八年级数学上册专题12.32 作辅助线证明三角形全等-倍长中线（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份八年级数学上册专题12.32 作辅助线证明三角形全等-倍长中线（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共26页。

专题12.32 作辅助线证明三角形全等-倍长中线（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB=8，AC=5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（          ）

A．3 2．在中，，中线，则边的取值范围（       ）

A． B． C． D．
二、填空题
3．已知三角形的两边长分别是2和4，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是______．
4．如图，在中，，，则中线的取值范围是__________．

5．如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是△ABC的中线，若AD的长为偶数，则AD＝_____．

6．是中边上的中线，若，，则的取值范围是______.
三、解答题
7．已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．
(1)求a，b的值；
(2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．




8．如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．







9．阅读理解：

（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______．
（2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．
（3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：．



10．如图，已知，点是的中点，且，求证：．







11．如图所示，在中，交于点，点是中点，EF∥AD交的延长线于点，交于点，若，求证：为的平分线.






12．如图所示，为的角平分线，分别在上，，若．
求证：．




13．已知：如图所示，在中，为中线，交分别于，如果，求证： ．



14．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程．

(1)求证：△ABD≌△ECD
证明：延长AD到点E，使DE＝AD
在△ABD和△ECD中
∵AD＝ED（已作）
∠ADB＝∠EDC（ ）
CD＝ （中点定义）
∴△ABD≌△ECD（ ）
(2)由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是 ；
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如下图，中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长．





15．如图，中，是边的中点，过点作交的延长线于点．求证:是的中点．

证明:(已知)，
_ (两直线平行，内错角相等)，
是边的中点，
(_ ），(_ ），
在和中，
，
( ) ，
(全等三角形的对应边相等)，
是的中点．








16．（1）是的中线，，则的取值范围是__________．
（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图，是的中线，交于，交于，且，求证：．






17．如图，为中边上的中线．
（1）求证：；
（2）若，，求的取值范围．













参考答案
1．B
【分析】
延长AD到E，使AD=DE，连结BE，证明△ADC≌△EDB就可以得出BE=AC，根据三角形的三边关系就可以得出结论．
解：延长AD到E，使AD=DE，连结BE．

∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD．
在△ADC和△EDB中，

∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE．
∵AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴AB-AC＜2AD＜AB+AC．
∵AB=8，AC=5，
∴1.5＜AD＜6.5．
故选：B
【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中线的性质的运用，三角形三边关系的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
2．C
【分析】
延长AD至E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
解：如图，延长AD至E，使DE=AD，

∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=CE，
∵AD=7，
∴AE=7+7=14，
∵14+5=19，14-5=9，
∴9＜CE＜19，
即9＜AB＜19．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．
3．1＜x＜3
【分析】
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
解：如图所示，AB＝2，AC＝4，
延长AD至E，使AD＝DE，
在△BDE与△CDA中，
∵AD＝DE，BD＝CD，∠ADC＝∠BDE，
∴△BDE≌△CDA，
∴AE＝2x，BE＝AC＝4，
在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即4﹣2＜2x＜4+2，
∴1＜x＜3．
故答案为：1＜x＜3．

【点拨】本题考查了三角形的中线、三角形三边关系，有关三角形的中线问题，通常要倍数延长三角形的中线，把三角形的一边变换到与另一边和中线的两倍组成三角形，再根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
4．2＜AD＜7
【分析】
作出图形，延长AD至E，是DE=AD，连接CE，然后根据“边角边”证明△ABD和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，然后利用三角形任意两边之和大于第三边，两边之和小于第三边求出AE的取值范围，从而得解．
解：如图，延长AD至E，是DE=AD，连接CE，

∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=CE，
∵AB=9，AC=5，
9-5=4，9+5=14，
∴4＜AE＜14，
∴2＜AD＜7．
故答案为：2＜AD＜7．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，将中线AD延长得AD=DE进而求出是解题的关键．
5．2或4
【分析】
延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，由“SAS”可证△ABD≌△ECD，可得CE＝AB＝6，由三角形的三边关系可得1＜AD＜5，即可求解．
解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，

