数学八年级上册12.1 全等三角形达标测试

这是一份数学八年级上册12.1 全等三角形达标测试，共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题12.40 《全等三角形》全章复习与巩固（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（   ）

A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③ED＝FD；④AB＝AE＋BF．其中正确的个数有（       ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，若则下列结论中不成立的是（       ）

A． B．
C．DA平分 D．
4．如图，，，，，垂足分别是点，，若，，则的长是（       ）

A． B．2 C．3 D．4
5．如图，在中，，，点在边上，，点、在线段上，，若的面积为21，则与的面积之和是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
6．如图，BC⊥CE，BC=CE，AC⊥CD，AC=CD，DE交AC的延长线于点M，M是DE的中点，若AB=8，则CM的长为（       ）

A．3.2 B．3.6 C．4 D．4.8
7．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC＝（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：5
8．如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（　　）

A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC
C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90°
9．如图，D为∠BAC的外角平分线上一点，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，且满足∠FDE＝∠BDC，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上，且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为F、G，则下列结论错误的是（　　）

A．△EBM≌△DCM
B．若S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点
C．MA平分∠EMD
D．若E是AB的中点，则BM+AC＜EM+BD
11．如图，在ADE和ABC中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF＝4，则FG的长是（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．
12．如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，当P、Q两点同时出发t分钟后△CAP全等于△PBQ，则此时t的值是（       ）

A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题
13．如图，△ABC的面积为25cm2，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为________；

14．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C，若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为________．

15．如图是一个3×3的正方形，则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数是_____度．

16．如图，在长方形ABCD中，，．延长BC到点E，使，连结DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当t的值为______________时，和全等．

17．如图，在中，，，垂足分别为点，，与交于点，若，，则的长是________．

18．如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为_______．

19．如图，BD是△ABC的中线，E为AB边上一点，且，连接CE交BD于F，连接AF并延长交BC于点G，则______．

20．如图，在△ABC中，BD=CD，BE交AD于F，AE=EF，若BE=7CE，，则BF=_______．

21．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB且BD、CE相交于点O，过点O作FO⊥BD交AB于点F，连FD．若∠A﹣∠ACB＝α（0°＜α＜60°），则∠AFD＝_____．

22．如图，在△ABC 中，∠ACB＝60°，D 为△ABC 边 AC 上一点，BC＝CD，点 M 在 BC 的延长线上， CE 平分∠ACM，且 AC＝CE．连接 BE 交 AC 于 F，G 为边 CE 上一点，满足 CG＝CF，连接 DG 交 BE 于 H．以下结论：①△ABC≌△EDC； ②∠DHF =60°；③若∠A=60°，则 AB∥CE；④若 BE 平分∠ABC 中，则 EB 平分∠DEC；正确的有_____（只填序号）

三、解答题
23．如图，四边形ABCD中，BC＝CD＝2AB，ABCD，∠B＝90°，E是BC的中点，AC与DE相交于点F．
(1) 求证：ABC≌ECD；
(2) 判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．




24．如图，已知ABCD，OA=OD，AE=DF． 试说明：EBCF．









25．如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．
(1) 求证：AE＝AF；
(2) 求∠EAF的度数．






26．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE相交于点G，BD＝DC，DF∥BC交AB于点F，连接FG．求证：
(1) △DAB≌△DGC；
(2) CG＝FB＋FG．




27．如图1，在ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？并说明理由；
（2）如图4，如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．






28．如图，AD是△ABC的角平分线.证明AB：AC=BD：CD.






































参考答案
1．C
【分析】
过D作DF⊥AC于点F，首先根据角平分线的性质可求出DF，再根据三角形面积公式求出△ABD的面积，即可求出△ADC面积，据此即可求出答案．
解：如图：过D作DF⊥AC于点F，

