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初中数学1.2.4 绝对值巩固练习
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这是一份初中数学1.2.4 绝对值巩固练习，共23页。
已知，，且，求的值．
阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，
所以当时，；当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面问题：
（1）已知，是有理数，当时， ；
（2）已知，，是有理数，当时， ；
（3）已知，，是有理数，，，则 ．
同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示5与两点之间的距离是 ，
（2）数轴上表示与2的两点之间的距离可以表示为 ．
（3）如果，则 ．
（4）同理表示数轴上有理数所对应的点到和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ．
（5）由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
【题组训练】
1．若，那么的值是多少？
2．已知：，，且，求的值．
3．若， ；若， ；
①若，则 ；
②若，则 ．
4．若，且，求的值．
5．已知与互为相反数，求的值．
6．已知与互为相反数，求式子的值．
7．已知与互为相反数，求的值．
8．若．
计算：（1），，的值．
（2）求的值．
9．计算：已知，，且，求的值．
10．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的（探究）．
（提出问题）两个有理数、满足、同号，求的值．
解：①若、都是正数，即，，，，则；
②若、都是负数，即，，有，，则，
所以的值为2或．
（探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）两个有理数、满足、异号，求的值；
（2）已知，，，且，求的值．
11．同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：
（1）求 ．
（2）找出所有符合条件的整数，使得成立的整数是 ．
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
12．已知，，且，求的值．
13．已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
14．阅读下列材料完成相关问题：已知，、是有理数
（1）当，时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）当，，的值．
15．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么 ．
（2）若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为 ；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是 ．
（4）当 时，的值最小，最小值是 ．
16．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．
（2）如果，那么 ；
（3）若，，且数、在数轴上表示的数分别是点、点，则、两点间的最大距离是 ，最小距离是 ．
（4）若数轴上表示数的点位于与2之间，则 ．
17．数学实验室：
点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ．
②数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示和5的两点之间的距离表示为 ．
③若表示一个有理数，则的最小值 ．
④若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的是 ．
⑤若表示一个有理数，当为 ，式子有最小值为 ．
18．已知，，且，求的值．
19．若，且，试求的值．
20．若，，且，求的值．
21．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，
所以当时，；当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面问题：
（1）已知，是有理数，当时， ；
（2）已知，，是有理数，当时， ；
（3）已知，，是有理数，，，则 ．
22．如果、、是非零有理数，且，那么的所有可能的值为 ．
23．同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示5与两点之间的距离是 ，
（2）数轴上表示与2的两点之间的距离可以表示为 ．
（3）如果，则 ．
（4）同理表示数轴上有理数所对应的点到和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ．
（5）由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
24．我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示2和5的两点的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示15和的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示和的两点，之间的距离是 ，如果，那么是 ．
（3）式子的最小值是 ．
25．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：
（1）求 ．
（2）若，则
（3）同理表示数轴上有理数所对应的点到4和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ．
26．观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离：4与，3与5，与，与3．并回答下列各题：
（1）你能发现、两点之间的距离表示为与，在数轴上、两点之间的距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： ．
（2）若数轴上的点表示的数为，点表示的数为，则与两点间的距离可以表示为 ．
（3）结合数轴探求的最小值是 ．
27．阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，2分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
①；②；③．从而化简代数式可分以下3种情况：
（1）当时，原式；
（2）当时，原式；
（3）当时，原式．
综上讨论，原式
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出和的零点值；
（2）化简代数式；
（3）求代数式的最小值．
28．已知非零有理数，，满足，．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
29．（1）当时，求的值．（写出解答过程）
