专题06 整式（知识大串讲）-2022-2023学年七年级数学上学期期中期末考点大串讲（人教版）

专题06  整式（知识大串讲）

【知识点梳理】

考点1  代数式

1、用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。

2、整式和分式统称为有理式。

3、含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

考点2 单项式

1.单项式定义

（1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。

 说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式.

2、单项式的系数：

 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数.

  说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8；

（2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号

如的系数是；的系数是；

（3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1；

（4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2.

 3、单项式的次数：

 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.

  说明：

（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0；

 （2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次；

（3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数；

  4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。

      例如：可以写成或

 5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数.

考点3 多项式

  1、定义： 几个单项式的和叫多项式.

  2、多项式的项：

     多项式中的每个单项式叫做多项式的项.

  3、多项式的次数：

     多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.

  4、多项式的项数：

     多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数.

  5、常数项：  多项式里，不含字母的项叫做常数项.

考点4 整式

（1）单项式和多项式统称为整式。

（2）单项式或多项式都是整式。

（3）整式不一定是单项式。

（4）整式不一定是多项式。

（5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

【典例分析】

【考点1 列代数式】

【典例1】（2022春•南岗区校级期中）一个三位数，百位上数字是a，十位上数字是b，个位上数字是c，用整式表示这个三位数是（　　）

A．abc B．100c+10b+a C．100a+10b+c D．a+b+c

【答案】C

【解答】解：∵一个三位数，百位上数字是 a，十位上数字是 b，个位上数字是 c，

∴这个三位数是100a+10b+c，

故选：C．

【变式1-1】（2021秋•长沙期末）10月中旬，为了校体育文化节的顺利进行，学校体育组决定将跳远沙坑加长．若原来的沙坑长为a，宽为b，如果长增加x，那么新的沙坑增加的面积为（　　）

A．a（b+x） B．b（a+x） C．ax D．bx

【答案】D

【解答】解：∵长方形的花园长增加x，宽为b，

∴新的花园增加的面积为bx．

故选：D．

【变式1-2】（2022春•上城区期末）原来花100元能购买某种糖果m千克，由于成本上涨，糖果涨价10%，那么涨价后花100元能买到糖果（　　）

A．千克 B．千克 C．千克 D．千克

【答案】A

【解答】解：依题意有：

100÷[×（1+10%）]