在△ABD与△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB＝6，
在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，
即2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5，
∵AD为偶数，
∴AD＝2或4，
故答案为2或4．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质及三角形的三边关系，关键是根据倍长中线这个辅助线作法得到三角形全等，进而求解即可．
6．
【分析】
延长AD到E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．
解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
∵，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB，
∵AB＝4，AC＝6，
∴6−4＜AE＜6＋4，即2＜AE＜10，
故答案为：1＜AD＜5．

【点拨】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
7．(1)，(2)2 【分析】
（1）把展开，然后根据多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，可得，即可求解；
（2）延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，可得△CDB≌△HAD，从而得到BC=AH=a=6，再根据三角形的三边关系，即可求解．
(1)解：∵

，
根据题意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b
∴，解得：；
(2)解：如图，延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，

∵CD是AB边上的中线，
∴BD=AD，
在△CDB和△HDA中，
∵CD=DH，∠CDB=∠ADH，BD=DA，
∴△CDB≌△HDA（SAS），
∴BC=AH=a=6，
在△ACH中，AC-AH ∴10-6<2CD<10+6，
∴2 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，整式乘法和二元一次方程组的应用，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，整式乘法法则，三角形的三边关系是解题的关键．
8．（1）见分析；（2），见分析
【分析】
（1）直接延长CB到点E，使BE=BD即可；
（2）延长至点，使得，连接，可证得，则，再通过证明，可得到，从而得到即可．
解：（1）如图所示：

（2）如图，

判断：
证明如下：
延长至点，使得，连接
在和中，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵AD平分∠BAC
∴
在和中，
∵
∴
∴
又∵
∴
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键．
9．（1）；（2）见分析；（3）见分析．
【分析】
（1）如图1延长到点，使得，再连接，由AD为中线，推出BD=CD，可证△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三边关系即可，
（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG由D为BC中点，BD=CD可证△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中 由三边关系，
（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由是边上的中点，得BD=CD，可证△ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案，
解：（1）如图1延长到点，使得，再连接，
∵AD为中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△       EDB中，
∵CD=BD，
∠ADC=∠EDB，
AD=ED，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC=EB=6，
，
∵，
∴，
∴，

（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG，
由D为BC中点，BD=CD，
在△FDC和△GDB中，
∵CD=BD，
∠FDC=∠GDB，
FD=GD，
∴△FCD≌△GBD（SAS），
∴FC=GB，
∵，DF=DG，
∴EF=EG，
在△BEG中EG
（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，
由是边上的中点，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中，
∵CD=BD，
∠ADC=∠GDB，
AD=GD，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴AC=GB，∠DAC=∠G，
∵BE=AC，
∴BE=BG，
∴∠BED=∠G=∠CAD．

【点拨】本题考查中线加倍，三角形全等，三边关系，垂直平分线，等腰三角形，掌握中线加倍构造三角形，用三角形全等转化等量关系，用三边关系求取值范围，用垂直平分线转化线段，用等腰三角形证角是解题关键，
10．证明见分析
【分析】
延长AE、BC交于点M，利用AAS证出△ADE≌△MCE，从而得出AD=MC，AE=ME，结合已知条件即可证出BM=AB，再利用SSS即可证出△BAE≌△BME，从而得出∠BEA=∠BEM，根据垂直定义即可证出结论．
解：延长AE、BC交于点M，如下图所示

∵点是的中点，
∴DE=CE，
∵
∴∠1=∠M
在△ADE和△MCE中

∴△ADE≌△MCE
∴AD=MC，AE=ME
∵
∴MC＋BC=AB
∴BM=AB
在△BAE和△BME中

∴△BAE≌△BME
∴∠BEA=∠BEM
∵∠BEA＋∠BEM=180°
∴∠BEA=∠BEM=90°
∴
【点拨】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义是解题关键．
11．见分析
【分析】
延长FE，截取EH=EG，连接CH，可证△BEG≌△CEH，即可求得∠H=∠BGE，进一步证明，最后由平行线的性质即可证得∠CAD=∠BAD，即可解题．
解：证明：延长FE，截取EH=EG，连接CH，

