八年级数学上册专题12.37 作辅助线证明三角形全等-截长补短（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份八年级数学上册专题12.37 作辅助线证明三角形全等-截长补短（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共50页。

专题12.37 作辅助线证明三角形全等-截长补短（培优篇）
（专项练习）
“截长补短”是处理线段间数量关系的一种重要的解题方法.当题目中出现三条线段间的和差关系时(如a=b+c),常考虑用此法解决.所谓"截",就是将最长的线段a截成两段,使其中一段等于较短的一条线段b,再利用全等三角形或者等腰三角形的知识证另一段等于线段c;所谓"补",就是将较短的线段6延长,使延长的线段长度为c,相当于将线段b,c拼成一条线段,再证明此线段的长等于a.用截长补短法解决问题的关键,是用"截"或"补"的手段去构造线段.
一、解答题
1．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．





2．在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 　 　．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．





3．等边中，点、分别在边、上，且，连接、交于点．
（1）如图1，求的度数；

图1
（2）连接，若，求的值；
（3）如图2，若点为边的中点，连接，且，则的大小是___________．

图2






4．如图1，在等边三角形中，于于与相交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，若点是线段上一点，平分交所在直线于点．求证：．
（3）如图3，若点是线段上一点（不与点重合），连接，在下方作边交所在直线于点．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．





5．如图，是边长为1的等边三角形，，，点，分别在，上，且，求的周长．






6．如图所示，平分平分；
（1）求与的数量关系，并说明你的理由．
（2）若把条件去掉，则（1）中与的数量关系还成立吗?并说明你的理由．





7．如图所示，已知AC平分∠BAD，，于点E，判断AB、AD与BE之间有怎样的等量关系，并证明．





8．如图，在正方形中，点迕射线上，连接，作，且交正方形外角的平分线于点．
（1）若点在边的中点处时，________（填“＞”“＜”或“=”）
（2）若点为边上的任意一点（不含点，），探究此时与的数量关系，并说明理由．
（3）若点是边延长线上的一点，探究此时与的数量关系，并说明理由．









9．阅读材料并完成习题：
在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．
解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．
（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．
（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．
                  
如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．






10．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作，交边AC，BC于点M，N．
（1）如图（1），若，，当绕点D旋转时，AM，MN，BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；
（2）如图（2），当时，AM，MN，BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）如图（3），在（2）的条件下，若将M，N分别改在CA，BC的延长线上，完成图（3），其余条件不变，则AM，MN，BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）．






11．已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．
（1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE；
（2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明．





12．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M，点G是线段CE上一点，且CO=CG．
（1）若OF=4，求FG的长；（2）求证：BF=OG+CF．



13．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目：
如图①，在四边形中，是边的中点，是的平分线，．
求证：．
小聪同学发现以下两种方法：
方法1：如图②，延长、交于点．
方法2：如图③，在上取一点，使，连接、．
（1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程；
（2）如图④，在四边形中，是的平分线，是边的中点，，，求证：．



14． 如图1，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．
（1）求出的度数；
（2）判断与之间的数量关系并说明理由．（提示：在上截取，连接．）
（3）如图2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段、与之间的数量关系并说明理由．

　　　　　




15．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．”
小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．”
小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”
......
老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．”
（1）求∠DFC的度数；
（2）在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明；
（3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．




16．数学课上，小白遇到这样一个问题：
如图1，在等腰中，，，，求证；
在此问题的基础上，老师补充：
过点作于点交于点，过作交于点，交于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
小白通过研究发现，与有某种数量关系；
小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．
阅读上面材料，请回答下面问题：
（1）求证；
（2）猜想与的数量关系，并证明；
（3）探究线段，，之间的数量关系，并证明．

17．已知等边中，点是边，的垂直平分线的交点，，分别在直线，上且，
（1）如图所示，点，分别在边，上，求证：；
（2）如图所示，点在边上，点在的延长线上，求的值.





























