必考点14 分式及分式的运算-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学上册精选专题（人教版）

必考点14  分式及分式的运算  

●题型一  分式的相关概念

★★★1、  分式的定义

【例题1】（2021秋•广阳区校级期末）下列代数式中属于分式的是（　　）

A． B． C． D．x

【例题2】（2022秋•海淀区校级月考）在代数式，，，，中，分式的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【解题技巧提炼】

分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．

★★★2、  与分式有关的条件

【例题3】（2021秋•固始县期末）若分式有意义，则x应该满足的条件是（　　）

A．x≠0 B．x≠﹣1 C．x≠1 D．x≥1

【例题4】（2021秋•古丈县期末）若分式无意义，则x的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【例题5】（2021秋•松山区期末）若分式的值为零，则x的值为（　　）

A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．1

【例题6】（2021秋•盘山县期末）若分式的值为正，则x的取值范围为（　　）

A．x B．x C．x且x≠0 D．x

【例题7】（2022秋•晋州市期中）当的值是﹣1时，则x为（　　）

A．任意正数 B．任意非负数 

C．不等于2的正数 D．不等于2的非负数

【解题技巧提炼】

与分式有关的条件

1.分式有意义的条件是分母不为0．

2.分式无意义的条件是分母为0．

3.分式的值为零的条件是：分子为0且分母不为0.

4.分式的值为正数的条件是分子、分母同号.

5.分式的值为负数的条件是分子、分母异号．

6.分式的值为1的条件是分子分母相等且分母不为0.

7.分式的值为﹣1的条件是分子分母互为相反数且分母不为0.

●题型二  分式的基本性质及应用

★★★1、  分式的基本性质

【例题8】（2022春•碑林区校级月考）下列分式从左到右变形正确的是（　　）

A． B． C．1 D．

【例题9】（2022秋•新宁县校级月考）与分式的值相等的是（　　）

A． B． C． D．

【例题10】（2022春•广西月考）把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，分式的值（　　）

A．扩大到原来的3倍 B．不变 

C．扩大到原来的6倍 D．缩小为原来的

【例题11】不改变分式的值，把下列分式的分子与分母中各项的系数都化为整数，且分子与分母的最高次项的系数都化为正数．

（1）；            （2）．

【解题技巧提炼】

1.分式的基本性质：

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．

2.分式中的符号法则：

分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．

★★★2、  分式的约分与通分

【例题12】（2021秋•聊城期末）下列约分正确的是（　　）

A． B．1 

C． D．x4

【例题13】（2022秋•张店区期中）分式与的最简公分母是（　　）

A．x（x+5） B．（x+5）（x﹣5） 

C．x（x﹣5） D．x（x+5）（x﹣5）

【例题14】（2017秋•新罗区校级月考）约分：（1）；          

通分：（2），．

【解题技巧提炼】

分式的约分

（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．

最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．

分式的通分

（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．

（2）通分的关键是确定最简公分母．

①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．

②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．

●题型三  分式的乘除运算

【例题15】（2022秋•泰山区校级月考）计算的结果是（　　）

A． B． C． D．

【例题16】（2021秋•肥城市期末）化简的结果是（　　）

A．x+3 B．﹣6x C．3﹣x D．x﹣3

【例题17】计算：

（1）•；          （2）（ab﹣a2）•．

【解题技巧提炼】

1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．

2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．

3.分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．

●题型四  分式的乘方及乘除混合运算

【例题18】（2022秋•新泰市期中）计算：

（1）（）2•（）3÷（﹣xy4）           （2） ；

（3）       （4）（）2÷（）•（）3•（）2．

【解题技巧提炼】

1.分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．

2.分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．

3.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．

4.做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．

●题型五  分式的加减法

【例题19】（2022•景德镇模拟）计算的结果为（　　）

A．1 B．﹣1 C． D．

【例题20】（2022秋•蒙城县期中）计算的结果为（　　）

A． B．﹣1 C．1 D．

【例题21】（2022秋•潍坊期中）如果x＞y＞1，那么的值是（　　）

A．正数 B．负数 C．零 D．不确定

【例题22】计算：（1）               （2）x+1

【解题技巧提炼】

分式的加减法

1.同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．

2.异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成  分母相同  的分式，叫做通分，异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．

●题型六  分式的混合运算

【例题:23】（2022秋•石景山区校级期中）计算：•．

【例题24】（2021秋•乳山市期末）化简：．

【例题25】（2021秋•鹤城区校级月考）计算：（1）．

【例题26】化简：（a）．

【解题技巧提炼】

分式的混合运算:

1.分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的．

2.最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

3.分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．

●题型七  整数指数幂

【例题27】（2021秋•谷城县期末）若（x﹣1）﹣1+x0有意义，则x值应该是（　　）

A．x≠0 B．x≠1 C．x＞0且x≠1 D．x≠0且x≠1

【例题28】（2022春•碑林区校级月考）若a＝0.32，b＝﹣3﹣2，c，d，则（　　）

A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b

【例题29】（2022秋•安徽期中）计算：．

【例题30】（2021秋•朝阳区校级月考）（2mn2）﹣2（m﹣2n﹣1）﹣3（结果化为只含有正指数幂的形式）

【例题31】计算：（x﹣2﹣y﹣2）÷（x﹣1﹣y﹣1）（结果不含负整数指数幂）．

【解题技巧提炼】

零指数幂：a0＝1（a  ≠  0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）   注意：00≠1．

负整数指数幂：任何一个不为零的负n次幂都等于这个数的 n次幂的倒数，即＝（a≠0，n为正整数）

整数指数幂的运算性质：am•an＝am+n（m，n是整数）

（am）n＝ amn （m，n是整数）

（ab）n＝ anbn （n是整数）

●题型八  用科学记数法表示绝对值小于1的数

【例题32】（2021秋•岳池县期末）一款紫外线灯的波长为300nm（1nm＝10﹣9m），300nm用科学记数法可以表示为（　　）

A．3×10﹣6m B．3×10﹣7m C．3×10﹣8m D．3×10﹣9m

【例题33】（2022•敖汉旗一模）2022年1月17日10时35分，我国成功发射了试验十三号卫星，为中国航天取得开门红．其授时精度为世界之最，不超过0.000 000 0099秒．数据“0.000 000 009 9”用科学记数法表示为（　　）

A．99×10﹣10 B．9.9×10﹣10 C．9.9×10﹣9 D．9.9×10﹣8

【例题34】（2022•丽水模拟）某种冠状病毒的直径约为0.00000012米，用科学记数法可将0.00000012表示为（　　）

A．12×10﹣7 B．12×10﹣8 C．1.2×10﹣6 D．1.2×10﹣7

【解题技巧提炼】

科学记数法—表示较小的数:

用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

◆◆◆题型一  分式的相关概念

1．（2022秋•南岗区校级期中）下列四个式子：，x2+x，m，，其中分式的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．（2022秋•栖霞市期中）若式子有意义，则x满足的条件是（　　）

A．x≠3且x≠﹣3且x≠4且x≠﹣5 B．x≠﹣3且x≠﹣5 

C．x≠4且x≠﹣5 D．x≠3且x≠4

3．（2022秋•社旗县期中）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（　　）

A．x+5 B．x2﹣4 C． D．（x+1）3

4．（2021秋•巴林左旗期末）若分式的值是零，则x的值是（　　）

A．x＝﹣2 B．x＝±3 C．x＝2 D．x＝﹣2或±3

5．（2022春•振兴区校级期末）若分式的值为正数，则x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣2 B．x＜1 C．x＞﹣2且x≠1 D．x＞1

◆◆◆题型二  分式的基本性质及应用

6．（2022秋•岳阳楼区月考）根据分式的基本性质，分式可变形为（　　）

A． B． C． D．

7．（2022秋•临武县校级月考）分式，，，中，最简分式有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．（2022春•衡阳期中）分式，，的最简公分母是（　　）

A．x2﹣1 B．x（x2﹣1） C．x2﹣x D．（x+1）（x﹣1）

9．（2022秋•铜仁市校级月考）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．

（1）；      （2）．

10．按要求答题：

（1）约分

（2）通分，．

◆◆◆题型三  分式的乘除运算

11．（2022秋•宁阳县校级月考）计算：

（1）•；              （2）；

（3）•；        （4）•；

（5）•；             （6）．

◆◆◆题型四  分式的乘方及乘除混合运算

12．（2021秋•东平县校级月考）计算：

．        （2）．

．     （4）（）．

◆◆◆题型五  分式的加减法

13．（2022秋•铜仁市校级月考）计算：

（1）；        （2）．

（3）．        （4）．

（5）；        （6）．

◆◆◆题型六  分式的混合运算

14．（2021春•奉化区校级期末）记a※b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，设A为代数式，若A※，则A＝　        　（用含x，y的代数式表示）．