（2）若，，且，则的值为 ．
（3）若，则的值为 ．
30．已知：有理数，，满足，当时，求的值．
31．（1）三个有理数、、满足，求的值；
（2）若、、三个不为0的有理数，且，求的值；
32．阅读下面材料：点、在数轴上分别表示有理数、，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题：
（1）数轴上表示和1两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示和1的两点之间的距离为6，则表示的数为 ；
（3）若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
33．我们知道：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离，请回答下列问题：
（1）数轴上表示和3的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示和2的两点之间的距离为3，则有理数是 ．
（3）若表示一个有理数，且，则 ．
（4）式子的最小值为 ．
34．已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．
（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离是 ；
（3）若数轴上三个有理数、、满足，，则的值为 ；
（4）当 时，的值最小，最小值是 ．
35．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ．
（3）若表示一个有理数，且，则 ．
（4）若，利用数轴求出的整数值为 ．
36．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：
（1）求 ．
（2）若，则 ．
（3）同理表示数轴上有理数所对应的点到4和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ．
（4）求：的最小值，并求出此时的值．
37．在学习绝对值后，我们知道，表示数在数轴上的对应点与原点的距离．如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的有表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离可表示为．
请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ；数轴上、两点之间的距离为3，若点表示的数是，则点表示的数是 ．
（2）点、、在数轴上分别表示有理数、、3，那么到的距离是 ；到的距离 ．（用含绝对值的式子表示）
（3）若，则的值为 ．
（4）若，则的取值范围值为 ．
38．如图，点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示和1的两点之间的距离表示为 ；
（3）请写出的几何意义，并求出当时的值；
（4）请画出数轴求的最小值，并直接写出此时可取哪些整数？
39．、两点之间的距离表示为，点、在数轴上分别表示有理数，，在数轴上，两点之间的距离．
请用上面的知识解答下列问题：
（1）数轴上表示2和6的两个点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离是 ；如果，那么为 ．
（3）求的最小值．
40．探究与拓展
（1）写出下列每对数在数轴上的对应点之间的距离（直接写到后面横线上）
与0的距离为 ，4与的距离为 ，与的距离为 ，
由上可知：是数轴上表示数与数两个点之间的距离，像等式是数轴上表示数与数两个点之间的距离为3，所以，的值为1或
（2）若，则 ．
（3）若，则整数为 ．
已知，，且，求的值．
阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，
所以当时，；当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面问题：
（1）已知，是有理数，当时， ；
（2）已知，，是有理数，当时， ；
（3）已知，，是有理数，，，则 ．
同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示5与两点之间的距离是 ，
（2）数轴上表示与2的两点之间的距离可以表示为 ．
（3）如果，则 ．
（4）同理表示数轴上有理数所对应的点到和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ．
（5）由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
【题组训练】
1．若，那么的值是多少？
2．已知：，，且，求的值．
3．若， ；若， ；
①若，则 ；
②若，则 ．
4．若，且，求的值．
5．已知与互为相反数，求的值．
6．已知与互为相反数，求式子的值．
7．已知与互为相反数，求的值．
8．若．
计算：（1），，的值．
（2）求的值．
9．计算：已知，，且，求的值．
10．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的（探究）．
（提出问题）两个有理数、满足、同号，求的值．
解：①若、都是正数，即，，，，则；
②若、都是负数，即，，有，，则，
所以的值为2或．
（探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）两个有理数、满足、异号，求的值；
（2）已知，，，且，求的值．
11．同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：
（1）求 ．
（2）找出所有符合条件的整数，使得成立的整数是 ．
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
12．已知，，且，求的值．
13．已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
14．阅读下列材料完成相关问题：已知，、是有理数
（1）当，时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）当，，的值．
15．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么 ．
（2）若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为 ；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是 ．
（4）当 时，的值最小，最小值是 ．
16．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．
（2）如果，那么 ；
（3）若，，且数、在数轴上表示的数分别是点、点，则、两点间的最大距离是 ，最小距离是 ．
（4）若数轴上表示数的点位于与2之间，则 ．
17．数学实验室：
点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ．
②数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示和5的两点之间的距离表示为 ．
