江西省抚州市2022-2023学年高一上学期期末学业质量监测数学试题（Word版附解析）

抚州市2022-2023学年度上学期学生学业质量监测高一年级数学试题卷

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，仅有一项符合题目要求.

1. 已知集合，，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用交集的概念求解即可.

【详解】，又，

.

故选：D

2. “”是“”的（    ）．

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先分别解出指数不等式和分式不等式，再利用充分性和必要性的概念得答案.

【详解】，或，

可以推出或，

当或不能推出，

故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

3. 已知是定义域为的偶函数，则（    ）．

A. 0 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据偶函数性质列方程求出，代入计算即可.

【详解】由是定义域为的偶函数得

，解得，

.
故选：B.

4. 在使用二分法计算函数的零点的近似解时，现已知其所在区间为，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（    ）次区间中点的函数值．

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】根据二分法的性质可知，开区间的长度等于1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半，经过次二分法计算后，区间长度变为，根据精确度即可求得关于的不等式，从而得到答案.

【详解】开区间的长度等于1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半，

经过次二分法计算后，区间长度变为，

又使用二分法计算函数的在区间上零点的近似解时，要求近似解的精确度为0.1，

所以，则，又，所以，又，故，

所以接下来至少需要计算你次区间中点的函数值．

故选：C.

5. 函数的图像大致为（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数奇偶性和区间内的值域，用排除法得到图像.

【详解】函数，，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，排除AB选项；

当时，，排除D选项；

故选：C

6. 已知函数，则不等式的解集为（    ）

A.  B. 或 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知得出函数在定义域上单调递减，即可根据单调性解不等式得出答案.

【详解】函数中，

在上单调递减，在上单调递减，且，

则函数在定义域上单调递减，

，

，解得：，

即不等式的解集为.

故选：D.

7. 七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出3个，则这3个三角形的面积之和不大于另外2个三角形面积之和的概率是（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分别计算出五个三角板的面积，且得出总面积为，5个三角形中任取出3个的取法有10种，3个三角形的面积之和不大于另外2个三角形面积之和即是3个三角形的面积之和不大于，由此得出对应取法种数，即可得出答案.

【详解】五个等腰三角形的面积由大到小分别为：1号板，2号板，3号板，4号板，5号板，

5个三角形中任取出3个的取法有种，其中3个三角形的面积之和不大于另外2个三角形面积之和的取法有：145、245、345三种取法，故若该同学从5个三角形中任取出3个，则这3个三角形的面积之和不大于另外2个三角形面积之和的概率是.

故选：C

8. 对于函数和，设，，若存在，，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出的零点，得出的零点的范围，根据二次函数的性质列不等式组得出a的范围．

【详解】，函数定义域为，

任取，有，，，

则，即，所以在上单调递增，

由，∴只有一个零点，

函数与互为“零点相邻函数”，则在上存在零点．

，解得或

（1）当，即 ，存在唯一零点，时， 符合题意；时，不符合题意；

（2）当，即 或 ，，；，；

若在 上只有1个零点，则，

即，解得．

若在 上有两个零点，则 ，解得，

综上，实数a的取值范围是.

故选：B

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解

二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分.

9. 若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（    ）．

A.  B.  C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】由题意得到，成立是真命题，转化为在上恒成立，由基本不等式得到，从而得到，从而求出答案.

【详解】由题意得：，成立是真命题，

故在上恒成立，

由基本不等式得：，当且仅当，

即时，等号成立，

故，

故选：B.

10. 已知一组不全相等的数据的平均数为，若在这组数据中添加一个数据，得到一组新数据，则（    ）

A. 这两组数据的平均数相同 B. 这两组数据的中位数相同

C. 这两组数据的极差相同 D. 这两组数据的标准差相同

【答案】AC

【解析】

【分析】根据平均数的计算即可判断A正确；举例数据判断B；根据极差的计算方法说明判断C; 根据标准差与方差的关系及方差的计算公式判断D.