15．（2022•金凤区模拟）化简：（1）．

16．（2022•大连模拟）计算：（m）．

17．（2022秋•云溪区期中）计算（）．

18．（2021秋•息县期末）计算：．

◆◆◆题型七  整数指数幂

19．（2022春•雨城区校级月考）若（a﹣1）0+3（a﹣4）﹣2有意义，则a的取值范围是（　　）

A．a＞4 B．a＜4 C．a≠1且a≠4 D．a≠1或a≠4

20．（2022春•德化县期中）计算：．

21．化简：（m3n）﹣2•（2m﹣2n﹣3）﹣2．

22．计算：（2xy﹣1）2•xy÷（﹣2x﹣2y）

23．计算：5a﹣5b2﹣（2ab﹣1）2．

◆◆◆题型八  用科学记数法表示绝对值小于1的数

24．（2021秋•东湖区校级期末）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102米，数0.000000102用科学记数法表示为（　　）

A．10.2×10﹣8 B．1.02×10﹣5 C．1.2×10﹣6 D．1.02×10﹣7

25．（2021秋•马尾区校级期末）科学家使用某技术测定细菌蛋白结构的分辨率达到0.22纳米，也就是0.00000000022米．用科学记数法表示数据0.00000000022，其结果是（　　）

A．0.22×10﹣9 B．2.2×10﹣10 C．22×10﹣11 D．0.22×10﹣8

26．（2021秋•交口县期末）清代袁枚的诗《苔》中有这样的诗句：“苔花如米小，也学牡丹开”．据了解苔花的花粉直径大约仅有0.00000084米，该数据用科学记数法可表示为 　        　．

1．（2022秋•东平县期中）若分式的值为0，则x＝　    　．

2．（2021秋•林口县期末）用肥皂水吹泡泡，泡沫的厚度约为0.000326毫米，0.000326用科学记数法表示为 　            ．

3．（2022秋•蓬莱区期中）当x＝　       　时，无意义．

4．（2022秋•长清区期中）已知，则的值为（　　）

A． B． C． D．

5．（2022秋•虹口区校级期中）若分式中x和y的值都扩大5倍，那么分式的值（　　）

A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．以上都不对

6．（2022秋•南皮县校级月考）已知x+y＝5，xy＝2，则的值为（　　）

A．2 B． C．3 D．

7．（2022春•南安市期中）已知a2﹣4a+1＝0，则分式的值是（　　）

A．7 B．14 C． D．

8．（2022秋•永年区期中）试卷上一个正确的式子（）÷★，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 　     　．

9．（2022秋•渝中区校级期中）已知，且M、N为常数，则M+N的值为 　  　．

10．式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为ad﹣bc，则二阶行列式　   　．

11．（2022春•江都区校级月考）已知a＞b＞0，a2+b2＝6ab，则的值为（　　）

A． B． C． D．

12．（2021春•高新区期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买800kg，乙每次用去600元，而不管购买多少面粉．设两次购买的面粉单价分别为a元/kg和b元/kg（a，b是正数，且a≠b），那么甲所购面粉的平均单价是 　     元，在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为 　  　．（结果用含a，b的代数式表示，需化为最简形式）

13．当x取何值时，下列分式有意义？

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．

14．（2022秋•东营区校级月考）计算：

（1）；        （2）•（x﹣2）；

（3）；           （4）．

15．计算：

（1）3a﹣2b•2ab﹣2；          （2）4xy2z÷（﹣2x﹣2yz﹣1）

16．（2021•南皮县一模）对于代数式M：（1），（m为整式）．

（1）当m＝a+1时，化简M的结果为 　    　；

（2）若化简M的结果为，则m＝　   　．

17．（2022秋•滦州市期中）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，小明同学的解答过程如下：

①

②

＝2﹣（x+1）③

＝1﹣x④，

（1）请你分析小明的解答从第 　   　步开始出现错误（填序号），错误的原因是 　        　；

（2）请写出正确解答过程，并求出当x＝2时此式的值．

18．（2022秋•西城区校级月考）甲地和乙地都种植相同品种的水稻，甲地的种植面积为（m2﹣1）亩，乙地的种植面积为（m﹣1）2亩（m＞1），最后两块土地收获的水稻重量都是200kg．请问甲地每亩水稻的产量是乙地的多少倍？你能根据计算结果直接写出哪一块土地每亩水稻产量更高吗？

19．观察以下等式：

（﹣1）（﹣1），

（﹣2）（﹣2），

（﹣3）（﹣3），

（﹣4）（﹣4），

（1）依此规律进行下去，第5个等式为　          　，猜想第n个等式为　    •　（n为正整数）；

（2）请利用分式的运算证明你的猜想．

20．老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用“黑板擦”遮住原代数式的一部分，如图：）．

（1）求被“黑板擦”遮住部分的代数式，并将其化简；

（2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由．