参考答案
1．（1）证明见分析；（2）；理由见分析；（3）．
【分析】
（1）方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
（2）延长到点，使，连接，证明，可得，即
（3）连接，过点作于，证明，，进而根据即可得出结论．
解：（1）方法1：在上截，连接，如图．
平分，
．
在和中，，
，
，．
，．
．
，
．

方法2：延长到点，使得，连接，如图．

平分，
．
在和中，，
．
，．
，
．
，
，
．
（2）、、之间的数量关系为：．
（或者：，）．
延长到点，使，连接，如图2所示．

由（1）可知，
．
为等边三角形．
，．
，
．
．
，
为等边三角形．
，．
，
，
即．
在和中，，
．
，
，
．
（3），，之间的数量关系为：．
（或者：，）
解：连接，过点作于，如图3所示．

，．
．
在和中，，
，
，．
在和中，
，
．
，
，
．
【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
2．（1）；（2），见分析；（3）44°或104°；详见分析．
【分析】
（1）根据等边对等角，可得，，再根据三角形外角的性质求出，由此即可解题；
（2）在AC边上取一点M使AM=AB，构造，根据即可得出答案；
（3）画出图形，根据点E的位置分四种情况，当点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，可得，可得，设，则；根据∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，可得，可证（SAS），得出，利用还有 ，列方程；当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB， 可得，得出，设，则；∠BAC＝24°，根据AD为△ABC的角平分线，得出，证明（SAS），得出，利用三角形内角和列方程，解方程即可．
解：（1）∵AE＝AD＝DC，
∴，，
∵，，
∴，
∵AD为△ABC的角平分线，即，
∴；
∴
（2）如图2，
在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP，

在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，
∵AB+AC＝EC，
∴AG+AC＝EC，即，
∴，
设，则；
又∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
又∵，
∴，
解得：，
∴；

当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；

当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立；

如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB，
∵AB+AC＝EC，
∴AG+AC＝EC，即，
∴，
设，则；
又∵∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，
∴，
又∵，

∴，，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∴，
解得：，
∴．
∴∠ACB的度数为44°或104°．

【点拨】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键．
3．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）由是等边三角形，可得出，，再利用，可证，得出，由可求出，最后由补角定义求出.
（2）在上取点，使，由可证，再利用，，可证明，进而求出，再用补角的性质得知，在中利用外角的性质可求出，进而证出为等腰三角形，最后可证出即可求解.
（3）延长至，使为等边三角形，延长交于，可得出，进而得出，利用角的和差得出，则证出，进而证出，再利用，证出为等边三角形，进而证出.
解：（1）∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）在上取点，使．

由（1）知，
又，
∴．
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）．
提示：目测即得答案．详细理由如下：
由（1）知．延长至，使为等边三角形．

延长交于．
∵ ，
∴，
在和中，
,
∴，
∴．
∴，
∴．
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵
∴为等边三角形，
∴
∴．
【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键.
4．（1）见分析；（2）见分析；（3）OF=OG+OA，理由见分析
【分析】
（1）由等边三角形的可求得∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，理由含30°角的直角三角形的性质可得OC=2OD，进而可证明结论；
（2）理由ASA证明△CGB≌△CGF即可证明结论；
（3）连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，可证得△OMG是等边三角形，进而可利用ASA证明△GMF≌△GOB，得到MF=OB=OA，由OF=OM+MF可说明猜想的正确性．
解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，
∴OA=OC，
在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠OCD=30°，
∴OC=2OD，
∴OA=2OD；
（2）证明：∵AB=AC=BC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BG=CG，
∴∠GCB=∠GBC，
∵CG平分∠BCE，
∴∠FCG=∠BCG=∠BCF=15°，
∴∠BGC=150°，
∵∠BGF=60°，
∴∠FGC=360°-∠BGC-∠BGF=150°，
∴∠BGC=∠FGC，
在△CGB和△CGF中，
，
∴△CGB≌△CGF（ASA），
∴GB=GF；
（3）解：OF=OG+OA．理由如下：
连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，

∵CA=CB，CE⊥AB，
∴AE=BE，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠AOB=120°，∠AOM=∠BOM=60°，
∵OM=OG，
∴△OMG是等边三角形，
∴GM=GO=OM，∠MGO=∠OMG=60°，
∵∠BGF=60°，
∴∠BGF=∠MGO，
∴∠MGF=∠OGB，
∵∠GMF=120°，
∴∠GMF=∠GOB，
在△GMF和△GOB中，
，
∴△GMF≌△GOB（ASA），
∴MF=OB，
∴MF=OA，
∵OF=OM+MF，
∴OF=OG+OA．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定的与性质，含30° 角的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全等是解题的关键．
5．2
【分析】
延长至点，使，连接，证明推出，，进而得到，从而证明，推出EF=CP，由此求出的周长=AB+AC得到答案.
解：如图，延长至点，使，连接．
∵是等边三角形，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的周长.

