再利用全等三角形的性质：对应角相等，求得∠ABD＝∠2＝30°；最后根据三角形外角的性质求∠1即可．

解：∵，

∴∠1＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD，

∴∠1＝∠CAE；

在△ABD与△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）；

∴∠ABD＝∠2＝30°；

∵∠1＝∠3－∠ABD＝55°－30°＝25°（三角形的外角性质）

∴∠1＝25°．

故答案为：25°．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质；将所求的角与已知角通过全等及内角、外角之间的关系联系起来是解答此题的关键．

24．①；②；③；⑤

【分析】

①先证明△ABE≌△ACF，然后根据全等三角形的性质即可判定；②利用全等三角形的性质即可判定；③根据ASA即可证明三角形全等；④无法证明该结论；⑤根据ASA证明三角形全等即可．

解：在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（AAS），

∴∠BAE=∠CAF，BE=CF，故②正确，

∴∠BAE-∠BAC=∠CAF-∠BAC，即∠1=∠2，故①正确，

∵△ABE≌△ACF，

∴AB=AC，

在△CAN和△BAM中，

，

∴△CAN≌△BAM（ASA），故③正确，

CD=DN不能证明成立，故④错误

在△AFN和△AEM中

，

∴△AFN≌△AEM（ASA），故⑤正确．

结论中正确结论的序号为①；②；③；⑤．

故答案为①；②；③；⑤．

【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件．

25．47

【分析】

根据“边边边”证明，再根据全等三角形的性质可得∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和求出∠3＝∠1＋∠2，然后求解即可．

解：在△ABC和△ADE中，，

∴（SSS），

∴∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，

∴∠3＝∠ABC＋∠BAC＝∠1＋∠2，

∵，

∴，

∴．

故答案为：47．

【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．

26．（1）不变，60°；（2）或；（3）120°．

【分析】

（1）通过证△ABQ≌△CAP得到∠BAQ=∠ACP，所以由三角形外角定理得到∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；

（2）需要分类讨论：分∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况；

（3）通过证△ABQ≌△CAP得到∠BAQ=∠ACP，所以由三角形外角定理得到∠CMQ=∠BAQ+∠APC=∠ACP+∠APC=180°-∠BAC=120°．

解：（1）不变．在△ABQ与△CAP中，

∵，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；

（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t，

①当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，

∴PB=2BQ，

∴4-t=2t，；

②当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，

∴BQ=2BP，

∴ t=2（4-t），t=；

∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形；

（3）在△ABQ与△CAP中，

∵，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CMQ=∠BAQ+∠APC=∠ACP+∠APC=180°-∠BAC=120°．

【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

27．（1）见分析；（2）①见分析；②当△AQG为等腰三角形时，∠AHE的度数为67.5°或90°．

【分析】

（1）根据SAS可证明△AHB≌△AGC；

（2）①证明△AEH≌△AFG（SAS），可得∠AFG=∠AEH=45°，从而根据两角的和可得结论；

②分两种情况：i）如图3，AQ=QG时，ii）如图4，当AG=QG时，分别根据等腰三角形的性质可得结论．

解：（1）证明：如图1，

由旋转得：AH=AG，∠HAG=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAH=∠CAG，

∵AB=AC，

∴△ABH≌△ACG（SAS）；

（2）①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵点E，F分别为AB，AC的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF∥BC，AE=AB，AF=AC，

∴AE=AF，∠AEF=∠ABC=45°，∠AFE=∠ACB=45°，

∵∠EAH=∠FAG，AH=AG，

∴△AEH≌△AFG（SAS），

∴∠AFG=∠AEH=45°，

∴∠HFG=45°+45°=90°；

②分两种情况：

i）如图3，AQ=QG时，

∵AQ=QG，

∴∠QAG=∠AGQ，

∵AG⊥AH且AG=AH，

∴∠AHG=∠AGH=45°，

∴∠AHG=∠AGH=∠HAQ=∠QAG=45°，

∴∠EAH=∠FAH=45°，

∵AE=AF，AH=AH，

∴△AEH≌△AFH（SAS），

∴∠AHE=∠AHF，

∵∠AHE+∠AHF=180°，

∴∠AHE=∠AHF=90°；

ii）如图4，当AG=QG时，∠GAQ=∠AQG，

∵∠AEH=∠AGQ=45°，

∴∠GAQ=∠AQG==67.5°，

∵∠EAQ=∠HAG=90°，

∴∠EAH=∠GAQ=67.5°，

∴∠AHE=∠AQG=67.5°；

∵H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），

∴不存在AG=AQ的情况．

综上，当△AQG为等腰三角形时，∠AHE的度数为67.5°或90°．

【点拨】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，也考查了全等三角形的判定与性质，第二问要注意分类讨论，不要丢解．

28．（1）BC⊥CE，见分析；（2）成立，见分析；（3）成立

【分析】

（1）先证∠2=∠3，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠4=∠5，求出∠4=∠6=45°，∠5=45°即可；

（2）先证∠2=∠3，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠ABD=∠ACE，求出∠ABC=∠ACB=45°，得出∠ABD=∠ACE=135°即可；

（3）先证∠BAD=∠CAE，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠ABD=∠ACE，再求∠ABC=∠ACB=45°，得出∠ABD=∠ACE=45°．

解：（1）BC与CE的位置关系是BC⊥CE，理由是：

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC-∠1=∠DAE-∠1，

即∠2=∠3，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠4=∠5，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠4=∠6=45°，

∴∠5=45°，

∴∠BCE=∠5+∠6=45°+45°=90°，

即BC⊥CE；

（2）成立.理由是：

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC-∠1=∠DAE-∠1，

即∠2=∠3，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠ABD=∠ACE=135°，

∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=135°-45°=90°，

即BC⊥CE；

（3）成立

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

即∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠ABD=∠ACE=45°，

∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°．

【点拨】本题考查图形变换中结论问题，等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角的和差运用，直线位置关系，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角的和差运用，直线位置关系垂直的证法是解题关键．