【详解】对于A选项，，，，

，平均数不变，所以A选项正确；

对于B选项，取一组数据，中位数为7，平均数为，

加上一个，中位数为，所以B选项错误；

对于C选项，数据不全相等时，既不是最大值也不是最小值，极差不变，所以C选项正确；

对于D选项，原来数据的方差，

后来数据的方差，因为方差不相等，所以标准差也不相同，所以D选项错误.

故选：AC.

11. 设，，，以下四个命题中正确的是（    ）．

A. 若为定值，则有最大值

B. 若，则有最大值4

C. 若，则有最小值4

D. 若总成立，则的取值范围为

【答案】CD

【解析】

【分析】对A，利用均值不等式判断；对B，C构造不等式，解不等求得最值，判断是否正确；对D，分离变量，转化为恒成立，再用基本不等式求的最小值，求得的范围，得到是否正确.

【详解】为定值时，应有最小值，∴A不正确；

当时，

，∴B不正确；

，

当且仅当，等号成立，∴C正确；

由，又，

∴，∴，∴D正确．

故选：CD.

【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，构造不等式求最值，属于中档题.

12. 我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，，则有成立.下列判断正确的是（    ）

A. 若为“函数”，则

B. 函数在上是“函数”

C. 函数在上是“函数”

D. 若为“函数”，，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据“函数”的定义，使用赋值法可判断AB；按照“函数”的定义直接判断可知C；利用定义作差，可判断D.

【详解】A选项，由（1）知，由（2）得时，，即，∴，故A正确；

B选项，显然满足（1），若x，，则，，若x，，

设，，则，，与（2）不符，故B不正确；

C选项，，∵，∴，满足（1），，满足（2），故C正确；

D选项，∵，

∴

，

∵，∴，∴，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题：共4小题，每题5分，共20分.

13. 幂函数在区间上单调递增，则实数的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据幂函数的定义与单调性可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值.

【详解】因为幂函数在区间上单调递增，则，解得.

故答案为：.

14. 函数的单调递增区间为______

【答案】

【解析】

【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数单调性分析求解.

【详解】令，解得或，

故函数的定义域为.

∵R上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

∴在上单调递减，在上单调递增，

故函数的单调递增区间为.

故答案为：.

15. 已知，若，则___________.

【答案】8

【解析】

【分析】利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解．

【详解】解：由，且

所以是方程的两根，

解得或，

又，所以，即，又

从而，且，则，．

所以.

故答案为：8.

16. 已知函数，关于x的方程恰有2个不同实数解，则a的值为__________．

【答案】4

【解析】

【分析】由已知可得有两组解，分析函数的性质，作函数的图象，结合图象确定2必须为方程（）的一个解，由此确定的值.

【详解】令，

则方程可化为

因为方程恰有2个不同实数解，

所以有两组解，

因为，

所以函数为偶函数，

当时，；

当时，.

所以当时，，又函数为偶函数，

所以，

作函数的图象如下，

所以当时，没有解，

当时，有两个解，

当时，有四个解，

当时，有没有解，

因为有两组解，

2必须为方程（）的一个解，

所以，故,

当时，由可得

所以或，满足条件；

所以，

故答案为：4.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.

17. 已知集合，或．

（1）当时，求；

（2）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在（2）问中的横线上，并求解，若__________，求实数的取值范围．

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

【答案】（1）   

（2）条件选择见解析，

【解析】

【分析】（1）当时，利用补集和并集可求得集合；

（2）若选①，分、两种情况讨论，根据可得出关于的不等式组，综合可得出实数的取值范围；

若选②，分、两种情况讨论，在时直接验证即可，在时，根据可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围；

若选③，分析可得，同①.

【小问1详解】

解：当时，，或，

所以，，因此，.

【小问2详解】

解：若选①，当时，则时，即当时，成立，

当时，即当时，即当时，

由可得，解得，此时.

综上，；

若选②，当时，则时，即当时，成立，

当时，即当时，即当时，

由可得，解得，此时.