【点拨】此题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形等边对等角的性质，题中辅助线的引出是解题的关键.
6．（1），见分析；（2）成立，见分析
【分析】
（1）先写出数量关系，过作于，然后证明和，便可得结论了．
（2）成立, 在上截取证明和，便可得到结论．
解：
理由是：过作于
CE为角平分线








同理可证




成立
理由：在上截取
CE为角平分线



   


又

又是角平分线







7．，证明见分析
【分析】在AB上截取EF，使EF=BE，联结CF．证明，得到，又证明，得到，最后结论可证了．
解：在AB上截取EF，使EF=BE，联结CF．

       

在 和
       
       
       
       


AC平分∠BAD

在 和中





【点拨】本题考查三角形全等知识的综合应用，关键在于寻找全等的条件，作适当的辅助线加以证明．
8．（1）=；（2），见分析；（3），见分析
【分析】
（1）作辅助线，AH=EC，∠1=∠2，∠AHE=∠ECF=180°-45°=135°，则△AHE≌△ECF；
（2）作辅助线，仍然证明△AME≌△ECF得出结论；
（3）做辅助线，仍然证明得出结论．
解：（1）

证明：取AB的中点H，连接EH；
∵ABCD是正方形，
AE⊥EF；
∴∠1+∠AEB=90°，
∠2+∠AEB=90°
∴∠1=∠2，
∵BH=BE，∠BHE=45°，
且∠FCG=45°，
∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，
∴△AHE≌△ECF，
∴AE=EF；
（2）在上取一点，使得，连接

∴
∴
∴
∵是正方形外角平分线
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
（3）在的延长线上取一点，使，连接

∴
∴
∵是正方形外角平分线
∴
∴
∵四边形是正方形
∴
∴
即
∴
∴
∴
【点拨】本题是四边形的综合题，综合考查了正方形、全等三角形的性质和判定，解决此类题的思路为：构造两个三角形全等；熟练掌握正方形的性质是本题的关键．
9．（1）2；（2）4
【分析】
（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC的面积即可；
（2）延长MN到K，使NK=GH，连接FK、FH、FM，由（1）易证，则有FK=FH，因为HM=GH+MN易证，故可求解．
解：（1）由题意知，
故答案为2；
（2）延长MN到K，使NK=GH，连接FK、FH、FM，如图所示：

FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，
∠FNK=∠FGH=90°，，
FH=FK，
又FM=FM，HM=KM=MN+GH=MN+NK，
，
MK=FN=2cm，
．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．
10．（1）；证明见分析；（2）；证明见分析；（3）补图见分析；；证明见分析．
【分析】
（1）延长CB到E，使BE=AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，证△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可；
（2）延长CB到E，使BE=AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，证△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可；
（3）在CB截取BE=AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，证△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可．
解：（1）．证明如下：
如图，延长CB到E，使，连接DE．

，
．
，
．
在和中，
，
，
，．
，
，，
．
在和中，
，
，
．
，
；
（2）．证明如下：
如图，延长CB到E，使，连接DE．
，
．
，
，．
在和中，
，
，
，．
，，，
，
，，
．
在和中，
，
，
．
，
；
（3）补充完成题图，如图所示．

．证明如下：
如上图，在CB上截取BE=AM，连接DE．
，，
，
．
，
．
在和中，
，
，
，．
，
，
．
在和中，
，
，
．
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．（1）见详解；（2）图2：，图3：
【分析】
（1）在线段上截取，连接，，证明，可得到，即可求解．
（2）当点在线段延长线上时，在的延长线上截取，连接，，由题意可证，可得，由题意可得，即可证，可得，则可得；当点在线段延长线上时，在线段上截取，连接，，由题意可证，可得，由题意可得，即可证，可得，则可得．
解：（1）证明：在线段上截取，连接，

