数学七年级上册1.2.4 绝对值习题

这是一份数学七年级上册1.2.4 绝对值习题，共31页。
已知，，且，求的值．
【解答】解：，，
或10，或4，
，
，或4，
当，时，，
当，时，．
综上所述，的值为0或．
阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，
所以当时，；当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面问题：
（1）已知，是有理数，当时， 或0 ；
（2）已知，，是有理数，当时， ；
（3）已知，，是有理数，，，则 ．
【解答】解：（1）已知，是有理数，当时，
①，，；
②，，；
③、异号，．
故或0；
（2）已知，，是有理数，当时，
①，，，；
②，，，；
③、、两负一正，；
④、、两正一负，．
故或；
（3）已知，，是有理数，，，
则，，，、、两正一负，
则．
故答案为：或0；或；．
同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示5与两点之间的距离是 7 ，
（2）数轴上表示与2的两点之间的距离可以表示为 ．
（3）如果，则 ．
（4）同理表示数轴上有理数所对应的点到和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ．
（5）由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
【解答】解：（1）数轴上表示5与两点之间的距离是，故答案为：7；
（2）数轴上表示与2的两点之间的距离可以表示为，故答案为：；
（3），
或，
解得：或，
故答案为：7或；
（4）表示数轴上有理数所对应的点到和1所对应的点的距离之和，，
这样的整数有、、、0、1，
故答案为：、、、0、1；
（5）根据绝对值的几何意义可知当时，有最小值是3．
【题组训练】
1．若，那么的值是多少？
【解答】解：由题意得，，，
解得，，
所以，，
答：的值是2．
2．已知：，，且，求的值．
【解答】解：，，
，，
，或，
，
当，时，；
当，时，．
故的值为4或14．
3．若， 1 ；若， ；
①若，则 ；
②若，则 ．
【解答】解：，
，
；
，
，
，
故答案为：1，；
①，
，
，
，
故答案为：1；
②，
、、中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况，
当、、中有一个负数、两个正数时，
，
当、、中有三个负数时，
，
故答案为：1或．
4．若，且，求的值．
【解答】解：，
，，
解得：，，
，
，
原式
．
5．已知与互为相反数，求的值．
【解答】解：根据题意得，
，，
，，
，，
原式
．
6．已知与互为相反数，求式子的值．
【解答】解：与互为相反数，
，
又，，
，，
解得：，，
．
7．已知与互为相反数，求的值．
【解答】解：与互为相反数，、
，
又，，
，，
解得，，
．
8．若．
计算：（1），，的值．
（2）求的值．
【解答】解：（1）由题意，得，
解得．
即，，；
（2）当，，时，
，
即的值是0．
9．计算：已知，，且，求的值．
【解答】解：，，且，
，，
．
10．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的（探究）．
（提出问题）两个有理数、满足、同号，求的值．
解：①若、都是正数，即，，，，则；
②若、都是负数，即，，有，，则，
所以的值为2或．
（探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）两个有理数、满足、异号，求的值；
（2）已知，，，且，求的值．
【解答】解：（1）由、异号，可知：①，；②，，
当，时，；
当，时，．
综上，的值为0；
（2）、、，
，，．
，
，，或，，．
当，，时，
；
当，，时，
综上，的值为或．
11．同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：
（1）求 7 ．
（2）找出所有符合条件的整数，使得成立的整数是 ．
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【解答】解：（1）原式
故答案为：7；
（2）令或时，则或
当时，
，
，
（范围内不成立）
当时，
，
，
，
，，，，0，1
当时，
，
，
，
，
（范围内不成立）
综上所述，符合条件的整数有：，，，，，0，1，2；
故答案为：，，，，，0，1，2；
（3）由（2）的探索猜想，对于任何有理数，有最小值为3．
12．已知，，且，求的值．
【解答】解：因为，，
所以或，或．
又因为，
所以或，
①当，时，
．
②当，时，
．
综上所述：的值为或1．
13．已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【解答】解：由题意知：，，
（1），
，
或 4
（2），
，或，，
，
14．阅读下列材料完成相关问题：已知，、是有理数
（1）当，时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）当，，的值．
【解答】解：（1），，
，
；
（2）当、、同正时，；
当、、两正一负时，；
当、、一正两负时，；
当、、同负时，；
（3），
，，
又，
当，，时，原式
；
当，，时，原式
；
当，，时，原式
．
15．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 3 ；表示和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么 ．
