人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.1 全等三角形课后练习题

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专题12.38 《全等三角形》全章复习与巩固（知识讲解）
【知识点一】全等三角形的性质
(1)：全等三角形的对应边、对应角相等．
(2)：全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
(3)：全等三角形的周长等、面积等．
【知识点二】三角形全等的判定
一般三角形全等
SSS（三边对应相等）

SAS（两边和它们的夹角对应相等）

ASA（两角和它们的夹角对应相等）

AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）

直角三角形全等
(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）
(2)证明两个直角三角形全等同样可以用
SAS,ASA和AAS.
【知识点三】全等三角形的运用
（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.
（2）全等三角形中的辅助线的作法：
①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.
②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由可得，则.在中，，即.
③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.

图① 图② 图③ 图④
【典型例题】
类型一、全等三角形的性质
1．如图，将三角形ABC沿射线BC平移后能与三角形DEF重合（点B、C分别与点E、F对应），如果BF的长为12，点E在边BC上，且2＜EC＜4，求边BC长的取值范围．

【答案】
【分析】根据平移得到两个三角形全等，再分别求出当EC＝2或EC＝4时BC的值即可得出结论．
解：∵将ABC沿射线BC平移后与DEF重合，
∴，
∴BC＝EF，
∴BE＝CF，
当EC＝2时，BE＝CF＝（12﹣2）＝5，
∴BC＝5+2＝7，
当EC＝4时，BE＝CF＝（12﹣4）＝4，
∴BC＝4+4＝8，
∴7＜BC＜8．
【点拨】本题考查平移变换，全等三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
举一反三：
【变式1】如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求

(1)D E的长； (2) ∠BAC的度数．
【答案】(1)；(2)
【分析】
（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，求得∠DBA+∠BAD＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA＝∠CAE等量代换即可得到结论．
(1)解：∵△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，
∴AE＝BD＝4cm，
∴DE＝AD+AE＝6cm．
(2)∵BD⊥DE，
∴∠D＝90°，
∴∠DBA+∠BAD＝90°，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠DBA＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠BAC＝90°．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【变式2】如图，D、A、E三点在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且△ABD≌△CAE，AC=4．

(1) 求∠BAC的度数； (2) 求△ABC的面积．
【答案】(1)90°(2)8
【分析】
(1)根据垂直的定义得到∠D=90°，求得∠DBA+∠BAD=90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA=∠CAE，等量代换即可得到结论；
(2)根据全等三角形的性质得AC=AB=4，再根据三角形的面积求出答案．
(1)解：∵BD⊥DE，
∴∠D=90°，
∴∠DBA+∠BAD=90°，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠DBA=∠CAE
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠BAC=90°；
(2)解：∵△ABD≌△CAE，
∴AC=AB=4，
又∵∠BAC=90°
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积=4×4÷2=8．
【点拨】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的面积公式，证得△ABC是直角三角形是解决本题的关键．
类型二、全等三角形的判定
2．如图，已知，，，且，，三点共线，求证：．

【分析】根据判定，由全等的性质得到对应角相等，然后通过外角的性质即可得到结论．
证明：∵，，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识． 熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取点M、N，使得OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．

(1)求证：OC平分∠AOB；
(2)已知∠AMC＝40°，∠MCN＝30°，求∠AOB的度数；
【答案】(1)见分析(2)50°
【分析】
（1）由“SSS”可证△OMC≌△ONC，可得∠MOC=∠NOC，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠MCO=∠NCO=15°，由外角的性质可求解．
(1)解：在△OMC和△ONC中，
，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠MOC=∠NOC，
∴OC平分∠AOB；
(2)解：∵△OMC≌△ONC，∠MCN=30°，
∴∠MCO=∠NCO=15°，
∵∠AMC=∠MCO+∠MOC=40°，
∴∠MOC=∠AMC-∠MCO=25°，
∴∠AOB=2∠MOC=50°．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式2】如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．
(1) 若，，求四边形AECF的面积；
(2) 猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．

【答案】(1)48(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见分析
【分析】
（1）连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；
（2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
(1)解：连接AC，如图，

在△ACE 和△ACF中
∴△ACE ≌△ACF（SSS）．
∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CB＝6．
∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．
∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．
(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
证明：∵△ACE ≌△ACF，
∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．
∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，
∴∠DFC＝∠BEC．
∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，
∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC
＝∠DAB＋∠ECF．
∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
3．如图，四边形ABCD中，BC＝CD＝2AB，ABCD，∠B＝90°，E是BC的中点，AC与DE相交于点F．
(1) 求证：ABC≌ECD；
(2) 判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．