∵，
∴
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）当点在线段延长线上时，
如图2：在的延长线上截取，连接，

∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵，，
∴
∴
∴
∵，
∴
又∵，
∴
∴
∵
∴
当点在线段延长线上时，
如图3：当点在线段延长线上时，在线段上截取，连接，

∵，，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴，
∴，，且
∴
∴
∵
∴
【点拨】本题主要考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，合理添加辅助线证全等是解题的关键．
12．（1）4；（2）见分析
【分析】
（1）根据条件证明△OCF≌△GCF，由全等的性质就可以得出OF=GF而得出结论；
（2）在BF上截取BH=CF，连接OH，通过条件可以得出△OBH≌△OCF，可以得出OH=OF，从而得出OG∥FH，OH∥FG，进而可以得出四边形OHFG是平行四边形，就可以得出结论．
解：（1）∵CF平分∠OCE，
∴∠OCF=∠ECF．
∵OC=CG，CF=CF，
∵在△OCF和△GCF中，

∴△OCF≌△GCF（SAS），
∴FG=OF=4
即FG的长为4．
（2）证明：在BF上截取BH=CF，连接OH．

∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD， OB=OC．
∴∠BOC=90°，
∵BF⊥CF，
∴∠BFC=90°．
∵∠OBH =90°-∠OMB，∠OCF =90°-∠FMC，且∠OMB=∠FMC，
∴∠OBH=∠OCF．
∵在△OBH和△OCF中
，
∴△OBH≌△OCF（SAS）．
∴OH=OF，∠BOH=∠COF．
∵∠BOH+∠HOM=∠BOC=90°，
∴∠COF+∠HOM=90°，即∠HOF=90°．
∴
∴∠OFC=∠OFH+∠BFC=135°．
∵△OCF≌△GCF，
∴∠GFC=∠OFC=135°，
∴∠OFG=360°-∠GFC-∠OFC=90°．
∴ ，
∴∠GOF=∠OFH，∠HOF=∠OFG．
∴OG∥FH，OH∥FG，
∴四边形OHFG是平行四边形．
∴OG=FH．
∵BF=FH+BH，
∴BF=OG+CF．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，平行线的性质与判定，三角形的内角和定理，解答时采用截取法作辅助线是关键．
13．（1）方法1：证明见分析；方法2：证明见分析；（2）证明见分析．
【分析】
（1）方法1：先根据角平分线的定义、平行线的性质得出，再根据等腰三角形的性质可得，根据三角形全等的判定定理与性质得出，然后根据线段的和差即可得证；
方法2：先根据角平分线的定义得出，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据线段中点的定义、等腰三角形的性质可得，最后根据平行线的性质、平角的定义可得，由等腰三角形的定义可得，由此根据线段的和差即可得证；
（2）如图（见分析），参照方法1构造辅助线，先根据等腰三角形的性质得出平分，从而有，再根据平行线的性质、角的和差得出，，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．
解：（1）方法1：如图②，延长、交于点
是的平分线





是边的中点

在和中，


；
方法2：如图③，在上取一点，使，连接、
是的平分线

在和中，


是边的中点




，即
，即
又


；
（2）如图，过点C作，交AE延长线于点G，延长GC交AB于点F，连接EF
由方法1可知：
是等腰三角形
平分

，




，即


在和中，

．

【点拨】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），参照方法1，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
14．（1）∠AFC＝120°；（2）FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由见分析；（3）AC＝AE+CD．理由见分析．
【分析】
（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题;
（2）根据在图2的 AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF；再根据ASA证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；
（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题．
解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°
（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．
理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，

∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠DCF＝∠GCF，
在△CFG和△CFD中，
，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG
由（1）∠AFC＝120°得，
∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，
∴∠AFG＝60°，
又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，
∴∠AFE＝∠AFG，
在△AFG和△AFE中，
，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴EF＝GF，
∴DF＝EF；
（3）结论：AC＝AE+CD．
理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，