（2）若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为 ；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是 ．
（4）当 时，的值最小，最小值是 ．
【解答】解：（1），
，
，
所以，或，
解得或；
（2）表示数的点位于与2之间，
，，
；
（3）使得的整数点有，，0，1，2，3，4，5，
．
故这些点表示的数的和是12；
（4）有最小值，最小值．
故答案为：3，5，或2；6；12；1；7．
16．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 3 ；表示和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．
（2）如果，那么 ；
（3）若，，且数、在数轴上表示的数分别是点、点，则、两点间的最大距离是 ，最小距离是 ．
（4）若数轴上表示数的点位于与2之间，则 ．
【解答】解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：；表示和2两点之间的距离是：，故答案为：3，5；
（2），
或，
或．
故答案为：2或；
（3），，
或1，或，
当，时，则、两点间的最大距离是8，
当，时，则、两点间的最小距离是2，
则、两点间的最大距离是8，最小距离是2；
故答案为：8，2；
（4）若数轴上表示数的点位于与2之间，
．
故答案为：6．
17．数学实验室：
点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是 3 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ．
②数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示和5的两点之间的距离表示为 ．
③若表示一个有理数，则的最小值 ．
④若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的是 ．
⑤若表示一个有理数，当为 ，式子有最小值为 ．
【解答】解：①数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是，
故答案为：3，4；
②数轴上表示和的两点之间的距离表示为，数轴上表示和5的两点之间的距离表示为，
故答案为：，；
③当时，，
当时，，
当时，，
在数轴上的几何意义是：表示有理数的点到及到1的距离之和，所以当时，它的最小值为4，
故答案为：4；
④当时，，
解得：，
此时不符合，舍去；
当时，，
此时或或0或1或2；
当时，，
解得：，
此时不符合，舍去；
当时，；
当时，；
当时，；
故答案为：或或或0或1或2；
⑤设，
、当时，，
当时，最小为：；
、当时，，
当时，最小为7；
、当时，，
此时最小接近7；
、当时，，
此时最小接近12；
的最小值为7．
故答案为：3，7．
18．已知，，且，求的值．
【解答】解：，，
或10，或4，
，
，或4，
当，时，，
当，时，．
综上所述，的值为0或．
19．若，且，试求的值．
【解答】解：因为，，
所以或7，，又，
所以当，时，；
当，时，．
20．若，，且，求的值．
【解答】解：，，
，，
，
，，
，
或，
所以，的值为或．
21．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，
所以当时，；当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面问题：
（1）已知，是有理数，当时， 或0 ；
（2）已知，，是有理数，当时， ；
（3）已知，，是有理数，，，则 ．
【解答】解：（1）已知，是有理数，当时，
①，，；
②，，；
③、异号，．
故或0；
（2）已知，，是有理数，当时，
①，，，；
②，，，；
③、、两负一正，；
④、、两正一负，．
故或；
（3）已知，，是有理数，，，
则，，，、、两正一负，
则．
故答案为：或0；或；．
22．如果、、是非零有理数，且，那么的所有可能的值为 0 ．
【解答】解：、、为非零有理数，且、、只能为两正一负或一正两负．
①当、、为两正一负时，设、为正，为负，
原式，
②当、、为一正两负时，设为正，、为负
原式，
综上，的值为0，
故答案为：0．
23．同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示5与两点之间的距离是 7 ，
（2）数轴上表示与2的两点之间的距离可以表示为 ．
（3）如果，则 ．
（4）同理表示数轴上有理数所对应的点到和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ．
（5）由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
【解答】解：（1）数轴上表示5与两点之间的距离是，故答案为：7；
（2）数轴上表示与2的两点之间的距离可以表示为，故答案为：；
（3），
或，
解得：或，
故答案为：7或；
（4）表示数轴上有理数所对应的点到和1所对应的点的距离之和，，
这样的整数有、、、0、1，
故答案为：、、、0、1；
（5）根据绝对值的几何意义可知当时，有最小值是3．
24．我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示2和5的两点的距离是 3 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示15和的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示和的两点，之间的距离是 ，如果，那么是 ．
