江西省重点中学盟校2023届高三数学（文）下学期第一次联考试题（Word版附解析）

江西省重点中学盟校2023届高三第一次联考数学（文）试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合， 则选项正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，可知集合是集合的子集且包含元素3，若，则可得正确选项.

【详解】根据可得是集合的子集，且；

当时，满足题意．

若，则，故A错误；

若，则，所以，故B正确；

若，则，故C错误；

若，则，故D错误.

故选：B.

2. 已知，均为实数，复数，，，则（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的四则运算直接计算.

【详解】由，

得，

所以，，，

故选：C.

3. 已知，则是的（    ）

A. 充要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用二倍角公式结合同角三角函数解析式化简求值，进而判断其充分性与必要性.

【详解】当时，，

解得，

又，所以，

即是的充分条件；

当时，，

故是的必要条件，

综上所述，是的充要条件，

故选：A.

4. 据央视新闻报道，据国家电影局初步统计，2023年春节档（1月21日至1月27日）电影票房为67.58亿元，同比增长11.89%.春节档观影人次为1.29亿，同比增长13.16%；国产影片票房占比为99.22%.

2023年春节档共12部电影上映，其中主打的6部国产影片累计票房如下：

据上述信息，关于2023年春节档电影票房描述不正确的是（   ）

A. 主打的6部国产影片总票房约占2023春节档电影票房的.

B. 2023年春节档非国产电影票房约0.98亿元.

C. 主打的6部国产影片票房的中位数为6.205亿元.

D. 电影《交换人生》的票房约为主打的6部国产影片外的其他春节档电影票房总的3倍.

【答案】B

【解析】

【分析】根据图中数据逐项计算分析即可求解.

【详解】对于A，由图可知：主打的6部国产影片总票房为亿元，2023春节档电影票房67.58亿元，占比约为，正确

对于B，因为2023年春节档国产影片票房占比为99.22%，所以非国产电影票房占比为，其票房为亿元，不正确；

对于C，由图可知：主打的6部国产影片票房的中位数为亿元，正确；

对于D，由图可知：电影《交换人生》的票房为亿元，而主打的6部国产影片外的其他春节档电影总票房为亿元，所以电影《交换人生》的票房约为主打的6部国产影片外的其他春节档电影票房总的3倍.

故选：B.

5. 已知向量，，则向量在上的投影等于（  ）

A.  B.  C.  D. 7

【答案】A

【解析】

【分析】先求，再根据投影的定义即可求解.

【详解】

又

所以向量在上的投影.

故选：A

6. 设函数的定义域为，则函数与函数的图象关于（　  ）

A. 直线对称 B. 直线对称

C. 直线对称 D. 直线对称

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数图象的平移关系，结合与的对称性，即可求解.

【详解】函数是由向右平移一个单位得到，

函数是由向右平移一个单位得到，

又函数与关于轴对称，

所以函数与关于直线对称，

又是由向右平移个单位，

所以函数与函数关于直线对称，

故选：B.

7. 设函数在的图像大致如下图，则f()=（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设的最小正周期为，则由图可得，结合，可得范围，后由，可确定，即可得答案.

【详解】设的最小正周期为，由图可得，

又，则.又由图可得，

则，故，得.

故，则f()=.

故选：D

8. 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，且成首项为0.114的等差数列，若直线的斜率为0.414，则该数列公差等于（  ）

A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意将题目转化为等差数列，按照等差数列性质计算即可.

【详解】不妨设则

由题意知即

设数列公差为，

，

解得.

故选：B.

【点睛】将题目数学信息提取，转化为等差数列是本题的难点和突破点.

9. 已知函数为奇函数，则在处的切线方程为（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性确定的解析式，再利用导数的几何意义求得切线方程.

【详解】函数为奇函数，

当时，，所以，

，

即，

则，，，

所以切线斜率，

切线方程为，

即，

故选：C.

10. 已知球是正三棱锥的外接球，D是的中点，且，侧棱，则球O的表面积为（    ）

A. 12 B. 8 C. 32 D. 48

【答案】D

【解析】

【分析】由题意作图，补形，根据正方体外接球直径的求解公式，可得答案.

【详解】由题意，作图如下：

正三棱锥为棱长为的正方体的一个角，显然平面，

平面，，符合题意，

显然正三棱锥的外接球就是图中正方体的外接球，

该外接球的半径为，

外接球的表面积为.