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF=2，
，△ABC的面积为9，
∴△ADC的面积为9−5=4，
∴，
∴AC=4，
故选：C．
【点拨】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
2．A
【分析】
过点D作DG⊥AB于点G，由角平分线的定义及平行线的性质可得∠ADB=90°，然后可证△ADC≌△ADB，△DEC≌△DFB，进而问题可求解．
解：∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF，
∴，
∵BF∥AC，
∴，
∴，即，
∴，即AD是△ABC的高，故①正确；
∵，AD=AD，
∴△ADC≌△ADB（ASA），
∴，即AD是△ABC的中线，故②正确；
∵BF∥AC，
∴，
∵，
∴△DEC≌△DFB（AAS），
∴ED＝FD，故③正确；
过点D作DG⊥AB于点G，如图所示：

∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF，，
∴，
∵AD=AD，
∴（HL），
∴，
同理可知，
∵，
∴，故④正确；
综上所述：正确的个数有4个；
故选A．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键．
3．D
【分析】
根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠E＝∠C，再逐个判断即可．
解：A．∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC＝∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，故本选项不符合题意；
B．∵△ABC≌△ADE，
∴∠C＝∠E，
∵∠AOE＝∠DOC，∠E＋∠CAE＋∠AOE＝180°，∠C＋∠COD＋∠CDE＝180°，
∴∠CAE＝∠CDE，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＝∠CDE，故本选项不符合题意；
C．∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠ADE，AB＝AD，
∴∠B＝∠BDA，
∴∠BDA＝∠ADE，
∴AD平分∠BDE，故本选项不符合题意；
D．∵△ABC≌△ADE，
∴BC＝DE，故本选项符合题意；
故选：D．

【点拨】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
4．B
【分析】
根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出∆CEB≅∆ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值.
解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°
∴∠EBC+∠BCE=90°
∵∠BCE+∠ACD=90°
∴∠EBC=∠DCA
在∆CEB和∆ADC中，
∠E=∠ADC，∠EBC=∠DCA，BC=AC
∴∆CEB≅∆ADC(AAS)
∴BE=DC=1，CE=AD=3
∴DE=EC-CD=3-1=2
故选：B．
【点拨】全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
5．B
【分析】
结合题意，根据全等三角形的性质，通过证明，得与的面积之和，通过计算即可完成求解．
解：∵，，
∴
∵
∴
∵
∴
在和中

∴
∴
∴与的面积之和
∵，若的面积为21
∴
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，从而完成求解．
6．C
【分析】
过点E作EF⊥AC，交AC的延长线于点F，先证明△DCM≌△EFM（AAS），得到CM＝FM，CD＝FE，再证明△ABC≌△FCE（SAS），得到FC＝AB＝8，利用CM＝FC得到答案．
解：如图，过点E作EF⊥AC，交AC的延长线于点F，

∵ CD⊥AC，EF⊥AC
∴∠DCM＝∠EFM＝90°
∵M是DE的中点
∴DM＝EM
∵∠DMC＝∠EMF
∴△DCM≌△EFM（AAS）
∴CM＝FM，CD＝FE
∵BC⊥CE，EF⊥AC
∴∠BCE＝90°，∠CFE＝90°
∴∠ACB＋∠ECF＝90°，∠ECF＋∠FEC＝90°
∴∠ACB＝∠FEC
∵AC＝CD
∴AC＝FE
∵BC＝CE
∴△ABC≌△FCE（SAS）
∴FC＝AB＝8
∵CM＝FM
∴M是FC的中点
∴CM＝FC＝4
故选：C
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形的判定方法是基础，添加辅助线构造全等三角形是关键．
7．A
【分析】
作DH∥AC交BF于H，如图，先证明△EDH≌△EAF得到DH＝AF，然后判断DH为△BCF的中位线，从而得到CF＝2DH．
解：作DH∥AC交BF于H，如图，

∵DH∥AF，
∴∠EDH＝∠EAF，∠EHD＝∠EFA，
∵DE＝AE，
∴△EDH≌△EAF（AAS），
∴DH＝AF，
∵点D为BC的中点，DH∥CF，
∴DH为△BCF的中位线，
∴CF＝2DH＝2AF，
∴AF：FC＝1：2，
故选：A．
【点拨】本题考查平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
8．C
【分析】
由题意在射线AD上截取AE=AB，连接CE，根据SAS不难证得△ABC≌△AEC，从而得BC=EC，∠B=∠AEC，可求得CD=CE，得∠CDE=∠CED，证得∠B=∠CDE，即可得出结果．
解：在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，如图所示：

