数学八年级上册12.1 全等三角形精练

这是一份数学八年级上册12.1 全等三角形精练，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题12.39 《全等三角形》全章复习与巩固（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=8m，，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为（　　 ）

A．2m B．3m C．4m D．6m
2．如图，为测量桃李湖两端AB的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD=∠ACB，CD=CB，再测得AD的长，就是AB的长．那么判定△ABC≌△ADC的理由是（       ）

A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
3．如图，已知△ABC≌△DCB，∠A=75°，∠DBC=40°，则∠DCB的度数为（       ）

A．75° B．65°
C．40° D．30°
4．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点A，再在河的这一边选定点B和F，使AB⊥BF，并在垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上，因此证得△ABC≌△EDC，进而可得AB＝DE，即测得DE的长就是AB的长，则△ABC≌△EDC的理论依据是（       ）

A．SAS B．HL C．ASA D．AAA
5．如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（       ）
①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE

A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
6．如图，已知，，，则的长为（       ）

A．7 B．3.5 C．3 D．2
7．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是

A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
8．如图1，已知，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线．射线即为所求．
下列正确的是（       ）

A．，均无限制 B．，的长
C．有最小限制，无限制 D．，的长
9．如图，，欲证，则补充的条件中不正确的是（       ）

A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．当AD＝BF时，∠BEF的度数是（　　）

A．45° B．60° C．62.5° D．67.5°
11．如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A，B，D在一条直线上．给出4个结论：①AE=CD；②AB⊥FB；③∠AFC=60°；④△BGH是等边三角形．其中正确的是（ ）

A．①，②，③ B．①，②，④
C．①，③，④ D．②，③，④
12．如图，点是以的中点，点，，则图中全等三角形共有（       ）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
二、填空题
13．如图，BO平分于点D，点E为射线BA上一动点，若，则OE的最小值为_______．

14．已知，，，，则______．
15．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝_____．

16．如图，△ABC中，AB=14，AC=12，沿过B点的直线折叠这个三角形,使点A落在BC边上的点E处，△CDE的周长为15，则BC长为_______.

17．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为______.

18．已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝_____．

19．如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，请你添加一个适当的条件_____（填写一个即可），使得△ABC≌△DEC．

20．请仔细观察用直尺和圆规作一个等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出的依据是________（填简写）

21．如图，点在上，于点，交于点，．若°，则=_________．

22．如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm．

三、解答题
23．如图，已知，，，求证：，．







24．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证：BE=CD．







25．已知：∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA、OB交于C、 D．求证：PC=PD．








26．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD
（1）求证：△ABD≌△BCE；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线．
（3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由．







27．如图，已知，点分别在射线上移动，的平分线与的外角平分线交于点.

（1）当时， .
（2）请你猜想：随着两点的移动，的度数大小是否变化？请说明理由.









28．（2020•锦州模拟）问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．
方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；

小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；
问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；
（2） 如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．





















参考答案
1．A
【分析】
先由由题意可求DC的长，由角平分线的性质可求解．
解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，