（3）式子的最小值是 ．
【解答】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是．数轴上表示15和的两点之间的距离是．
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离是，如果，那么为1或．
（3）表示：数轴上一点到，2和3距离的和，
当在和3之间的2时有最小值是4．
故答案为：3，15，45；，1或；4．
25．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：
（1）求 6 ．
（2）若，则
（3）同理表示数轴上有理数所对应的点到4和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ．
【解答】解：（1）与两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，
．
（2）表示与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，
或7与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，
若，则或7．
（3）与两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，
使得成立的整数是和4之间的所有整数（包括和，
这样的整数是、、0、1、2、3、4．
故答案为：6；或7；、、0、1、2、3、4．
26．观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离：4与，3与5，与，与3．并回答下列各题：
（1）你能发现、两点之间的距离表示为与，在数轴上、两点之间的距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： ．
（2）若数轴上的点表示的数为，点表示的数为，则与两点间的距离可以表示为 ．
（3）结合数轴探求的最小值是 ．
【解答】解：（1）4与的距离：，
3与5的距离：，
与的距离：，
与3的距离：，
；
故答案为：；
（2）；
故答案为：；
（3）表示数到2和两点的距离之和，
如果求最小值，则一定在2和之间，则最小值为8；
故答案为：8．
27．阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，2分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
①；②；③．从而化简代数式可分以下3种情况：
（1）当时，原式；
（2）当时，原式；
（3）当时，原式．
综上讨论，原式
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出和的零点值；
（2）化简代数式；
（3）求代数式的最小值．
【解答】（1）令，，
解得：和，
故和的零点值分别为5和4；
（2）当时，原式；
当时，原式；
当时，原式．
综上讨论，原式．
（3）当时，原式；
当时，原式；
当时，原式．
故代数式的最小值是1．
28．已知非零有理数，，满足，．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【解答】解：（1），，
，，或，，，
，
；
（2），
，，，，
．
29．（1）当时，求的值．（写出解答过程）
（2）若，，且，则的值为 ．
（3）若，则的值为 ．
【解答】解：（1）当时，，则原式；
当时，，则原式；
（2），，且，
与异号，即，
，
则原式；
（3），
与同号，
当，时，原式；
当，时，原式．
故答案为：（2）；（3）3或
30．已知：有理数，，满足，当时，求的值．
【解答】解：有理数，，满足，
，，中有一个负数或三个负数，
当，，中有一个负数时，；
当，，中有三个负数时，．
31．（1）三个有理数、、满足，求的值；
（2）若、、三个不为0的有理数，且，求的值；
【解答】解：（1），
，，都是正数或两个为负数，
①当，，都是正数，即，，时，
则；
②，，有一个为正数数，另两个为负数时，设，，，
则．
故的值为3或；
（2）、、为三个不为0的有理数，且，
、、中负数有2个，正数有1个，
，
．
32．阅读下面材料：点、在数轴上分别表示有理数、，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题：
（1）数轴上表示和1两点之间的距离是 4 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示和1的两点之间的距离为6，则表示的数为 ；
（3）若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
【解答】解：（1）；；
故答案为：4，；
（2），
或，
即或，
故答案为：7或；
（3）有最小值，
当时，，
当时，，
当时，，
所以当时，它的最小值为6．
33．我们知道：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离，请回答下列问题：
（1）数轴上表示和3的两点之间的距离是 4 ．
（2）数轴上表示和2的两点之间的距离为3，则有理数是 ．
（3）若表示一个有理数，且，则 ．
（4）式子的最小值为 ．
【解答】解：（1）和3两点之间的距离是：；
故答案为：4；
（2）和2的两点之间的距离为：，
，
解得或；
故答案为：5或；
（3），
，，
；
故答案为：7；
（4）当时，，
当时，，
当时，；
故答案为：4．
34．已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．