∵∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠EAC，
在△ABC与△AEC中，
，
∴△ABC≌△AEC（SAS），
∴BC＝EC，∠B＝∠AEC，
∵CB＝CD，
∴CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴∠B＝∠CDE，
∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°．
故选：C．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是作出适当的辅助线AE，CE．
9．D
【分析】
利用AAS证明△CDE≌△BDF，可判断①④正确；再利用HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，可判断②正确；由∠BAC＝∠EDF，∠FDE＝∠BDC，可判断③正确．
解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，∠DFB＝∠DEC＝90°，
∵∠FDE＝∠BDC，
∴∠FDB＝∠EDC，
在△CDE与△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（AAS），
故①正确；
∴CE＝BF，
在Rt△ADE与Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴CE＝AB+AF＝AB+AE，
故②正确；
∵∠DFA＝∠DEA＝90°，
∴∠EDF+∠FAE＝180°，
∵∠BAC+∠FAE＝180°，
∴∠FDE＝∠BAC，
∵∠FDE＝∠BDC，
∴∠BDC＝∠BAC，
故③正确；
∵∠FAE是△ABC的外角，
∴2∠DAF＝∠ABC+∠ACB＝∠ABD+∠DBC+∠ACB，
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠ABD＝∠DCE，BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴2∠DAF＝∠DCE+∠DBC+∠ACB＝∠DBC+∠DCB＝2∠DBC，
∴∠DAF＝∠CBD，
故④正确
故选：D．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，外角的性质等，熟悉掌握全等三角形的判定方法，灵活寻找条件是解题的关键．
10．D
【分析】
根据全等三角形的判定与性质分别证明△ABD≌△ACE，△EBM≌△DCM，△AEM≌△ADM即可判断选项A、B、C，延长ME至N，使得EN =EM，连接AN，证明△ANE≌△BME，得到AN=BM，由CE=BD和三角形三边关系可判断选项D．
解：∵AB=AC，∠BAD＝∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠C，BD=CE，
∵AB=AC，AE＝AD，
∴AB－AE=AC－AD，
∴BE=CD，又∠B＝∠C，∠EMB＝∠DMC，
∴△EBM≌△DCM（AAS），故选项A正确，不符合题意；
∴ME=MD，又AE=AD，AM=AM，
∴△AEM≌△ADM（SSS），
∴∠AME＝∠AMD，S△AEM=S△ADM，
∴MA平分∠EMD，故选项C正确，不符合题意；
若S△BEM＝S△ADM，则S△BEM＝S△AEM，
∴ME为△AMB的中线，
∴点E为AB的中点，故选项B正确，不符合题意；
延长ME至N，使得EN =EM，连接AN，
若E是AB的中点，则AE=BE，
又EN =EM，∠AEN＝∠BEM，
∴△ANE≌△BME(SAS)，
∴AN=BM，又BD=CE，
∴BM+AC=AN+AC＞CN=EN+CE=EM+BD，
即BM+AC＞EM+BD，故选项D错误，符合题意，
故选：D．

【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、三角形的中线性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并能灵活的运用是解答的关键．
11．C
【分析】
过点A作AH⊥BC于H，证△ABC≌△AED，得AF＝AH，再证Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），同理Rt△ADF≌Rt△ABH，得S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝12，然后求得Rt△AFG的面积＝6，进而得到FG的长．
解：
如图所示，过点A作AH⊥BC于H，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴AD＝AB，S△ABC＝S△AED，
又∵AF⊥DE，
∴，
∴AF＝AH，
∵AF⊥DE，AH⊥BC，
∴∠AFG＝∠AHG＝90°，
在Rt△AFG和Rt△AHG中，
，
∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），
同理：Rt△ADF≌Rt△ABH（HL），   
∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝12，
∵Rt△AFG≌Rt△AHG，
∴SRt△AFG＝6，
∵AF＝4，
∴，
解得：FG＝3．
故选：C．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，综合运用各知识点是解题的基础，作出合适的辅助线是解此题的关键．
12．A
【分析】
由题意得，，如图，当△CAP全等于△PBQ时，得到，根据速度为1米/分钟即可求解．
解：由题意得，
如图，当△CAP全等于△PBQ时，
AC＝4m
m
P点从B向A运动，每分钟走1m

