人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定测试题

专题12.8 三角形全等的判定-ASA与AAS（知识讲解）

【学习目标】

1．理解和掌握全等三角形判定方法——“角边角”与“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．

2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．

【要点梳理】

要点一、全等三角形判定——“角边角”

全等三角形判定3——“角边角”

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

特别说明：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.

要点二、全等三角形判定——“角角边”

1.全等三角形判定4——“角角边”

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）

特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.

2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

要点三、判定方法的选择

1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：

2.如何选择三角形证全等

（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；

（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；

（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；

（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

【典型例题】

类型一、用ASA（AAS）证明三角形全等

1、 如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．

(1)AB＝DC；   (2)△ABC≌△DCB．

【分析】

（1）证明△ABO≌△DCO（ASA），即可得到结论；

（2）由△ABO≌△DCO，得到OB＝OC，又OA＝OD，得到BD＝AC，又由∠A＝∠D，即可证得结论．

解：(1)证明：在△ABO与△DCO中，

，

∴△ABO≌△DCO（ASA）

∴AB＝DC；

(2)证明：∵△ABO≌△DCO，

∴OB＝OC，

∵OA＝OD，

∴OB＋OD＝OC＋OA，

∴BD＝AC，

在△ABC与△DCB中，

，

∴△ABC≌△DCB（SAS）．

【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活选择全等三角形的判定方法是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 如图，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，那么△BDC与△CEB全等吗？为什么？

解：因为BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB（已知），

所以∠DBC＝（       ），∠ECB＝（ 　     　）．

由∠ABC＝∠ACB（已知），

所以∠DBC＝∠ECB（ 　     　）．

在△BDC与△CEB中，

，

（ 　     　），

（       ）．

所以△BDC≌△CEB（ASA）．

【答案】∠ABC；∠ACB；等量代换；∠DBC＝∠ECB；BC＝CB；公共边；∠ACB＝∠ABC；已知

【分析】

根据角平分线的定义可证得∠DBC＝∠ECB，再证明△BDC≌△CEB．

解：△BDC与△CEB全等，

因为BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB（已知），

所以∠DBC＝（∠ABC），∠ECB＝（∠ACB），

由∠ABC＝∠ACB（已知），

所以∠DBC＝∠ECB（ 等量代换），

在△BDC与△CEB中，

，

所以△BDC≌△CEB（ASA），

故答案为：∠ABC；∠ACB；等量代换；∠DBC＝∠ECB；BC＝CB；公共边；∠ACB＝∠ABC；已知．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

【变式2】如图，已知A，F，E，C在同一直线上，∥，∠ABE=∠CDF，AF=CE．求证：AB=CD．

 【分析】根据全等三角形证明△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质解答即可．

解：证明：∵AB∥CD，

∴∠ACD=∠CAB，

∵AF=CE，

∴AF+EF=CE+EF，

即AE=FC，

在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（AAS）．

∴AB=CD．

【点拨】此题主要考查了三角形全等的判定及性质，一般证明线段相等先大致判断两个线段所在三角形是否全等，然后再看证明全等的条件有哪些．

类型二、全等性质与SAS（AAS）综合

2、如图，在中，，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作，DE交线段AC于E．

(1)点D从B向C运动时，逐渐变__________（填“大”或“小”），但与的度数和始终是__________度．

(2)当DC的长度是多少时，，并说明理由．

【答案】(1)小；140(2)当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由见分析

【分析】

（1）利用三角形的内角和即可得出结论；

（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．

解：(1)在△ABD中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，

设∠BAD=x°，∠BDA=y°，

∴40°+x+y=180°，

∴y=140-x（0＜x＜100），

当点D从点B向C运动时，x增大，

∴y减小，

+=180°-

故答案为：小，140；

(2)当DC=2时，△ABD≌△DCE，

理由：∵∠C=40°，

∴∠DEC+∠EDC=140°，

又∵∠ADE=40°，

∴∠ADB+∠EDC=140°，

∴∠ADB=∠DEC，

又∵AB=DC=2，

在△ABD和△DCE中

，

∴△ABD≌△DCE（AAS）；

【点拨】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，三角形的内角和公式，解本题的关键是分类讨论．

举一反三：

【变式1】 如图，在△ABC中，AB⊥AC ，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；

(1)若B、C在DE的同侧（如图1所示）求证：DE＝BD＋CE；

(2)若B、C在DE的两侧（如图2所示），其他条件不变，则DE，BD，CE具有怎样的等量关系？写出等量关系，不需证明．

【答案】(1)见分析(2)DE=CE-BD

【分析】

（1）根据AAS证明△ADB≌△CEA，可以得出BD=AE，AD=CE，由DE=AD+AE就可以得出结论；

（2）由条件可以得出∠ADB=∠CEA=90°，∠BAD=∠ACE，再由AB=AC就可以得出△ADB≌△CEA，就可以得出BD=AE，AD=CE，由DE=AD+AE就可以得出DE=CE-BD．