【答案】(1)见分析(2)AC⊥DE，见分析
【分析】
（1）由E是BC的中点，BC＝2AB可证明AB＝EC，由平行线的性质得出∠B＋∠ECD＝180°，得出∠ECD＝90°＝∠B，最后由SAS证明△ABC≌△ECD即可；
（2）由全等三角形的性质得出，∠CED＝∠CAB，再由∠CAB＋∠ACB＝90°推导∠CED＋∠ACB＝90°，进而得出∠EFC＝90°，即可得出结论．
(1)证明：∵E是BC的中点，
∴BC＝2EC，
∵BC＝2AB，
∴AB＝EC，
∵，
∴∠B＋∠ECD＝180°，
∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠ECD＝90°，
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（SAS）；
(2)AC⊥DE．理由如下：
∵△ABC≌△ECD（SAS），
∴∠CED＝∠CAB，
∵∠CAB＋∠ACB＝90°，
∴∠CED＋∠ACB＝90°，
∴∠EFC＝90°，
∴AC⊥DE．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，AE与BC交于点D，AD是△ABC的中线，且．
(1) 求证：
(2) 若△ABD的面积为5，求△ACE的面积．

【答案】(1)见分析(2)三角形ACE的面积为10
【分析】
（1）根据定理SAS证即可；
（2）因为AD是△ABC的中线得，由得即可求解；
(1)证明：∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD
又∵DE=AD，
∴
(2)∵AD是△ABC的中线
∴
∵
∴
∵
∴
答：三角形ACE的面积为10．
【点拨】本题主要考查三角形的全等证明、中线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
【变式2】如图，在△ABC和△BDE中，，为锐角，，，连接AE、CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
(1) △ABE与△CBD全等吗？为什么？
(2) AE与CD有何特殊的位置关系，并说明理由．

【答案】(1)全等，见分析(2)AE与CD互相垂直，见分析
【分析】
(1)利用“SAS”可判断△ABE≌△CBD；
(2)利用△ABE≌△CBD得到∠BAE=∠BCD，再根据三角形内角和得到∠NMC=∠ABN=90°，即可判断AE⊥CD
(1)解：△ABE与△CBD全等；
理由如下：
，
，即，
在和△CBD中，

；
(2)解：AE与CD互相垂直；
理由如下：
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形内角和定理，熟悉以上定理是解题的关键．
4．已知：如图1，，BD平分，，过点A作直线，延长CD交MN于点E
(1) 当时，的度数为______．
(2) 如图2，当时，求的度数；
(3) 设，用含x的代数式表示的度数．

【答案】(1)(2)(3)
【分析】
（1）根据题意证明，进而可得，根据，即可求解．继而可得，即可求得；
（2）根据全等三角形的性质可得，根据三角形内角和定理可得，进而根据即可求解．
（3）根据（1）（2）的方法分类讨论即可求解．
(1)解： BD平分， ，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，
(2)解：由（1）可知，
，
，
，
，
，
，
(3)解：设，
，
，
，
，
当点在点的左侧时，
，
当点在点的右侧时，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F．
(1) 求证：BE＝CG；
(2) 判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论．

【答案】(1)见分析(2)BE+CF＞EF，见分析
【分析】
（1）根据题中条件，证得△BDE≌△CDG（ASA），可证得BE＝CG；
（2）先连接AG，再利用全等的性质可得 DE＝DG，再根据DF⊥GE，从而得出 FG＝EF，依据三角形两边之和大于第三边得出 BE+CF>EF，
(1)解：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AB∥CG，
∴∠B＝∠DCG，
在△BDE和△CDG中，
∵∠BDE＝∠CDG，BD＝CD，∠DBE＝∠DCG，
∴△BDE≌△CDG（ASA），
∴BE＝CG；
(2)BE+CF＞EF．理由：如图，连接FG，

∵△BDE≌△CDG，
∴DE＝DG，
又∵FD⊥EG，
∴FD垂直平分EG，
∴EF＝GF，
又∵△CFG中，CG+CF＞GF，
∴BE+CF＞EF．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及三角形三边关系的运用，本题中求证△BDE≌△CDG，得出BE＝CG是解题的关键．
【变式2】在中，若最大内角是最小内角的n倍（n为大于1的整数），则称为n倍角三角形，例如，在中，，，，则称为6倍角三角形．
(1) 在中，，，则为______倍角三角形；
(2) 若一个等腰三角形是4倍角三角形，求最小内角的度数；
(3) 如图，点E在DF上，BE交AD于点C，，，，．找出图中所有的n倍角三角形，并写出它是几倍角三角形．（直接写出结果）