故选：D.

11. 已知抛物线的焦点F与双曲线=1的右焦点重合，该抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为（    ）

A.  B. 2 C.  D. 5

【答案】D

【解析】

【分析】先利用双曲线的性质求得，再根据抛物线的定义，运用坐标表示关系式，然后借助于方程来求解点A的坐标.

【详解】因为抛物线的焦点F与双曲的右焦点重合，

而双曲线中，，,,可知右焦点，

所以，即抛物线的方程为.

则抛物线的准线,故点K.

设点,满足，由，可知

，解得，

故点A的横坐标为5.

故选：D

12. 已知函数，其导函数的两根为，，若不等式的解集为，且，则极大值为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据的解集情况可设，再根据极值点情况求得的值，进而确定函数解析式，求得其极大值.

【详解】由已知为三次函数，且时的解集为，

得，

则，

又的两根为，，所以，

解得，

所以，，

令，则，，

所以

所以函数在处取极大值为，

故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若实数，满足约束条件则的最小值为 _______.

【答案】##3.5

【解析】

【分析】作出可行域，采用平移直线的方法即可求出z的最小值.

【详解】

如图阴影部分为不等式确定的可行域，，

由,得，所以

则当直线过时，.

故答案为：.

14. 已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，请写出一个符合上述条件的椭圆的标准方程__________.

【答案】

【解析】

【分析】设出椭圆方程，由离心率求出，和之间的关系，设出的值，即可得出一个符合上述条件的椭圆的标准方程.

【详解】由题意，

在椭圆中，椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，

设，

∵离心率为，

∴，即，

∵，

∴，

当时，，

此时，.

故答案为：.

15. 记数列的前项和为，则________.

【答案】##

【解析】

【分析】由式子可知，可知的最小正周期，验证对，都有的值为一个定值，求出，又由即可求解.

【详解】设，可知的最小正周期，

令（，），则

当时，则；

当时，则；

当时，则；

对于，都有.

所以

又

所以

故答案为：

【点睛】关键点点睛：

本题观察数列通项公式中猜想数列的周期，并验证周期的数值.

16. 在正四棱柱中，，E 为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为_____.

【答案】##

【解析】

【分析】过做与直线垂直的平面，则点的轨迹的长即为平面与正四棱柱的交线长.

详解】如图，连接，，由题可知，，平面.

因平面，则.

又平面，平，，则平面.又平面，则；

如图，过E做平行线，交于F，则F为中点.连接，

过做垂线，交于G.

由题可得，平面，又，则平面.

因平面，则.

又平面，平面，，则平面.

因平面，则；

因平面，平面，，则平面.

连接，则点P轨迹为平面与四棱柱的交线，即.

注意到，

，则，故.

则点的轨迹的长为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题为立体几何中的轨迹问题，难度较大.

本题关键为做出轨迹，即过定点做空间直线的垂面，因直接做出平面难度较大，故转化为做空间直线所在平面的垂线.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：60分.

17. 为了提高学习数学的兴趣，形成良好的数学学习氛围，某校将举行“‘象山杯’数学解题能力比赛”，每班派人参加，某班级老师已经确定参赛名额，第个参赛名额在甲，乙同学间产生，为了比较甲，乙两人解答某种题型的能力，现随机抽取这两个同学各次之前该题型的解答结果如下：，，，，，，，，，，其中，分别表示甲正确和错误；，分别表示乙正确和错误．

（1）若解答正确给该同学分，否则记分．试计算甲、乙两人之前的成绩的平均数和方差，并根据结果推荐谁参加比赛更合适；

（2）若再安排甲、乙两人解答一次该题型试题，试估计恰有一人解答正确的概率.

【答案】（1）甲的平均数为，方差为，乙的平均数为，方差为，推荐乙参加比赛更合适   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据平均数与方差的公式分别计算甲、乙两人的平均数与方程，进而推荐人选；

（2）利用古典概型的概率公式估计恰有一人正确的概率.

【小问1详解】

由已知得甲的平均数，方差；

乙的平均数，方差，

因为，且，

所以推荐乙参加比赛更合适；

【小问2详解】

由已知的个结果中，恰有一人解答正确的结果是，，，共个，

所以恰有一人正确的概率为.