解：(1)∵AB⊥AC ， BD⊥DE， CE⊥DE

∴∠BAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°

∴∠ACE+∠CAE=90°，∠BAD+∠CAE=90°，

∴∠BAD=∠ACE，

在△ADC与△BEC中，

∠ADB＝∠AEC＝90°, ∠BAD＝∠ACE, AB=AC，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AD=CE，BD=AE，

∵DE=AD+AE，

∴DE=BD+CE；

(2)DE=CE-BD

理由：∵BD⊥AD，CE⊥AD，

∴∠ADB=∠CEA=90°．

∵AB⊥AC ，

∴

∴∠BAD+∠CAE=90°．

∵∠CAE+∠ACE=90°，

∴∠BAD=∠ACE．

在△ADB和△CEA中，

，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴BD=AE，AD=CE．

∵AD=AE+ED，

∴DE=AD-AE=CE-BD．

【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是解答本题的关键．

【变式2】如图，△ACB中，，，D为边BC上一点（不与点C重合），，点E在AD的延长线上，且，连接BE，过点B作BE的垂线，交边AC于点F．

(1)依题意补全图形；

(2)求证：；

(3)用等式表示线段AF与CD的数量关系，并证明．

【答案】(1)见分析(2)见分析(3)，证明见分析

【分析】

（1）根据题目步骤作图即可；

（2）过E作EM⊥BC于M，先由中线倍长证明，得到，再证明，得到；

（3）由（2）中全等可得到，即可推理出．

解：(1)依题意补全图形如下：

(2)过E作EM⊥BC于M

在和中

∴(AAS)

∴

∵

∴

∵BE⊥BF

∴

在和中

∴ (ASA)，

∴

(3)，证明如下：   

由（2）得，

∴，

∴，

∴．

【点拨】本题考查全等三角形的性质与判定，解题的关键是根据倍长中线模型作垂直构造全等．

类型三、尺规作图——全等问题

3、画△ABC，使AB＝4cm，∠B＝40°，∠C＝60°．

【答案】见分析

【分析】

先作∠ABC=40°，再在射线BA是截取BA=4cm，然后以A为项点，AB为边在∠ABC内部作∠BAC=80°， AC与BC相交于C即可得△ABC．

解：如图，△ABC即为所求作．

∵∠ABC=40°，∠BAC=80°，

∴∠ACB=180°-40°-80°=60°，

又∴AB=4cm，

∴△ABC即为所求作．

【点拨】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握基本作图一作一角等于已知角，作一线段等于已知线段，属于基础题型．

举一反三：

【变式1】 嘉淇同学要证，她先用下列尺规作图步骤作图：①；②以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接；③过点作，垂足为点．并写出了如下不完整的已知和求证．

（1）在方框中填空，以补全已知和求证；

（2）按嘉淇的想法写出证明过程．

【答案】（1）BE；BF；（2）见分析

【分析】

（1）以点 B 为圆心， BC 长为半径画弧得到BC=BE，根据题目第一句话得AE=BF；

（2）根据平行线的性质得到∠AEB=∠FBC，然后根据AAS证明△ABE≌△FCB，然后利用全等三角形的性质即可证明．

解：（1）∵以点B为圆心，BC长为半径画弧

∴BC=BE

根据已知条件第一句话，得到AE=BF

故答案为：BE；BF；

（2）∵CF⊥BE，

∴∠BFC=90°，

又∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠FBC．

∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，

∴BE=BC，

在△ABE与△FCB中，

∴△ABE≌△FCB，

∴AE=BF

【点拨】本题考查了尺规作图，和三角形全等的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定条件，和性质是本题的关键．

