广东省梅州市蕉岭县徐溪初级中学2022-2023学年下学期八年级期中数学试卷

这是一份广东省梅州市蕉岭县徐溪初级中学2022-2023学年下学期八年级期中数学试卷，共15页。
徐溪初级中学2022-2023学年八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（　　）
A．a﹣b＜0 B．2a﹣1＜2b﹣1 C．ac2＞bc2 D．
2．（3分）我国将在2060年实现碳中和，新能源、绿色能源将成为产业发展的新趋势，下列新能源环保图标中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（　　）
A．（0，5） B．（5，1） C．（2，4） D．（4，2）
4．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x+2＝x（1+） D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
5．（3分）不等式4x+12＞0的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC＝3，则DE的长为（　　）

A．2 B． C．3 D．
7．（3分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．2 B． C．4 D．6
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，BC＝6，AB＝10．分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，连接直线EF，分别交BC、AB于点M、N，连接CN，则△CMN的面积为（　　）

A．12 B．6 C．7.5 D．15
9．（3分）在平面直角坐标系内，P（2x﹣6，x﹣5）在第四象限，则x的取值范围为（　　）
A．3＜x＜5 B．﹣3＜x＜5 C．﹣5＜x＜3 D．﹣5＜x＜﹣3
10．（3分）△ABC的三边AB、BC、CA长分别是15、20、25，其三条角平分线相交于O点，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）

A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）的平方根为 　 　．
12．（4分）等腰三角形的一个内角为40°，则顶角的度数为　 　．
13．（4分）已知关于x的不等式x≥a﹣1的解集如图所示，则a的值为　 　．

14．（4分）已知等腰三角形的两条边长分别是8和3，则此等腰三角形的周长是 　 　．
15．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝2，则AB＝　 　．

16．（4分）关于x，y的方程组的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为 　 　．
17．（4分）如图，在ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝120°，点E是AB边上一个动点（不与端点重合），ED⊥AC交AC于点D，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为F，当△BCF为等腰三角形时，则AE的长为　 　．

三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）计算：（a+1）2+（a﹣1）（a﹣2）．
19．（6分）解方程：
20．（6分）如图，F，C是AD上的两点，且AB＝DE，AB∥DE，AF＝CD．求证：BC∥EF．

21．（8分）在△ABC中，AB＝AC．
（1）尺规作图：求作AC的垂直平分线DE，分别交BC，AC于点D，E；
（2）在（1）的条件下，连接AD，若AB＝BD，求∠B的度数．

22．（8分）如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若BC＝3，CD＝5，求AG的长．

23．（8分）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力．某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖，在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的件数与用240元购买B种奖品的件数相同．
（1）求A，B两种奖品的单价各是多少元；
（2）学校为获奖的15名学生购买奖品（每人一件A种奖品或一件B种奖品），且购买的总费用不超过700元，求最多可以购买多少件A种奖品？
24．（10分）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，AD∥BC∥x轴，AD与y轴交于点E，OE＝1，且AE，DE的长满足|＝0．
（1）求点A的坐标；
（2）若P（﹣4，﹣1），求△EPC的面积；
（3）在（2）的条件下，正方形ABCD的边上是否存在点M，使S△EPC＝2S△CEM？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（10分）如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0．
（1）如图1，求△AOB的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴Q，点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A、∵a＞b∴a﹣b＞0，故A不合题意；
B、∵a＞b∴2a＞2b∴2a﹣1＞2b﹣1，故B不合题意；
C、当c2＝0时，ac2＝bc2，故C不合题意；
D、a＞b，则，故D符合题意；
故选：D．
2． 解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
3． 解：将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（5，1）．
故选：B．
4． 解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
5． 解：不等式4x+12＞0，
移项得：4x＞﹣12，
解得：x＞﹣3，

故选：C．
6． 解：∵点D、E分别是△ABC的边BA、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝1.5．
故选：D．
7． 解：由题意可得，
大正方形的边长为＝2，小正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为：×（2﹣）＝2，
故选：A．
8． 解：由作法得MN垂直平分BC，
∴NB＝NC，CM＝BM＝BC＝3，MN⊥BC，
∴∠B＝∠NCB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，∠NCB+∠NCA＝90°，
∴∠A＝∠NCA，
∴NC＝NA，
∴NC＝AB＝5，
在Rt△CMN中，MN＝＝＝4，
∴△CMN的面积＝CM•MN＝×3×4＝6．
故选：B．
9． 解：∵点P（2x﹣6，x﹣5）在第四象限，
∴，
解得：3＜x＜5．
故选：A．
10． 解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，

∵三条角平分线相交于O点，
∴OE＝OF＝OD，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别是15、20、25，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝3：4：5，
故选：D．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11． 解：∵＝9
∴的平方根为±3．
故答案为：±3．
12． 解：当这个角是顶角时，则顶角的度数为40°，当这个角是底角时，则顶角的度数180°﹣40°×2＝100°，
故其顶角的度数为100°或40°．
故填100°或40°．
13． 解：∵数轴上表示的不等式组的解集为x≥﹣1，
∴a﹣1＝﹣1，解得a＝0．
故答案为：0．
14． 解：当8为腰时，三边为：8，8，3，
则周长为8+8+3＝19，
当3为腰时，三边为：8，3，3，
根据三角形三边关系：3+3＜8，
故不能构成三角形．
故答案为：19．
15． 解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∠B＝60°，
∵CD是高，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，
∴BC＝2BD，
∵BD＝2，
∴BC＝4，
∴AB＝8．
故答案为：8．
16． 解：，
①﹣②，得x+y＝k﹣3，
根据题意得：k﹣3≥5，
解得k≥8．
所以k的取值范围是k≥8．
故答案为：k≥8．
17． 解：如图1，当BF＝CF时，