综上，；

若选③，由可得，

当时，则时，即当时，成立，

当时，即当时，即当时，

由可得，解得，此时.

综上，.

18. 已知定义域为R的函数（a为常数）是奇函数．

（1）求实数a的值，并用定义证明的单调性；

（2）求不等式的解集．

【答案】（1）；单调性的证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用奇函数的定义计算可得的值，再任取，通过计算的正负可得单调性；

（2）先利用奇函数将不等式变形为，再利用单调性去掉，然后解二次不等式即可.

【小问1详解】

函数（a为常数）是奇函数，

，

，得，

，

，

任取，

则，

，，即，

，即，

为上的单调递减函数；

【小问2详解】

由（1）得，

，

解得或

即不等式的解集为.

19. 新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权．新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．

（1）求图中a的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数．

（2）据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目．按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据和频率总和为1计算出a的值；频率分布直方图中中位数左右两边的直方图面积相等都为0.5，由此列式即可计算出中位数；

（2）根据频率分布直方图计算出成绩在，的学生频数，根据分层抽样规则计算出对应区间人数，最后列式计算或用列举法即可得出答案.

【小问1详解】

，解得

设中位数为x，因为学生成绩在的频率为，在的频率为

所以中位数满足等式，解得

故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为.

【小问2详解】

成绩在的频数为

成绩在的频数为

按分层抽样的方法选取5人，则成绩在的学生被抽取人，在的学生被抽取人

从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为，故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为.

20. 已知函数．

（1）设，求函数的值域；

（2）函数的图像与函数的图像关于对称，把函数的图像向上平移一个单位长度得到函数的图像，对任意的，恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数解析式，由指数函数的值域求函数的值域；

（2）根据对称和平移，得到函数的解析式，原不等式转化为二次函数在区间内小于等于0恒成立问题，结合二次函数的图像与性质求解.

【小问1详解】

，，

由，， 的值域为.

【小问2详解】

，函数的图像与函数的图像关于对称，则，

函数的图像向上平移一个单位长度得到函数的图像，则，

当，有，则，令，

任意的，恒成立，即任意的，恒成立，

设，则有，解得，实数m的取值范围为.

21. 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕.该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长.对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价P(x)（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（常数.该款冰雪运动装备的日销售量Q(x)（套）与时间x的部分数据如下表所示：

已知第24天该商品的日销售收入为32400元.

（1）求k的值；

（2）给出以下两种函数模型：①；②，请你依据上表中的数据，从以上两种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量Q（x）与时间x的关系，说明你选择的理由.根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（元）在哪一天达到最低.

【答案】（1）；   

（2）②，理由见解析；第3天达到最低.

【解析】

【分析】（1）将代入即可得出答案；

（2）根据表中数据结合三个模型应选模型②，将，代入模型②，求对应模型解析式，检验即可得出结论，再根据结合基本不等式即可得出答案.

【小问1详解】

由题意，得，解得；

【小问2详解】

表格中对应的数据递增速度不符合指数模型，排除模型①．

对于模型②，将，代入②，，解得，

此时，经验证，均满足，故选模型②，

，

当且仅当时等号成立，故日销售收入第3天达到最低．

22. 已知函数

（1）设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；

（2）已知集合

①求集合；

②当时，函数的最小值为，求实数的值．

【答案】（1）   

（2）①；②的值为或5

【解析】

【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；

（2）①由题知解得，再解对数不等式即可得答案；

②由题知，进而结合①还原，转化为求，的最小值问题，再分类讨论求解即可.

【小问1详解】

解：根据题意，当时，，

当时，，则，

因为函数是定义在上的奇函数，

所以，，

所以，

【小问2详解】

解：①，即

所以，

所以，，解得

所以，

②

由①可得

所以，函数等价转化为，，

下面分三种情况讨论求解：

当，即，在上是增函数，所以，，解得，与矛盾，舍；

当，即时，在上是减函数，所以，解得，满足题意；

当，即时，，解得或（舍）

综上：值为或5