【变式2】求证：全等三角形的对应角平分线相等．

（1）在图②中，作出相应的角平分线,保留作图痕迹；

（2）根据题意，写出已知、求证，并加以证明。

【答案】（1）见分析（2）见分析

【分析】

（1）根据角平分线的作图方法即可求解；

（2）根据已知条件证明△ABD≌△A’B’D，故可得到AD=A’D’，即全等三角形的对应角平分线相等．

解：（1）如图，A’D’即为所求；

（2）已知，△ABC≌△A’B’C’,AD，A’D’分别是△△ABC，△A’B’C’的角平分线；

求证：AD=A’D’；

∵△ABC≌△A’B’C’

∴AB=A’B’,∠B=∠B’，∠BAC=∠B’A’C’

∵AD，A’D’分别是△△ABC，△A’B’C’的角平分线

∴∠BAD=∠B’A’D’

∴△ABD≌△A’B’D（ASA）

∴AD=A’D’

即全等三角形的对应角平分线相等．

【点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．

类型四、全等三角形判定的灵活选择

4、如图，与交于点O，连接、、，已知．

(1)请你添加一个条件：________________，使；（只添一个即可）

(2)根据（1）中你所添加的条件，证明：．

【答案】(1)或∠C=∠D或∠ABC=∠DAB(2)见分析

【分析】

（1）已知中有一角和一边，需增加一个角或者角的另一边相等即可，可利用AAS或ASA或SAS；

（2）根据（1）增加的条件，利用全等三角形的判定证明即可.

解：(1)或∠C=∠D或∠ABC=∠DAB

(2)①

在与中，

∴

②∠C=∠D

在与中，

∴

③∠ABC=∠DAB

在与中，

∴

【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，题目是开放性题目，熟练地掌握全等三角形的判定是解决本题的关键.

举一反三：

【变式1】 在△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD．

(1)如图1，求证：AC＝BD；

(2)如图2，当OA＝OD时，连接BC，延长BD、CA交于点E，AB、CD交于点F，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中四对全等三角形（第一问中用到的除外）．

【答案】(1)见分析(2)△DFB≌△AFC，△DCB≌△ABC，△ABE≌△DCE，△AOB≌△COD．

【分析】

（1）利用SAS证明△BOD≌△AOC，即可证明AC=BD；

（2）利用全等三角形的性质与判定即可写出满足条件的全等三角形．

(1)解：∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOB-∠AOD=∠COD-∠AOD，

∴∠BOD=∠AOC，

∵OA=OB，OC=OD，

∴△BOD≌△AOC，

∴AC=BD；

(2)解：∵∠AOB=∠COD=90°，OA=OB，OC=OD，且OA=OD，

∴OA=OB=OC=OD，

∴AB=CD，∠ABO=∠CDO=∠BAO=∠DCO=45°，

由（1）得△BOD≌△AOC，

∴BD=AC，∠OBD=∠OAC=∠ODB=∠OCA，

在△DFB和△AFC中，∠OBD-45°=∠OCA-45°，即∠DBF=∠ACF，

又∠DFB=∠AFC，BD=AC，

∴△DFB≌△AFC(AAS)，

在△DCB和△ABC中，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，则45°-∠OBC=45°-∠OCB，

∴∠ABC=∠DCB，

∵∠OAC=∠ODB，则45°+∠OAC=45°+∠ODB，

∴∠BAC=∠CDB，

∵AB=CD，

∴△DCB≌△ABC(ASA)，

同理△ABE≌△DCE，△AOB≌△COD，

【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，灵活运用全等三角形的性质和判定定理是解题的关键．

【变式2】如图，从①；②；③；④；⑤五个条件中，选出三个条件，利用全等三角形的判定定理，可使，你能想出几种方法，罗列出来，并挑选其中一种方法写出你的证明过程．

【答案】可选①②③或①②⑤或①④⑤或②③④或③④⑤或②④⑤ ，证明见分析

【分析】

根据全等三角形的判定定理，即可求解．

解：可选①②③或①②⑤或①④⑤或②③④或③④⑤或②④⑤

选①②③，证明：在与中，

∵，， ，

∴；

选①②⑤，证明：∵，

∴，

在与中，

∵，，，

∴；

选①④⑤，证明：∵，

∴，

在与中，

∵，，，

∴；

选②③④，证明：在与中，

∵，，，

∴；

选③④⑤，证明：∵，

∴，

在与中，

∵，，，

∴；

选②④⑤，证明：∵，

∴，

在与中，

∵，，，

∴．

【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键．