故选：A．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是准确的用t表示出BP 的长度．
13．
【分析】
延长AP交BC于E，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出， ，推出，代入求出即可．
解：延长AP交BC于E，如下图．

∵BP平分，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：12.5．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
14．3
【分析】
根据垂线段最短得出当DP⊥BC时，DP的长度最小，求出∠ABD=∠CBD，根据角平分线的性质得出AD=DP=3，即可得出选项．
解：
解：∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∴∠C+∠CBD=90°，
∵∠A=90°
∴∠ABD+∠ADB=90°，
∵∠ADB=∠C，
∴∠ABD=∠CBD，
当DP⊥BC时，DP的长度最小，
∵AD⊥AB，
∴DP=AD，
∵AD=3，
∴DP的最小值是3．
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当DP⊥BC时，DP的长度最小，是解题的关键．
15．405
【分析】
根据图形可以找到多对全等三角形，可以得到∠1与∠9互余，∠2与∠6互余，∠4与∠8互余，∠3=∠5=∠7=45°，再进行计算即可求解．
解：观察图形可知，∠1所在三角形与∠9所在三角形全等，∠1与∠9的余角相等，所以∠1与∠9互余，同理∠2与∠6互余，∠4与∠8互余，又因为∠3=∠5=∠7=45°，
∴∠1+∠2+∠3+…+∠9=90°×3+45°×3=405°．
故答案为：405
【点拨】本题考查了三角形全等的应用，仔细观察图形，发现全等三角形，熟知全等三角形的性质是解题关键．
16．1或7##7或1
【分析】
分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2或AP=16-2t=2即可求得结果．
解：当点P在BC上时，
∵AB＝CD，
∴当△ABP≌△DCE，得到BP=CE，
由题意得：BP＝2t＝2，
∴t＝1，
当P在AD上时，
∵AB＝CD，
∴当△BAP≌△DCE，得到AP=CE，
由题意得：AP＝6+6-4﹣2t＝2，
解得t＝7．
∴当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故答案为：1或7．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想进行求解．
17．1
【分析】
根据“AAS”先证明，得出，根据，，算出AD=4，即可得出CD=4，求出最后结果即可．
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，垂线的定义，余角的性质，直角三角形面积公式，根据题意证明，得出，是解题的关键．
18．35°##35度
【分析】
连接CD，EF．由题目中尺规作图可知：，．可证，所以，可得．所以．由于AH平分，所以．即：．
解：连接CD，EF
由题目中尺规作图可知：，
在和中





AH平分



故答案为：．

【点拨】本题主要考查知识点为，全等三角形的性质及判定、定点为圆心定长为半径的性质、平行线的判定及性质，角平分线的性质．能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定、平行线的性质及判定，角平分线的性质，是解决本题的关键．
19．
【分析】
作，交于，作，交于．通过平行线的性质证明，，，即可求出．
解：作，交于，作，交于，

是的中线，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查三角形的面积，三角形全等，平行线的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
20．##
【分析】
延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，可证明，则BG＝AC，，根据AE＝EF，得到，可证出，即得出AC＝BF，从而得出BF的长．
解：如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，

在和中，

∴
∴BG＝AC，，
又∵AE＝EF，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF，
又∵BE＝7CE，AE＝，
∴BF＋EF＝，
即BF＋＝，
解得BF＝．
故答案为：
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明线段相等，一般转化为证明三角形全等，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
21．45°＋α
【分析】
延长FO交BC于H，连接DH，证明△FBO≌△HBO（ASA），推出BD垂直平分FH，得到∠AFD=∠DHC，根据四边形内角和推出∠BFO=∠ADO=∠BHO，得到∠CDO=∠CHO，由此证明△OCD≌△OCH，得到CD=CH，利用三角形内角和求出∠CHD，即可得到∠AFD的度数．
解：如图，延长FO交BC于H，连接DH，