同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），
∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE
∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°
∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-(∠BAC+∠BCA)=180°-×120°=120°，
∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，
∴∠CFG＝∠CFD＝60°，
同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），
∴CD＝CG，
∴AC＝AG+CG＝AE+CD．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．
15．（1）60°；（2）EF=AF+FC，证明见分析；（3）AF=EF+2DF，证明见分析．
【分析】
（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数；
（2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；
（3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．
解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，
又△ABE为等边三角形，
∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，
在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，
∴α＋β＝60°，
∴∠DFC=α＋β＝60°；
（2）EF=AF+FC，证明如下：
∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，
∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，
∴CF＝2DF，
在EC上截取EG＝CF，连接AG，

又AE=AC，
∴∠AEG=∠ACF，
∴△AEG≌△ACF（SAS）,
∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，
又∠CAF=∠BAD，
∴∠EAG=∠BAD，
∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，
∴△AFG为等边三角形，
∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，
即EF=AF+FC；
（3）补全图形如图所示，

结论：AF=EF+2DF．证明如下：
同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，
∴∠CAE＝180°－2β，
∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，
∴∠AFC=β－α＝60°，
又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，
∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，
在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，
又AB=BE，
∴△ABG≌△EBF（SAS），
∴BG＝BF，
又AF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠BFA=∠AFC=60°，
∴△BFG为等边三角形，
∴BG=BF，又BC⊥FG，∴FG=BF=2DF，
∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．
16．（1）见分析；（2），证明见分析；（3），证明见分析
【分析】
（1）利用SAS证明可得结论；
（2）设，推出，，即可证明；
（3）过点作交延长线于点，延长交于点，证明△ABE≌△CAM，得出和，从而证明△NFC≌△MFC，得到和，可得PN=PE，从而得出BP=AF+PF.
解：（1）∵在△ABE和△ACD中，
，
（SAS），
；
（2）设，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）过点作交延长线于点，延长交于点，
，，
，
在△ABE和△CAM中，
，
（ASA），
，，
，，，
（ASA），
，，
，
，
∴.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度.
17．（1）见分析，（2）
【分析】
（1）在AM上截取AN′=CN，连接ON′，OC，OA，根据等边三角形的性质和线段垂直平分线得出∠OCN=∠OAN′，OC=OA，证△OCN≌△OAN′推出ON=ON′，∠CON=∠AON′，求出∠NOM=∠MON′，根据SAS证△MON≌△MON′，推出MN=MN′，即可求出答案；
（2）延长CA到N′，使AN′=CN，连接OC，OA，ON′，证△OCN≌△OAN′推出ON=ON′，∠CON=∠AON′，求出∠NOM=∠MON′，根据SAS证△MON≌△MON′，推出MN=MN′，即可求出答案.
解：（1）在AM上截取AN′=CN，连接ON′，OC，OA，

∵O是边AC和BC垂直平分线的交点，△ABC是等边三角形，
∴OC=OA，由三线合一定理得：∠OCB=∠OCA=∠OAC=30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°，
∴∠OCN=∠OAN′=30°，
∵在△OCN和△OAN′中
，
∴△OCN≌△OAN′（SAS），
∴ON=ON′，∠CON=∠AON′
∴∠N′ON=∠COA=120°，
又∵∠MON=60°，
∴∠MON=∠MON′=60°
∵在△NOM和△N′OM中
，
∴△NOM≌△N′OM，
∴MN=MN′，
∵MN′=AM-AN′=AM-CN，
∴MN=AM-CN．即；
（2）延长CA到N′，使AN′=CN，连接OC，OA，ON′，

∵O是边AC和BC垂直平分线的交点，△ABC是等边三角形，
∴OC=OA，由三线合一定理得：∠OCA=∠OAB=30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°，
∴∠OCN=∠OAN′，
∵在△OCN和△OAN′中
，
∴△OCN≌△OAN′（SAS），
∴ON′=ON，∠CON=∠AON′，
∵∠COA=120°，∠NOM=60°，
∴∠CON+∠AOM=60°，
∴∠AON′+∠AOM=60°，
即∠NOM=∠N′OM，
∵在△NOM和△N′OM中
，
∴△NOM≌△N′OM，
∴MN=MN′，
∵MN′=AM+AN′=AM+CN，
∴MN=AM+CN．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，主要考查学生的推理能力和猜想能力，题目具有一定的代表性，证明过程类似．