③若表示一个有理数，则的最小值 ．
④若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的是 ．
⑤若表示一个有理数，当为 ，式子有最小值为 ．
18．已知，，且，求的值．
19．若，且，试求的值．
20．若，，且，求的值．
21．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，
所以当时，；当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面问题：
（1）已知，是有理数，当时， ；
（2）已知，，是有理数，当时， ；
（3）已知，，是有理数，，，则 ．
22．如果、、是非零有理数，且，那么的所有可能的值为 ．
23．同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示5与两点之间的距离是 ，
（2）数轴上表示与2的两点之间的距离可以表示为 ．
（3）如果，则 ．
（4）同理表示数轴上有理数所对应的点到和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ．
（5）由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
24．我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示2和5的两点的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示15和的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示和的两点，之间的距离是 ，如果，那么是 ．
（3）式子的最小值是 ．
25．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：
（1）求 ．
（2）若，则
（3）同理表示数轴上有理数所对应的点到4和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ．
26．观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离：4与，3与5，与，与3．并回答下列各题：
（1）你能发现、两点之间的距离表示为与，在数轴上、两点之间的距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： ．
（2）若数轴上的点表示的数为，点表示的数为，则与两点间的距离可以表示为 ．
（3）结合数轴探求的最小值是 ．
27．阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，2分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
①；②；③．从而化简代数式可分以下3种情况：
（1）当时，原式；
（2）当时，原式；
（3）当时，原式．
综上讨论，原式
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出和的零点值；
（2）化简代数式；
（3）求代数式的最小值．
28．已知非零有理数，，满足，．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
29．（1）当时，求的值．（写出解答过程）
（2）若，，且，则的值为 ．
（3）若，则的值为 ．
30．已知：有理数，，满足，当时，求的值．
31．（1）三个有理数、、满足，求的值；
（2）若、、三个不为0的有理数，且，求的值；
32．阅读下面材料：点、在数轴上分别表示有理数、，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题：
（1）数轴上表示和1两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示和1的两点之间的距离为6，则表示的数为 ；
（3）若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
33．我们知道：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离，请回答下列问题：
（1）数轴上表示和3的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示和2的两点之间的距离为3，则有理数是 ．
（3）若表示一个有理数，且，则 ．
（4）式子的最小值为 ．
34．已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．
（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离是 ；
（3）若数轴上三个有理数、、满足，，则的值为 ；
（4）当 时，的值最小，最小值是 ．
35．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ．
（3）若表示一个有理数，且，则 ．
（4）若，利用数轴求出的整数值为 ．
36．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：
（1）求 ．
（2）若，则 ．
（3）同理表示数轴上有理数所对应的点到4和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ．
（4）求：的最小值，并求出此时的值．
37．在学习绝对值后，我们知道，表示数在数轴上的对应点与原点的距离．如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的有表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离可表示为．
请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ；数轴上、两点之间的距离为3，若点表示的数是，则点表示的数是 ．
（2）点、、在数轴上分别表示有理数、、3，那么到的距离是 ；到的距离 ．（用含绝对值的式子表示）
（3）若，则的值为 ．
（4）若，则的取值范围值为 ．
38．如图，点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示和1的两点之间的距离表示为 ；
（3）请写出的几何意义，并求出当时的值；
（4）请画出数轴求的最小值，并直接写出此时可取哪些整数？
39．、两点之间的距离表示为，点、在数轴上分别表示有理数，，在数轴上，两点之间的距离．
请用上面的知识解答下列问题：
（1）数轴上表示2和6的两个点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离是 ；如果，那么为 ．
（3）求的最小值．
40．探究与拓展
（1）写出下列每对数在数轴上的对应点之间的距离（直接写到后面横线上）
与0的距离为 ，4与的距离为 ，与的距离为 ，
由上可知：是数轴上表示数与数两个点之间的距离，像等式是数轴上表示数与数两个点之间的距离为3，所以，的值为1或
（2）若，则 ．
（3）若，则整数为 ．
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