过点F作FM⊥AB于点M，
∵AB＝BC＝3，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∵CF＝BF，
∴∠CFB＝∠CBF＝75°，
∴∠EBF＝120°﹣75°＝45°，
设AE＝x，
∵将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为F，
∴AE＝EF＝x，∠A＝∠EFA＝30°，
∴∠BEF＝∠A+∠EFA＝60°，
∴EM＝，MF＝BM＝，
∴x+＝3，
解得x＝3﹣．
∴AE＝3﹣．
如图2，当BF＝CF时，

∴∠C＝∠FBC＝30°，
∴∠ABF＝90°，
∴BF＝3×＝，
同理可知∠BEF＝2∠A＝60°，
∴EF＝AE＝＝2．
∴AE的长为2或3﹣．
故答案为：2或3﹣．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18． 解：原式＝a2+2a+1+（a2﹣2a﹣a+2）
＝a2+2a+1+a2﹣3a+2
＝2a2﹣a+3．
19． 解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得
2（x+1）＝3（x﹣1）
解得x＝5．
检验：当x＝5时，（x+1）（x﹣1）≠0．
∴x＝5是原方程的解．
20． 证明：∵AF＝CD，
∴AF+CF＝CD+CF，
即AC＝DF，
∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF．
21． 解：（1）如图，DE即为所作；

（2）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
又∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠CAD，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵∠BDA＝∠C+∠CAD＝2∠C＝2∠B，
∴∠BAD＝2∠B，
∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，
∴∠B+2∠B+2∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
22． （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CF∥ED，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵DC＝DE．
∴四边形CDEF是菱形；
（2）解：如图，连接GF，

∵四边形CDEF是菱形，
∴CF＝CD＝5，
∵BC＝3，
∴BF＝＝＝4，
∴AF＝AB﹣BF＝5﹣4＝1，
在△CDG和△CFG中，
，
∴△CDG≌△CFG（SAS），
∴FG＝GD，
∴FG＝GD＝AD﹣AG＝3﹣AG，
在Rt△FGA中，根据勾股定理，得
FG2＝AF2+AG2，
∴（3﹣AG）2＝12+AG2，
解得AG＝．
23． 解：（1）设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，
依题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40+10＝50．
答：A种奖品的单价为50元，B种奖品的单价为40元．
（2）设购买m件A种奖品，则购买（15﹣m）件B种奖品，
依题意得：50m+40（15﹣m）≤700，
解得：m≤10．
答：最多可以购买10件A种奖品．
24． 解：（1）∵|＝0．
∴AE＝3，DE＝1，
∵OE＝1，
∴点A（﹣3，1）；
（2）如图，过点P作PH⊥AD，交DA的延长线于H，

∵P（﹣4，﹣1），点A（﹣3，1），
∴PH＝2，HE＝4，
∵AE＝3，DE＝1，
∴DH＝5，AD＝CD＝4，点C（1，﹣3），
∴S△EPC＝S梯形PCDH﹣S△PHE﹣S△DEC＝﹣×2×4﹣×1×4＝9；
（3）∵S△EPC＝2S△CEM，
∴S△CEM＝4.5，
∵S△AEC＝×3×4＞4.5，S△DEC＝×1×4＝2＜4.5，
∴点M不在AB和CD上，
当点M在AE上时，∵S△CEM＝×EM×4＝4.5，
∴EM＝，
∴点M的坐标为（﹣，1），
当点M在BC上时，∵S△CEM＝×CM×4＝4.5，
∴CM＝，
∵点C（1，﹣3），
∴点M的坐标为（﹣，﹣3），
综上所述：点M的坐标为（﹣，1）或（﹣，﹣3）．
25． （1）解：∵（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0，
∴a﹣2＝0，2b﹣4＝0，
∴a＝2，b＝2，
∴A（2，0）、B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴△AOB的面积＝＝2；

（2）证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF，
∵∠OAC＝∠OBF＝∠OBA＝45°，∠DBA＝90°，
∴∠DBF＝180°，
∵∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝45°，
∴∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，
在△ODF与△ODC中，，
∴：△ODF≌△ODC，∴DC＝DF，DF＝BD+BF，故CD＝BD+AC．

（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD，
∵∠BAO＝∠PDF＝45°，
∴∠PAB＝∠PDE＝135°，
∴∠BPA+∠EPF＝90°，∠EPF+∠PED＝90°，
∴∠BPA＝∠PED，
在△PBA与△EPD中，
，
∴△PBA≌EPD（AAS），
∴AP＝ED，
∴FD+ED＝PF+AP，
即：FE＝FA，
∴∠FEA＝∠FAE＝45°，
∴∠QAO＝∠EAF＝∠OQA＝45°，
∴OA＝OQ＝2，
∴BQ＝4．