∵AC＝8m，，
∴DC＝2m，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝2m，
∴点D到AB的距离等于2m，
故选：A．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质是本题的关键．
2．A
【分析】
已知条件是∠ACD=∠ACB，CD=CB，AC=AC，据此作出选择．
解：在△ADC与△ABC中，
．
∴△ADC≌△ABC（SAS）．
故选：A．
【点拨】此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．B
【分析】
直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而求出答案．
解：∵△ABC≌△DCB，
∴∠D=∠A=75°，∠ACB=∠DBC=40°，
∴∠DCB=180°-75°-40°=65°，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角的度数是解题关键．
4．C
【分析】
根据已知条件CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，判断△ABC≌△EDC的依据即可．
解：∵证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
∴用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．C
【分析】
①根据三角形的中线直接进行判断即可；
②一般三角形一条边上的中线不一定是这条边所对的角的平分线；
③根据“SAS”直接进行判断即可；
④根据三角形全等的性质直接判定∠F＝∠DEC，根据平行线的判定方法得出结果；
⑤根据全等三角形的性质可以判定CE＝BF，不能判定CE＝AE．
解：①∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，故①正确；
②∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；
③在△BDF和△CDE中
∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；
④∵△BDF≌△CDE，
∴∠F＝∠DEC，
∴，故④正确；
⑤∵△BDF≌△CDE，
∴CE＝BF，故⑤错误；
综上分析可知，①③④正确，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图，是解题的关键．
6．C
【分析】
利用全等三角形的性质求解即可．
解：∵△ABC≌△DAE，
∴AC=DE=5，AE=BC=2，
∴CE=AC-AE=3，
故选C．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键．
7．C
【分析】
根据全等三角形的判定方法分别进行判定
解：A、已知AB=DE，加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB=DE，加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB=DE，加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
D、已知AB=DE，加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意．
故选C．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法，选择合适的判定方法是解决此题的关键．
8．B
【分析】
根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论．
解：第一步：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；
∴；
第二步：分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点；
∴的长；
第三步：画射线．射线即为所求．
综上，答案为：；的长，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．
9．C
【分析】
从已知看，已经有一边和一角相等，则添加一角或夹该角的另一边即可判定其全等，从选项只有第三项符合题意，所以其为正确答案，其他选项是不能判定两个三角形全等的．
解：∵，
∴，
∴，∵，
在和中，
∴，故A正确；
∵，
在和中，
∴，故B正确；
∵，
在和中，
∴，故D正确；
C中条件不能证明．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法，熟练掌握是关键．
10．D
【分析】
根据旋转的性质可得CD＝CE和∠DCE＝90°，结合∠ACB＝90°，AC＝BC，可证△ACD≌△BCE，依据全等三角形的性质即可得到∠CBE＝∠A＝45°，再由AD＝BF可得等腰△BEF，则可计算出∠BEF的度数．
解：由旋转性质可得： CD＝CE，∠DCE＝90°．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°．
∴∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB．
即∠ACD＝∠BCE．
∴△ACD≌△BCE．
∴∠CBE＝∠A＝45°．
∵AD＝BF，
∴BE＝BF．
∴∠BEF＝∠BFE＝ 67.5°．
故选：D．
【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质找出相等的线段和角，并能准确判定三角形全等，从而利用全等三角形性质解决相应的问题．
11．C
【分析】
由题中条件可得△ABE≌△CBD，得出对应边、对应角相等，进而得出△BHD≌△BGE，△ABG≌△CHB，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论．
解：①根据题意可知，AB=BC，BE=BD，∠ABC+∠CBE=∠EBD+∠CBE，∴三角形ABE≌三角形CBD，∴AE=CD；
③∵三角形ABE≌三角形CBD，∴∠EAB=∠BCD，∵∠AGB=∠CGF，
∴∠AFC=∠ABC=60°；
④∵∠ABC=∠EBD=60°，
∴∠CBE=60°，
∵AB=BC，∠EAB=∠BCD，
∴三角形AGB≌三角形CHB，
∴GB=BH，
∴三角形BGH为等边三角形；
②设AB⊥FB，则FB⊥AD，易证△ABF≌△DBF，可得AB=BD，显然与已知条件矛盾，故②错误；
故答案为C.
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
12．C
【分析】
根据题意利用全等三角形的判定定理对图形全等三角形的组数进行确认.
解：如图：

可知图形中全等三角形有.
故选C.
【点拨】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.
13．5
【分析】
根据角平分线的性质即可求出．
解：当时，最小，
平分，，，
．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
14．6
【分析】
根据全等三角形的对应边相等可得答案．
解： ，

，，，

故答案为：6
【点拨】本题考查的是全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应边相等”是解本题的关键．
15．55°
【分析】
根据∠BAC＝∠DAE能够得出∠1＝∠EAC，然后可以证明△BAD≌△CAE，则有∠2＝∠ABD，最后利用∠3＝∠1+∠ABD可求解．
解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，

∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键．
16．17
【分析】
根据折叠知AD=ED,AB=EB,故先可求出EC的长为3，再求出BC=BE+EC=17.
解：∵△ABD与△EBD全等，
∴AD=ED,AB=EB,
∵AC=12，△CDE的周长为15，
即AD+CD=12，EC+CD+ED=15，
∴EC=3，
∴BC=BE+EC=BA+EC=14+3=17.
【点拨】此题主要考查全等三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的对应边相等.
17．90º
【分析】
首先证明三角形全等，根据全等三角形的性质可得对应角相等，再由余角的定义和等量代换可得∠1与∠2的和为90°.
解：如图，根据方格纸的性质，
在△ABD和△CBE中
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠1=∠BAD，
∵∠BAD+∠2=90°，
∴=90°.
故答案为：90°.

【点拨】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
18．4．
【分析】
过点D作DM⊥OB，垂足为M，则DM=DE=2，在Rt△OEF中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM=30°，在Rt△DMF中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长，此题得解．
解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．

∵OC是∠AOB的平分线，
∴DM＝DE＝2．
在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，
∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．
在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，
∴DF＝2DM＝4．
故答案为4．
【点拨】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF的长是解题的关键．
19．BC＝EC
【分析】
由题意已知两个三角形的一组对应角相等和已知对应边相等，根据全等三角形的判定定理添加条件即可．
解：添加条件是：BC＝EC，
在△ABC与△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
故答案为：BC＝EC．
【点拨】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意掌握AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
20．SSS##边边边
【分析】
根据题意可得，从而得到（SSS），即可求解．
解：根据题意得：，
∴（SSS），
∴．
故答案为：SSS
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图——作一个角等于已知角，熟练掌握全等三角形的判定和性质，作一个角等于已知角的作法是解题的关键．
21．55°
【分析】
根据HL可证得Rt△BDE≌△Rt△CFD，从而得到∠BDE=∠CFD=35°，即可求解．
解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠CFD=35°．
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠CDF=90°，
在Rt△BDE与△Rt△CFD中，
∵，
∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），
∴∠BDE=∠CFD=35°，
∵∠EDF+∠BDE=90°，
∴∠EDF=55°．
故答案是：55°．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，能根据HL证得Rt△BDE≌△Rt△CFD是解题的关键．
22．3.5
【分析】
过C点作CF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到CF=CE，再证明Rt△ACE≌Rt△ACF得到AF=AE，证明△CBF≌△CDE得到BF=DE，然后利用等线段代换，利用AF=AE得到11+DE=18-DE，从而可求出DE的长．
解：过C点作CF⊥AB于F，如图，

∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，
∴CF=CE，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AF=AE，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠CBF=∠D，
在△CBF和△CDE中，
，
∴△CBF≌△CDE（AAS），
∴BF=DE，
∵AF=AE，
∴AB+BF=AD-DE，
即11+DE=18-DE，
∴DE=3.5cm．
故答案为：3.5．
【点拨】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．
23．证明见分析
【分析】
先证明可得：再证明从而可得结论.
证明： ，，，








【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握利用边边边公理，角角边定理判定两个三角形全等是解题的关键.
24．证明见分析
【分析】
首先证明∠BAE=∠CAD，再利用SAS证明△BAE≌△CAD即可．
证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAE≌△CAD(SAS)，
∴BE=CD．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用SAS证明△BAE≌△CAD．
25．见分析
【分析】
过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分线的性质易得PE＝PF，然后由同角的余角相等证明∠1＝∠2，即可由ASA证明△CFP≌△DEP，从而得证．
证明：过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴∠CFP=∠DEP=90°,
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE=PF,
∵∠1+∠FPD=90°   
又∵∠AOB=90°   
∴∠FPE=90°，
∴∠2+∠FPD=90°   
∴∠1=∠2,
∵在△CFP和△DEP中：，
∴△CFP≌△DEP(ASA)   
∴PC=PD.

【点拨】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度中等，作辅助线很关键．
26．（1）见分析；（2）见分析；（3）△DBC是等腰三角形，见分析.
【分析】
（1）如图，根据垂直关系可得∠1＝∠2，再根据ASA即可证明△BAD≌△CBE；（2）由（1）得AD＝AE，再求得∠6=∠7=45°，即可得证；（3）由垂直平分线的性质知CD＝CE，由（1）得CE＝BD，故△DBC是等腰三角形．
解：（1）如图证明：∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△BAD和△CBE中，
，
∴△BAD≌△CBE（ASA），
（2）证明：∵E是AB中点，
∴EB＝EA，
∵AD＝BE，
∴AE＝AD，
∵AD∥BC，
∴∠7＝∠ACB＝45°，
∵∠6＝45°，
∴∠6＝∠7，
又∵AD＝AE，
∴AM⊥DE，且EM＝DM，
即AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形（CD＝BD）．
理由如下：
∵由（2）得：CD＝CE，由（1）得：CE＝BD，
∴CD＝BD．
∴△DBC是等腰三角形．

【点拨】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质．
27．（1）45°；（2）随着两点的移动，的度数大小不会变化，理由详见分析.
【分析】
（1）根据直角三角形的内角和和角平分线的性质即可得到答案；
（2）由于∠ABN是△AOB的外角，从而得到∠ABN=90°+∠BAO，再根据角平分线的性质及三角形外角定理可得∠CBD=45°+∠BAO，∠CBD=∠ACB+∠BAO；接下来通过等量代换可得即可得到∠ACB=45°，由此即可得到结论.
解：（1）因为，，所以，,
则根据角平分的性质可知，,则有；
（2）随着两点的移动，的度数大小不会变化.
理由如下：
∵平分
∴
∵平分
∴
∵是的一个外角
∴
∴
∵是的一个外角
∴
∴
【点拨】本题考查角平分线的性质和三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和三角形外角定理.
28．（1）CM＝AN+MN，详见分析；（2）CM＝MN﹣AN，详见分析
【分析】
（1）在AC上截取CD＝AN，连接OD，证明△CDO≌△ANO，根据全等三角形的性质得到OD＝ON，∠COD＝∠AON，证明△DMO≌△NMO，得到DM＝MN，结合图形证明结论；
（2）在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD，仿照（1）的方法解答．
解：（1）CM＝AN+MN，
理由如下：在AC上截取CD＝AN，连接OD，

∵△ABC为等边三角形，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴OA＝OC，
在△CDO和△ANO中，
，
∴△CDO≌△ANO（SAS）
∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，
∵∠MON＝60°，
∴∠COD+∠AOM＝60°，
∵∠AOC＝120°，
∴∠DOM＝60°，
在△DMO和△NMO中，
，
∴△DMO≌△NMO，
∴DM＝MN，
∴CM＝CD+DM＝AN+MN；
（2）补全图形如图2所示：

CM＝MN﹣AN，
理由如下：在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD，
在△CDO和△ANO中，
，
∴△CDO≌△ANO（SAS）
∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，
∴∠DOM＝∠NOM，
在△DMO和△NMO中，
，
∴△DMO≌△NMO（SAS）
∴MN＝DM，
∴CM＝DM﹣CD＝MN﹣AN．
【点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及全等三角形的判定定理．