【答案】(1)3(2)20°或30°(3)△ABC和△DEC，5倍角三角形
【分析】
（1）根据三角形的内角和求出∠C，再利用n倍角三角形的定义即可求解．
（2）设最小内角的度数为x°，则最大内角为4x°，分两种情况：一是当最小内角为等腰三角形的顶角时，二是当最小内角为等腰三角形的底角时，利用三角形内角和即可求解．
（3）利用ASA证明△BAE≌△DAF，得到AE=AF，求得∠EAF，进而得到∠ACB，即可得到△ABC为5倍角三角形，同理可得△DEC为5倍角三角形．
(1)解：在中，，，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-60°=90°，
∵，
∴为3倍角三角形，
故答案为：3．
(2)设最小内角的度数为x°，则最大内角为4x°，
当最小内角为等腰三角形的顶角时，则底角为4x°，得：
4x+4x+x=180，解得x=20，
当最小内角为等腰三角形的底角时，则顶角为4x°，得：
4x+x+x=180，解得x=30，
∴最小内角的度数为20°或30°．
(3)∵∠BAD=∠EAF，
∴∠BAE=∠DAF，
在△BAE和△DAF中，
，
∴△BAE≌△DAF(ASA)，
∴AE=AF，
∵∠F=75°，
∴∠EAF=180°-75°×2=30°，
∴∠BAD=∠EAF=30°，
∵∠B=25°，
∴∠ACB=180°-∠B-∠BAD=125°，
∵，
∴△ABC为5倍角三角形，
∵∠D=25°，∠DCE=∠ACB=125°，
∴∠CED=180°-∠D-∠DCE=30°，
∵，
∴△DEC为5倍角三角形，
∴图中的n倍角三角形有△ABC和△DEC，它们都是5倍角三角形．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形内角和，解题的关键是理解n倍角三角形的定义．
5．如图，、相交于点O，，．

(1)求证：；
(2)若∠ABC=31°，求的度数．
【答案】(1)见分析(2)28°
【分析】
（1）利用斜边直角边定理证明两个三角形全等即可；
（2）利用全等三角形的性质证明∠ABC=∠BAD=31°，再求解 再利用角的和差关系可得答案．
(1)证明：∵∠D=∠C=90°，
∴△ABC和△BAD都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；
(2)∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠ABC=∠BAD=31°，
∵∠C=90°，
∴∠BAC=59°，
∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=28°．
【点拨】本题考查的是利用斜边直角边定理证明三角形全等，全等三角形的性质，掌握“斜边直角边定理”是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，点E为AD上一点，且，．
(1) 证明
(2) 若，，求△ABC的面积．

【答案】(1)证明过程见详解(2)24
【分析】
（1）延长BE交AC于F点，证明Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)即可得证；
（2）根据Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)可得BD=AD，即有AD=AE+DE，BC=BD+DC，结合AD⊥BC即可求解．
(1)延长BE交AC于F点，如图，

根据题意有AD⊥BC，
∴∠BDE=∠ADC=90°，
∵BE=AC，DE=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)，
∴BD=AD，∠DBE=∠DAC，
∵∠C+∠DAC=∠ADC=90°，
∴∠DBE+∠C=90°，
∴∠BFC=90°，
∴BE⊥AC；
(2)∵Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)，
∴BD=AD，
∵AE=4，CD=2，
∴AD=AE+DE=AE+CD=4+2=6，
∴BD=AD=6，
∴BC=BD+CD=6+2=8，
∴△ABC的面积为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积、直角三角形中两锐角互余等知识，证得Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)是解答本题的关键．
【变式2】如图，△ABC中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且．
(1) 求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2) 若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度数．

【答案】(1)见分析(2)60°
【分析】
（1）由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由题意先求得∠ACB的度数和∠BAE的度数，再由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．
(1)证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
(2)解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝45°，
又∵∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°，
∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝45°+15°＝60°．
【点拨】本题主要考查了直角三角形全等的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所要证明结论需要的条件．
类型三、角平分线的性质
6．已知：如图，在中，点F在CA的延长线上，点G在边AB上，，延长FG交BC于点E，过点A作//交BC于点D．
求证：AD平分．

【分析】根据平行线的性质可得∠CAD=∠F，∠BAD=∠AGF，根据已知及等量代换即可求解．
证明：∵AD∥EF，
∴∠CAD=∠F，∠BAD=∠AGF，
∵∠AGF＝∠F，
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD平分∠BAC．
【点拨】本题考查了平行线的性质及角平分线的判定，熟练掌握平行线的性质及角平分线的判定是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：AB＝AC

