初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形复习练习题

专题12.1 全等三角形（知识讲解）

【学习目标】

1、从图形重合中理解图形全等的对应边、对应角的关系；

2．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素；

3．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.

【知识要点】

要点一、全等图形

形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.

特别说明：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.

要点二、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.

要点三、对应顶点，对应边，对应角

1. 对应顶点，对应边，对应角定义

两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.

特别说明：

在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.

2. 找对应边、对应角的方法

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

（3）有公共边的，公共边是对应边；

（4）有公共角的，公共角是对应角；

（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；

（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.

要点四、全等三角形的性质
　　全等三角形的对应边相等；

全等三角形的对应角相等.

特别说明：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
【典型例题】

类型一、全等三角形的概念 

1．如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．

说理过程如下：

把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 　   　＝　   　，所以可以使点B与点B′重合．又因为　   　＝　   　，所以射线　   　能落在射线　   　上，这时因为 　   　＝　   　，所以点 　   　与 　   　重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．

【答案】AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'

【分析】

直接利用已知结合全等的定义得出答案．

解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．又因为∠A＝∠A′，所以射线AC能落在射线A'C'上，这时因为AC＝A'C'，所以点C 与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．

故答案为：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空．

举一反三：

【变式1】 如图，，和，和是对应边．写出其他对应边及对应角．

【答案】其他对应边：和．对应角：和，和，和．

【分析】

根据全等三角形的概念，写出相对应的边和角即可．

解：∵△ABC≌△CDA，

∴其他对应边：AC和CA．对应角：∠BAC和∠DCA，∠B和∠D，∠ACB和∠CAD．

【点拨】本题主要考查了全等三角形的概念，解题的关键在于能够熟记概念．

【变式2】已知：如图，△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，写出其余的对应角和各对对应边．

【答案】∠A与∠C，∠ADB与∠CBD是对应角；BD与DB，AD与CB，AB与CD是对应边．

试题分析：关键是找准对应顶点．

解：△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，则∠A与∠C，∠ADB与∠CBD是对应角；BD与DB，AD与CB，AB与CD是对应边．

类型二、全等三角形的识别

2．观察下列图形的特点：

有几组全等图形？请一一指出：___________．

【答案】1与6；2与12；3与5与11；4与9；7与10

【分析】根据全等图形的定义判断即可．

解：根据全等图形可得：1与6、2与12、3与5与11、4与9、7与10；

故答案为1与6、2与12、3与5与11、4与9、7与10

【点拨】本题考查了全等图形，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 如图，沿着方格线，把下列图形分割成四个全等的图形．

试题分析：直接利用图形总面积得出每一部分的面积，进而求出答案．

解：如图所示：红色分割线即为所求．

【点拨】作图—应用与设计作图．

【变式2】找出下列图形中的全等图形．

【答案】（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等图形

【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等形即可判断出答案．

解：由题意得：（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等图形．

【点拨】本题考查了全等形的定义，属于基础题，注意掌握全等形的定义．

类型三、全等三角形的性质

3、如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求

(1)DE的长；

(2)∠BAC的度数．

【答案】(1)；(2)

【分析】

（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，求得∠DBA+∠BAD＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA＝∠CAE等量代换即可得到结论．

(1)解：∵△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，

∴AE＝BD＝4cm，

∴DE＝AD+AE＝6cm．

(2)解：∵BD⊥DE，

∴∠D＝90°，

∴∠DBA+∠BAD＝90°，

∵△ABD≌△CAE，

∴∠DBA＝∠CAE

∴∠BAD+∠CAE＝90°，

∴∠BAC＝90°．

【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 如图，△ABC≌△ADE，延长BC交AD、DE于点F和点G，∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．

【答案】90°，65°

【分析】先根据全等三角形的性质得∠BAC=∠DAE，由于∠DAE+∠CAD+∠BAC=120°，则可计算出∠CAB=55°，根据三角形外角性质可得∠DFB=∠BAF+∠B=90°，据此即可解答．

解：∵△ABC≌△ADE

∴∠B=∠D=25°，∠EAD=∠CAB

又∵∠EAB=120°

∴∠CAB=（∠EAB－∠CAD）÷2=（120°－10°）÷2=55°，

∵∠DFB=∠CAD＋∠CAB+∠B

∴∠DFB=10°＋55°＋25°=90°

∴∠ACB=180°－∠B－∠CAB =180°－25°－55°=100°

又∵∠DGB=∠DFB－∠D

∴∠DGB=90°－25°=65°

【点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．

【变式2】如图,在△中, ,分别是边,上的点，若△≌△≌△， 求的度数．

【答案】30°

【分析】根据全等三角形的性质及三角形内角和定理，即可求得．

解：∵△≌△≌△，

∴，，

又∵，

∴，

∴，             

∵，

∴，

∴．

【点拨】本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理，求得是解决本题的关键．

类型四、全等三角形的应用

4、方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线．

【分析】观察第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．

解：如图所示，第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．

将分割出的两个图形，逆时针旋转90度，再通过平移，两部分能够完全重合，所以分割出的两部分完全相同．

【点拨】本题考查图形全等，掌握全等图形的定义是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 沿网格线把正方形分割成两个全等图形？用两种不同的方法试一试．

【分析】观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，且图形形状相同即可．

解：如图所示即为所求．

【点拨】题目主要考查了全等图形的定义及学生的空间想象能力，理解全等图形的定义是解题关键．

【变式2】沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等的图形．

【分析】直接利用图形总面积得出每一部分的面积，进而求出答案．

解：共有个小正方形，

被分成四个全等的图形后每个图形有，

如图所示：

，

【点拨】本题主要考查了应用设计图作图，正确求出每部分面积是解题关键．