18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．

（1）求角A；

（2）若的面积为，D为BC边上一点，且BD=2CD，求AD的最小值．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理，结合三角恒等变换可得到，从而可得出答案；

（2）由已知结合三角形的面积公式可求得，根据向量的线性表示及向量的数量积的性质和基本不等式即可求解．

【小问1详解】

由正弦定理得，

又，则，

化简得，

又，则，

所以，所以；

【小问2详解】

由（1）得，则，得，

又BD=2CD，则，

所以，

当且仅当，即，时等号成立，

所以的最小值为．

19. 如图：在四棱锥中，底面为平行四边形，为线段上一点，且，平面与侧棱交于点.

（1）求；

（2）平面将四棱锥分成了上下两部分，求四棱锥和多面体的体积之比.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据线面平行的判定定理和性质定理，结合平行线的性质进行求解即可；

（2）根据棱锥的体积公式，结合棱锥的性质进行求解即可.

【小问1详解】

因为为平行四边形，所以，

因为平面，平面，

所以平面，因为平面与侧棱交于点，

所以平面平面，而平面，

于是有，

所以；

【小问2详解】

设四棱锥的体积为，

由（1）可知： ，所以到平面距离与到平面的距离满足：，因此，

因为，所以，即，

，

因为，所以，

由，

所以，

所以.

20. 设函数．

（1）当时，求函数在定义域内的最小值；

（2）若求实数的取值范围．

【答案】（1）1    （2）

【解析】

【分析】(1)对求导判断其单调性，从而可求得最小值；

(2)令，则问题转化为当恒成立求实数的取值范围.对求导，分类讨论判断可知当时有最小值从而可求；当时没办法确定最小值，可通过确定来判断不成立.

【小问1详解】

当时，，其定义域为，

则.

令.

当时，；当时，

所以在上单调递减，在上单调递增.

故函数在定义域内的最小值为.

【小问2详解】

令，

即恒成立.

①当时，令.

当时，，单调递减；当时，单调递增.

所以，原不等式成立.

②当时，时，单调递增.

所以当时，，所以不成立.

③当时，时，单调递减.

所以当时，，所以不成立

④当时，令又，

，

所以不成立.

综上所述，实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：

第二问可以转化为恒成立.从而确定的最小值.当时没办法确定最小值，可通过确定来判断不成立.

21. 已知圆过点，，.

（1）求圆标准方程；

（2）若过点且与轴平行的直线与圆交于点，，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，（与不重合），证明：直线过定点.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法求得圆一般方程，再将其转化为标准方程；

（2）求出点，的坐标，设，根据，得出，的坐标，当直线斜率存在时，设直线方程为，与圆方差联立方程组，利用根与系数关系化简得出与的关系，进而得出直线恒过的定点坐标，再验证斜率不存在时仍成立.

【小问1详解】

设圆的一般方程为，

又圆过点，，，

则，

解得，

所以圆的一般方程为，

即其标准方程为；

【小问2详解】

由题意得，所以直线，点，点，

设点，，，

所以，，

所以，

又，，

，

又，在圆上，

所以，，

，

即，

所以，

整理得：，

当直线斜率存在时，设直线的方程为，

代入，

得，

则，，

所以，

即，

即，

得或，

当时，直线的方程为，过点，

当时，直线的方程为，过点，在直线上，不成立，

当直线斜率不存在时，，即，解得或（舍），所以直线过成立，

综上所述，直线恒过点.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

[选修4－4：坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

（1）求曲线和曲线的直角坐标方程;

（2）若曲线和曲线交于、两点，且点，求的值.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用消参法可得的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的转化公式可得的直角坐标方程；

（2）利用直线参数方程的几何意义直接计算.

【小问1详解】

由的参数方程为（为参数），

消参可得，即；

又的极坐标方程为，即，，

所以，

即

【小问2详解】

由（1）的，即

将的参数方程转化为标准参数方程（为参数）

代入得，即，

，，

又由的参数方程可知过点，

所以.

[选修4－5：不等式选讲]

23. 已知函数

（1）若，解不等式;

（2）若，且的最小值为求证.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）对绝对值函数进行分段讨论，解不等式即可；

（2）利用三角不等式求得的最小值，得到，再利用基本不等式证明即可．

【小问1详解】

当时，函数

①当时，由，即，解得，所以，

②当时，由，即，解得，所以；

③当时，由，即，解得，所以.

综上，不等式的解集为.

【小问2详解】

因为，

当，即时，取到最小值，

所以，即.

所以，当且仅当时等号成立.

即成立.