【分析】根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt△BDE≅Rt△CDF(HL)，根据全等三角形的性质得到结论．
证明：∵AD是△ABC的角平分线
又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°
又∵BD=CD
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）
∴∠B=∠C
∴AB=AC．
【点拨】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明．
【变式2】如图，在中，，是的平分线，于，在上，且．
(1) 求证：；
(2) 若，，不用写过程直接给出的值．

【答案】(1)见分析 (2)1
【分析】（1）根据，是的平分线，于，得到DE=DC，结合，证明△CDF≌△EDB即可．
（1）先证明△CDA≌△EDA，得到AE=AC=AF+CF=AF+BE，结合AB=AE+BE=AF+BE+BE，代入计算即可．
解：(1)∵，是的平分线，于，
∴DE=DC，
∵，
∴△CDF≌△EDB，
∴．
(2)∵，是的平分线，于，
∴DE=DC，
∵，
∴△CDA≌△EDA，
∴AE=AC=AF+CF=AF+BE，
∴AB=AE+BE=AF+BE+BE，
∴8=6+BE+BE，
解得BE=1，
故CF=1．
【点拨】本题考查了角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
类型四、三角形的作图
7．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实，求作△DEF，使△DEF≌△ABC．

【分析】作∠E=∠B，ED=BA，EF=BC即可．
解：△DEF即为所求．

【点拨】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
举一反三：
【变式1】尺规作图
已知：，和线段a，求作，使，，．
要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母．

【分析】首先作射线进而截取AB=a，再分别以A，B为端点，作∠A=∠α，∠B=2∠β，两条射线交于点C，即可得到所求的△ABC．
解：如图，△ABC即为所求．
．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图，正确掌握作一角等于已知角的方法是解题关键．
【变式2】已知：线段a，b和，求作：，使，，．

【分析】先作射线CO，然后做出∠C=，再以C为圆心，分别以a、b的长为半径与∠C的两端交于B、A，连接AB即为所求．
解：如图所示，先作射线CO，
以的顶点为圆心，以任意长为半径画弧与的两点分别交于M、N，以的顶点到M的距离为半径，再以C为圆心以的顶点到M的距离为半径画弧与射线CO交于E，再以E为圆心，以MN的长为半径画弧与圆C交于D，作射线CD，再以C为圆心，以a为半径画弧，与射线CD交于点B，以b为半径，以C为圆心，画弧与射线CO交于点A，连接AB，三角形ABC即为所求．

【点拨】本题主要考查了作三角形，解题的关键在于能够熟练掌握作三角形的方法．
类型五、全等三角形的应用
8．（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）证明见分析；（2），证明见分析
【分析】
（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；
（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；
解：（1）DE=BD+CE．理由如下：
∵BD⊥，CE⊥，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2），理由如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
举一反三：
【变式1】如图，为中边上的中线．
（1）求证：；
（2）若，，求的取值范围．

【答案】（1），（2）
【分析】
（1）延长至，使，连接，然后再证明，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，利用等量代换可得；
（2）把，代入（1）的结论里，再解不等式即可．
解：（1）证明：如图延长至，使，连接，
∵为中边上的中线，
∴，
在和中：
，
∴，
∴（全等三角形的对应边相等），
在中，由三角形的三边关系可得，
即；

（2）解：∵，，
由（1）可得，
∴，
∴．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，利用倍长中线的方式构造全等三角形是解题关键．
【变式2】如图，在中，，平分，点为延长线上一点，过点作交于点，连接．
(1) 若，求证：；
(2) 若，求的度数．

【答案】(1)证明见分析 (2)117°
【分析】
（1）由“AAS”可证△ADC≌△FDE，可得CD＝DF；
（2）由三角形内角和定理可得∠A＝∠ACB＝78°，由角平分线定义和平行线的性质求得∠EFD＝78°，∠E＝39°，根据三角形内角和定理可求∠AFE的度数．
(1)证明：∵EF∥AC，
∴∠A＝∠EFD，∠ACD＝∠E，
在△ADC和△FDE中，
，
∴△ADC≌△FDE（AAS），
∴AD＝DF；
(2)解：∵∠A＝∠ACB，∠ABC＝∠ECF＝24°，
∴∠A＝∠ACB＝＝78°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE＝39°，
∵EF∥AC，
∴∠A＝∠EFD＝78°，∠ACD＝∠E＝39°，
∵∠ECF＝24°，
∴∠CFE＝180°−∠ECF−∠E＝180°−24°−39°＝117°．
【点拨】本题考查了全等三角形判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．