＝100÷

＝100×

＝m（千克）．

故选：A．

【变式1-3】（2022•长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（　　）

A．8x元 B．10（100﹣x）元 

C．8（100﹣x）元 D．（100﹣8x）元

【答案】C

【解答】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为：8（100﹣x）元．

故选：C．

【考点2 代数式求值】

【典例2】（2022•北碚区自主招生）已知x﹣y＝1，则代数式3x﹣3y+1的值是（　　）

A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4

【答案】C

【解答】解：∵x﹣y＝1，

∴3x﹣3y+1

＝3（x﹣y）+1

＝3×1+1

＝4．

故选：C．

【变式2-1】（2021秋•东莞市期末）若2x﹣y＝﹣1，则3+4x﹣2y的值是（　　）

A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1

【答案】C

【解答】解：因为3+4x﹣2y

＝3+2（2x﹣y），

当2x﹣y＝﹣1时，

原式＝3+2×（﹣1）＝1．

故选：C．

【变式2-2】（2021秋•淮阳区期末）若3x+2y＝7，则9x+6y﹣6的值为（　　）

A．﹣27 B．15 C．﹣15 D．无法确定

【答案】B

【解答】解：∵9x+6y﹣6＝3（3x+2y）﹣6，

当3x+2y＝7时，原式＝3×7﹣6

＝15．

故选：B．

【典例3】（2022春•江干区校级期中）给出下列程序：，已知当输入x值为1时，输出值为1；输入x值为﹣1时．输出值为﹣3．当输入值为时．输出值为（　　）

A．﹣ B． C．0 D．1

【答案】A

【解答】解：根据题意可得，

13×k+b＝1，（﹣1）3×k+b＝﹣3，

解得：k＝2，b＝﹣1，

当x＝时，

（）3×2+（﹣1）＝﹣．

故选：A．

【变式3-1】（2022春•重庆月考）按如图所示的运算程序，能使输出结果为19的是（　　）

A．a＝4，b＝3 B．a＝2，b＝4 C．a＝3，b＝4 D．a＝1，b＝4

【答案】A

【解答】解：A选项，当a＝4，b＝3时，y＝2b2+1＝2×32+1＝2×9+1＝19，故该选项符合题意；

B选项，当a＝2，b＝4时，y＝3a+2＝3×2+2＝8，故该选项不符合题意；

C选项，当a＝3，b＝4时，y＝3a+2＝3×3+2＝11，故该选项不符合题意；

D选项，当a＝1，b＝4时，y＝3a+2＝3×1+2＝5，故该选项不符合题意；

故选：A

【考点3 单项式的概念】

【典例4】（2022春•香坊区期末）式子a+2，，2x，，中，单项式有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【解答】解：根据定义可知，式子a+2，，2x，，中，单项式是，2x两个．

故选：B．

【变式4-1】（2022•浦东新区二模）下列代数式中，不是单项式的是（　　）

A．a2 B．2a C． D．a+2

【答案】D

【解答】解：a2表示a与a的乘积，a2是单项式，不选A．

2a表示2与a的乘积，2a是单项式，不选B．

表示与a的乘积，是单项式，不选C．

a+2表示a与2的和，a+2不是单项式，它是单项式a与单项式2的和，所以a+2是多项式．不是单项式的是D．

故选：D．

【变式4-2】（2020秋•巴南区期末）下列式子中，单项式是（　　）

A．3a+1 B． C．3a D．x＝1

【答案】C

【解答】解：A、3a+1是多项式，故此选项不合题意；

B、是分式，故此选项不合题意；

C、3a是单项式，符合题意；

D、x＝1是方程，故此选项不合题意．

故选：C．

【考点4 单项式的次数、项】

【典例5】（2022•富川县三模）单项式﹣2x2yz3的系数、次数分别是（　　）

A．2，5 B．﹣2，5 C．2，6 D．﹣2，6

【答案】D

【解答】解：单项式﹣2x2yz3的系数是﹣2，次数是2+1+3＝6，

故选：D．

【变式5-1】（2021秋•商河县期末）单项式﹣2ab2的系数及次数分别是（　　）

A．0，2 B．﹣2，3 C．2，3 D．﹣2，2

【答案】B

【解答】解：单项式﹣2ab2的系数和次数分别是：﹣2，3．

故选：B．

【变式5-2】（2021秋•广丰区期末）关于单项式x的系数和次数说法正确的是（　　）

A．系数为0，次数是0 B．系数为1，次数是0 

C．系数为1，次数是1 D．系数为0，次数是1

【答案】C

【解答】解：单项式x的系数是：1，次数是：1，

故选：C．

【变式5-3】（2021秋•昆明期末）单项式的系数和次数分别是（　　）

A．和2 B．和3 C．和2 D．和4

【答案】B

【解答】解：单项式的系数是，次数是3，

故选：B．

【考点5 单项式中指数的字母求值】

【典例6】（2021秋•滑县期末）已知﹣4x2yzm是关于x，y，z的5次单项式，m是常数，则m的值是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解答】解：∵﹣4x2yzm是关于x，y，z的5次单项式，m是常数，

∴2+1+m＝5，

解得：m＝2，

故选：B．

【变式6-1】（2021秋•浉河区期末）若单项式2xy3﹣b是三次单项式，则（　　）

A．b＝0 B．b＝1 C．b＝2 D．b＝3

【答案】B

【解答】解：因为单项式2xy3﹣b是三次单项式，

所以3﹣b＝2，

所以b＝1．

故选：B．

【变式6-2】（2021秋•禹州市期末）若单项式的系数是m，次数是n，则m+n＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解答】解：由题意得：m＝﹣，n＝4．