∵∠BAC−∠ACB＝α，
∴∠ACB＝90°−α，
∵FO⊥BD，
∴∠BOF=∠BOH＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBO=∠HBO，
∵OB=OB，
∴△FBO≌△HBO（ASA），
∴∠BFO=∠BHO，OF=OH，
∴BD垂直平分FH，
∴DF=DH，
∴∠DFH=∠DHF，
∴∠AFD=∠DHC，
∵∠BAC＝90°，∠FOD＝90°，
∴∠AFO+∠ADO＝180°，
∴∠BFO=∠ADO=∠BHO，
∴∠CDO=∠CHO，
∵CO平分∠ACB，
∴∠DCO＝∠HCO，
∵OC=OC，
∴△OCD≌△OCH（AAS），
∴CD=CH，
∴∠CDH=∠CHD=（180°-∠ACB）=45°+α，
∴∠AFD＝∠CHD＝45°＋α，
故答案为：45°＋α．
【点拨】本题是三角形的综合问题，主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理、四边形内角和定理、角平分线的定义、全等三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理及性质定理．
22．①②③④
【分析】
①可推导∠ACB=∠ACE=60°，进而可证全等；②先证△BFC≌△DGC，得到∠FBC=∠CDG，∠BFC=∠DFH，从而推导得出∠BCF=∠DHF=60°；③由∠A＝60°，∠ACE＝60°，可得∠A＝∠ACE，即可得出ABCE；④利用△BCE的外角∠ECM和△ABC的外角∠ACM的关系，结合∠DEC=∠A可推导得出．
解：∵∠ACB＝60°，
∴∠ACM＝180°−∠ACB＝120°，
∵CE平分∠ACM，
∴∠ACE＝∠MCE＝∠ACM＝60°，
∴∠ACB＝∠ACE．
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），故①正确；
在△BCF和△DCG中，
，
∴△BCF≌△DCG（SAS）．
∴∠CBF＝∠CDG．
∵∠ECM＝∠CBF＋∠BEC＝60°，
∴∠CDG＋∠CEB＝60°．
∵∠DCE＋∠CDE＋∠CED＝180°，∠DCE＝60°，
∴∠CDE＋∠CED＝120°，
∴∠HDE＋∠HED＝60°，
∴∠DHF＝∠HDE＋∠HED＝60°，故②正确；
∵∠A＝60°，∠ACE＝60°，
∴∠A＝∠ACE，
∴AB∥CE，故③正确；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵△BCF≌△DCG，
∴∠CBE＝∠CDG．
∴∠CDG＝∠ABE＝∠CBE．
∵△ABC≌△EDC，
∴∠ABC＝∠CDE，
∴∠CDG＝∠ABE＝∠CBE＝∠EDG．
∵∠ECM＝∠CBF＋∠BEC＝60°，∠DHF＝∠EDG＋∠DEB＝60°，
∴∠CBF＋∠BEC＝∠EDG＋∠DEB，
∴∠BEC＝∠DEB，
即EB平分∠DEC，故④正确；
综上，正确的结论有：①②③④．
故答案为：①②③④．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理，角平分线的定义，三角形的内角和定理以及平行线的判定定理，正确找出图中的全等三角形是解题的关键．
23．(1)见分析(2)AC⊥DE，见分析
【分析】
（1）由E是BC的中点，BC＝2AB可证明AB＝EC，由平行线的性质得出∠B＋∠ECD＝180°，得出∠ECD＝90°＝∠B，最后由SAS证明△ABC≌△ECD即可；
（2）由全等三角形的性质得出，∠CED＝∠CAB，再由∠CAB＋∠ACB＝90°推导∠CED＋∠ACB＝90°，进而得出∠EFC＝90°，即可得出结论．
(1)证明：∵E是BC的中点，
∴BC＝2EC，
∵BC＝2AB，
∴AB＝EC，
∵，
∴∠B＋∠ECD＝180°，
∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠ECD＝90°，
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（SAS）；
(2)AC⊥DE．理由如下：
∵△ABC≌△ECD（SAS），
∴∠CED＝∠CAB，
∵∠CAB＋∠ACB＝90°，
∴∠CED＋∠ACB＝90°，
∴∠EFC＝90°，
∴AC⊥DE．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
24．见分析
【分析】
先由平行的性质得出，再证明，可得，继而证明，根据全等三角形的性质及平行先的判定证明即可．
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
25．(1)见分析(2)90°
【分析】
（1）利用SAS证明△AEB≌△FAC可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠E=∠CAF，由余角的定义可求得∠EAF的度数．
(1)证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠EBA=90°，
∴∠ACD=∠EBA，
在△AEB和△FAC中，
，
∴△AEB≌△FAC（SAS），
∴AE=FA；
(2)∵△AEB≌△FAC，
∴∠E=∠CAF，
∵∠E+∠EAG=90°，
∴∠CAF+∠EAG=90°，
即∠EAF=90°．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△AEB≌△FAC是解题的关键．
26．(1)见分析(2)见分析
【分析】
（1）根据ASA即可证明全等；
（2）根据SAS证明△DFA≌△DFG，利用全等三角的性质即可得出结论．
(1)证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ABD+∠A＝90°，∠ACE+∠A＝90°，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△DAB和△DGC中，