（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 5 ；
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离是 ；
（3）若数轴上三个有理数、、满足，，则的值为 ；
（4）当 时，的值最小，最小值是 ．
【解答】解：（1），
故答案为：5；
（2），
故答案为：；
（3）当时，；
当时，；
点在，两点之间时不符合题意，
综上的值为6或8，
故答案为：6或8；
（4）当时，的最小值为7，
只需要的值最小即可，
此时，，
当时，的值最小，最小值是7．
故答案为：1；7．
35．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 3 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ．
（3）若表示一个有理数，且，则 ．
（4）若，利用数轴求出的整数值为 ．
【解答】解：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示2和的两点之间的距离是；
故答案为：3，5；
（2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为，
故答案为：；
（3）若表示一个有理数，且，
则；
故答案为：6；
（4），
，
画数轴如下：
为整数，
，，，0，1，2，3，4，5．
故答案为：，，，0，1，2，3，4，5．
36．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：
（1）求 6 ．
（2）若，则 ．
（3）同理表示数轴上有理数所对应的点到4和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ．
（4）求：的最小值，并求出此时的值．
【解答】解：（1）；
故答案为：6；
（2），
或，
或；
故答案为：7或；
（3），
，
整数是、、0、1、2、3、4；
故答案为：、、0、1、2、3、4；
（4）当时，原式；
当时，；
当时，原式．
所以当时，有最小值是8．
此时．
37．在学习绝对值后，我们知道，表示数在数轴上的对应点与原点的距离．如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的有表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离可表示为．
请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 5 ；数轴上、两点之间的距离为3，若点表示的数是，则点表示的数是 ．
（2）点、、在数轴上分别表示有理数、、3，那么到的距离是 ；到的距离 ．（用含绝对值的式子表示）
（3）若，则的值为 ．
（4）若，则的取值范围值为 ．
【解答】解：（1），
设点所表示的数为，由题意得，
，
或，
解得或，
即点所表示的数为1或，
故答案为：5，1或；
（2）根据数轴上两点之间的距离的计算方法可知，
到的距离是，到的距离是，
故答案为：，；
（3）所表示的意义为：数轴上表示数的点，到表示数3和两点距离之和，
而时，
当时，有，解得，
当时，有，解得，
故答案为：5或；
（4），即数轴上表示数的点，到表示数3和两点距离之和为7，而3与之间的距离为7，
所以数轴上表示的点，在数轴上表示3和之间即可，
的取值范围为：，
故答案为：．
38．如图，点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是 4 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示和1的两点之间的距离表示为 ；
（3）请写出的几何意义，并求出当时的值；
（4）请画出数轴求的最小值，并直接写出此时可取哪些整数？
【解答】解：（1）由题意可得，
数轴上表示1和5两点之间的距离是：，数轴上表示2和的两点之间的距离是：，
故答案为：4，3；
（2）由题意可得，
数轴上表示和的两点之间的距离是：，
故答案为：；
（3）表示与之间的距离，
，
或，
解得：或；
（4）由数轴可知，当时，取得最小值，
最小值是：，
此时，可取的整数值是：，，，0，1，2，3，4．
即的最小值是7，此时可取的整数值是：，，，0，1，2，3，4．
39．、两点之间的距离表示为，点、在数轴上分别表示有理数，，在数轴上，两点之间的距离．
请用上面的知识解答下列问题：
（1）数轴上表示2和6的两个点之间的距离是 4 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离是 ；如果，那么为 ．
（3）求的最小值．
【解答】解：（1）数轴上表示2和6的两点之间的距离是；
数轴上表示和的两点之间的距离；
数轴上表示2和的两点之间的距离是；
故答案为：4；2；5；
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离；
，
．
解得：或．
故答案为：；1或；
（3）表示数轴上某点到和2的距离之和．
当时，有最小值，最小值为3．
40．探究与拓展
（1）写出下列每对数在数轴上的对应点之间的距离（直接写到后面横线上）
与0的距离为 3 ，4与的距离为 ，与的距离为 ，
由上可知：是数轴上表示数与数两个点之间的距离，像等式是数轴上表示数与数两个点之间的距离为3，所以，的值为1或
（2）若，则 ．
（3）若，则整数为 ．
【解答】解：（1）与0的距离为3，4与的距离为6，与的距离为0.5，
故答案为：3；6或0.5；
（2），
或，
或，
故答案为：0或4；
（3），
当时，，得，
当时，，故此时有无数解；
当时，，得，
故答案为：或2．