∴m+n＝﹣+4＝．

故选：C．

【考点6 多项式的概念】

【典例7】（2022•闵行区校级开学）下列各式中，﹣xyz+1，r2，π﹣1，﹣1，是多项式的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【解答】解：下列各式中，﹣xyz+1，r2，π﹣1，﹣1，

是多项式的有：﹣xyz+1，π﹣1，

所以，共有1个，

故选：B．

【考点7 多项式的次数、项数】

【典例8】（2022•南京模拟）多项式的次数和项数分别为（　　）

A．7，2 B．8，3 C．8，2 D．7，3

【答案】B

【解答】解：多项式共有3项，分别是：，其次数为6+2＝8，﹣2x3y4，其次数为3+4＝7，3，其次数为0，

∴多项式的次数为8；

故选：B．

【变式8-1】（2021秋•建昌县期末）多项式a3b4﹣2a2b4+3的项数和次数分别是（　　）

A．2，6 B．3，6 C．2，7 D．3，7

【答案】D

【解答】解：∵多项式a3b4﹣2a2b4+3共有3项，次数最高的项是：a3b4，其次数为：3+4＝7，

∴该多项式的次数为7．

故选：D．

【变式8-2】（2021秋•万州区期末）多项式x2y﹣xy+2是（　　）

A．二次二项式 B．二次三项式 C．三次二项式 D．三次三项式

【答案】D

【解答】解：多项式x2y﹣xy+2是三次三项式，

故选：D．

【典例9】（2021秋•沙坪坝区期末）把多项式3ab3﹣2a2b2+1﹣4a3b按a的降幂排列，正确的是（　　）

A．﹣4a3b+3ab3﹣2a2b2+1 B．﹣4a3b﹣2a2b2+3ab3+1 

C．3ab3﹣2a2b2﹣4a3b+1 D．1+3ab3﹣2a2b2﹣4a3b

【答案】B

【解答】解：将多项式3ab3﹣2a2b2+1﹣4a3b按字母a的降幂排列为﹣4a3b﹣2a2b2+3ab3+1，

故选：B．

【变式9】（2021秋•南关区校级期末）将多项式﹣9+x3+3xy2﹣x2y按x的降幂排列的结果为（　　）

A．x3+x2y﹣3xy2﹣9 B．﹣9+3xy2﹣x2y+x3 

C．﹣9﹣3xy2+x2y+x3 D．x3﹣x2y+3xy2﹣9

【答案】D

【解答】解：﹣9+x3+3xy2﹣x2y按x的降幂排列为：x3﹣x2y+3xy2﹣9，

故选：D．

【考点8 多项式中指数的字母求值】

【典例10】（2021秋•淇县期末）多项式+（m﹣4）x+7是关于x的四次三项式，则m的值是（　　）

A．4 B．﹣2 C．﹣4 D．4或﹣4

【答案】C

【解答】解：∵多项式x|m|﹣（m﹣4）x+7是关于x的四次三项式，

∴|m|＝4，m﹣4≠0，

∴m＝﹣4．

故选：C．

【变式10-1】（2021秋•淮南月考）多项式3x|m|y2+（m+2）x﹣1是四次二项式，则m的值为（　　）

A．2 B．﹣2 C．±2 D．±1

【答案】B

【解答】解：∵多项式3x|m|y2+（m+2）x﹣1是四次二项式，

∴m+2＝0，

解得：m＝﹣2，

此时|m|+2＝4符合题意．

故选：B．

【变式10-2】（2021秋•江阴市期中）如果（k﹣2）x3+（|k|﹣2）x2﹣6是关于字母x的三次二项式，则k的值为（　　）

A．±2 B．﹣2 C．2 D．0

【答案】B

【解答】解：由题意得：k﹣2≠0且|k|﹣2＝0．

∴k≠2且k＝±2．

∴k＝﹣2．

故选：B．