∵E是BC中点，
∴BE=CE，
在△BEG和△CEH中，
，
∴△BEG≌△CEH（SAS），
∴∠BGE=∠H，BG=CH
∵BG=CF
∴CH=CF
∴
∴
∵EF∥AD，
∴∠F=∠CAD，∠BAD=∠BGE，
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD平分∠BAC．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，本题中求证△BEG≌△CEH是解题的关键．
12．详见分析
【分析】
延长FD至G，使，连结CG，可证，则EF=CG，利用全等三角形和角平分线以及平行线的性质可得 ，根据等角对等边得AC=CG，即可得出结论.
解：证明：延长FD至G，使，连结CG，

∵DC=DE，∠EDF=∠CDG，
∴，
，
，
，
又，
，
，
.
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证△EDF 与△CDG 全等．
13．详见分析
【分析】
根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．
解：延长ED至G，使，连结GC，

∵在中，为中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中，

∴，
，，
，
，
．
又，
∴，
∴.
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形．
14．(1)对顶角相等；BD；SAS(2)(3)
【分析】
（1）延长AD到点E，使DE=AD，根据SAS定理证明△ABD≌△ECD；
（2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算；
（3）延长AD交EC的延长线于F，证明△ABD≌△FCD，△ADE≌△FDE，根据全等三角形的性质解答．
解：(1)延长AD到点E，使DE＝AD
在△ABD和△ECD中
∵AD＝ED（已作）
∠ADB＝∠EDC（对顶角相等）
CD＝BD（中点定义）
∴△ABD≌△ECD（SAS）
故答案为：对顶角相等；BD；SAS
(2)∵△ABD≌△ECD ，AB＝6，AC＝8，
，
，

，
故答案为；
(3)延长AD交EC的延长线于F，

，，
，
在和中，
，
≌，
，，
又∵∠FDE＝∠ADE＝90°
ED＝ED
∴△ADE≌△FDE
，
，
．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟记全等三角形的判定条件．
15．；线段中点的定义；
【分析】
利用中线类倍长的基本模型进行证明，结合平行线的性质进行论证．
解：(已知)，
(两直线平行，内错角相等)，
是边的中点，
(线段中点的定义)，
在和中，

，
(全等三角形的对应边相等)，
是的中点．
【点拨】本题考查了类倍长中线的模型，能够通过平行结合中点问题，推出三角形全等，是解决问题的关键．
16．（1）       （2）见分析
【分析】
（1）根据倍长中线法将AD延长一倍，再证△ADC≌△GDB，根据三角形的三边关系即可求出AG的取值范围，从而求出AD的取值范围；
（2）由（1）中结论：△ADC≌△GDB，即可得到：AC=BG，∠CAD=∠G，再根据等腰三角形的性质和判定即可得到BG=BF=AC.
解：（1）将AD延长至G，使AD=DG，连接BG，如下图所示：

在△ADC和△GDB中

∴△ADC≌△GDB
∴AC=BG=6
在△ABG中

∴
∴
（2）将AD延长至G，使AD=DG，连接BG，如下图所示：

由（1）中结论：△ADC≌△GDB
∴AC=BG，∠CAD=∠G
又∵，
∴，
∴
∵
∴
∴BG=BF=AC
【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及等腰三角形的判定及性质，掌握用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键.
17．（1），（2）
【分析】
（1）延长至，使，连接，然后再证明，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，利用等量代换可得；
（2）把，代入（1）的结论里，再解不等式即可．
解：（1）证明：如图延长至，使，连接，
∵为中边上的中线，
∴，
在和中：
，
∴，
∴（全等三角形的对应边相等），
在中，由三角形的三边关系可得，
即；

（2）解：∵，，
由（1）可得，
∴，
∴．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，利用倍长中线的方式构造全等三角形是解题关键．