∴△DAB≌△DGC（ASA）；
(2)∵△DAB≌△DGC，
∴AB＝CG，DA＝DG，
∵BD＝CD．∠BDC＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∵DF∥BC，
∴∠FDA=∠DCB，∠FDG=∠DBC，
∴∠FDA＝∠FDG，

在△DFA和△DFG中，
，
∴△DFA≌△DFG（SAS），
∴FA＝FG．
∴CG＝AB＝FB+FA＝FB+FG．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，以及平行线的性质，找到正确的全等三角形是本题的关键．
27．（1）①垂直，相等；②成立，理由见分析；（2）45°，理由见分析
【分析】
（1）①证明△BAD≌△CAF，可得：BD＝CF，∠B＝∠ACF＝45°，则∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，所以BD与CF相等且垂直；
②①的结论仍成立，同理证明△DAB≌△FAC，可得结论：垂直且相等；
（2）当∠ACB满足45°时，CF⊥BC；如图4，作辅助线，证明△QAD≌△CAF，即可得出结论．
解：（1）①CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等，理由是：
如图2，∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠DAC+∠CAF＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，且∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠CAF＝∠BAD，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD＝CF，∠B＝∠ACF＝45°，
∴∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，
即∠BCF＝90°，
∴BC⊥CF，
即BD⊥CF；
故答案为：垂直，相等；
②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立，理由是：
如图3，由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠FAC，
又∵AB＝AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，
∠ACF＝∠ABD，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ACF＝∠ABC＝45°
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
即CF⊥BD；
（2）当∠BCA＝45°时，CF⊥BD，理由是：
如图4，过点A作AQ⊥AC，交BC于点Q，
∵∠BCA＝45°，
∴∠AQC＝45°，
∴∠AQC＝∠BCA，
∴AC＝AQ，
∵AD＝AF，∠QAC＝∠DAF＝90°，
∴∠QAC﹣∠DAC＝∠DAF﹣∠DAC，
∴∠QAD＝∠CAF，
∴△QAD≌△CAF，
∴∠ACF＝∠AQD＝45°，
∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
即CF⊥BD．

【点拨】本题是四边形的综合题，考查了正方形、等腰直角三角形、全等三角形的性质和判定，本题的三个结论都是证明三角形全等得出，所以利用SAS证明三角形全等是本题的关键；第（2）问，恰当地作辅助线，构建等腰直角三角形，同样也是构建两个三角形全等得出结论．
28．见分析
【分析】
过点A作AH⊥BC于H.过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N.依据角平分线上一点到角两边的距离相等，可得到DM=DN，再根据三角形的面积公式即可得出结论.
证明：过点A作AH⊥BC于H.过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N.

∴S△ABD=BD×AH=AB×DM；
S△ADC=DC×AH=AC×DN，
∵AD是△ABC的角平分线，
且DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∴DM=DN，
∴，
∴AB：AC=BD：CD.
【点拨】掌握角平分线的性质，会根据角平分线上一点到角两边的距离相等联想到过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N是解本题的关键.