2022-2023学年江西省南昌市新建区第二中学高二下学期4月份期中学业水平考核数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江西省南昌市新建区第二中学高二下学期4月份期中学业水平考核数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省南昌市新建区第二中学高二下学期4月份期中学业水平考核数学试题 一、单选题1．已知等差数列中，，公差，则等于（    ）．A． B． C．24 D．27【答案】A【分析】利用等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】因为等差数列中，，公差，所以，故选：A2．函数在区间上的平均变化率为（    ）A．2 B．3 C．5 D．4【答案】C【分析】根据平均变化率的知识求得正确答案.【详解】当时，；当时，.所以函数在区间上的平均变化率为.故选：C3．已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（    ）A．2 B．1 C．－1 D．－2【答案】D【分析】根据导数的定义即可得到答案.【详解】由题意，，所以.故选：D.4．已知实数列、、、、成等比数列，则（    ）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】求出的值，利用等比中项的性质可求得结果.【详解】设等比数列、、、、的公比为，则，由等比中项的性质可得，所以，，因此，.故选：C.5．已知函数，函数的单调递减区间为（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】求导,令求解即可.【详解】令即，解得，所以函数的单调递减区间为.故选：A6．点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（    ）A．[0， B． C． D．[0，【答案】D【分析】结合导数的几何意义求出切线的斜率的取值范围，进而根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角的范围即可求出结果.【详解】因为，所以，因为，所以，又，所以，故选：D.7．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数极值点的定义，结合二次函数的性质、数形结合思想、转化法进行求解即可.【详解】由，当时，函数单调递增，在时，该函数单调递减，当时，函数有最大值，且，且函数的对称轴为，所以当时，有两个不同的极值点，等价于直线与函数有两个不同的交点，所以，故选：B8．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则关于的不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】依题意令，求导分析单调性，不等式，可转化为，即，即可得出答案．【详解】解：依题意令，则，所以在上单调递减，对于不等式，显然，则，即，又，所以，所以，即，所以，解得，即关于的不等式的解集为.故选：B． 二、多选题9．下列结论中不正确的是（    ）A． B．C． D．若，则【答案】AC【分析】根据导数公式和导数运算律，复合函数求导分别判断各个选项即可. 【详解】对于A选项:,故A错误;对于B选项: 根据导数运算律可得,故B正确;对于C选项: ,故C错误;对于D选项:根据复合函数导数运算 ,,故D正确.故选 :AC.10．已知数列，满足，，为的前n项和，且，，则（    ）．A．数列为等差数列 B．C． D．或时，取得最大值【答案】AB【分析】根据等差数列的定义、结合等差数列的前n项和公式、通项公式逐一判断即可.【详解】由，所以数列为等差数列，因此选项A正确；设该等差数列的公差为，因为，，所以有，，因此选项B正确，选项C不正确；因为，所以或时，取得最大值，因此选项D不正确，故选：AB11．若函数在区间上不单调，则实数的值可能是（    ）A．2 B．3 C． D．4【答案】BC【分析】利用导函数判断的单调区间进行求解即可.【详解】的定义域为，所以，A错误；由题意可得，令解得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，因为在区间上不单调，所以，即，选项B：当时，，正确；选项C：当时，，所以，正确；选项D：当时，，错误；故选：BC12．已知函数，，若，，不等式成立，则的可能值为（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】BCD【分析】问题等价于，通过导数求出两个函数的最小值即可.【详解】，若，则，则在单调递增， ；若，则在单减，在单增，，∴.，则在单调递增，在单调递减，，∴.∵，，不等式成立，∴若，，成立；若，，即，令，∴，∴h（x）在（1，+∞）单增.而，，，.故选：BCD.【点睛】本题在求的最小值时需要对参数k进行讨论，本题对参数的讨论非常典型注意总结；当进行到这一步时，需要构造函数求出k的值，式子比较经典，一定要熟练掌握. 三、填空题13．已知函数，则的单调递增区间是           .【答案】（填也可以）【分析】由题得，解即得函数的单调递增区间.【详解】由题得，，令得，所以的单调递增区间为.故答案为：（填也可以）14．若是等差数列的前项和，且，则      ．【答案】2【分析】根据等差数列前项和公式，结合等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】设等差数列的公差为，由，得，化简得，所以．故答案为：215．已知数列为等比数列，且，设等差数列的前n项和为，若，则          ．【答案】【分析】根据等比数列的性质可得，然后结合等差数列的前项和公式，即可得到结果.【详解】因为数列为等比数列，且，所以，解得或（舍）即，又因为数列为等差数列，则.故答案为:.16．函数在区间上有最大值，则的取值范围是        ．【答案】【分析】求函数导数，研究函数单调性，判断其取最大值的位置，由于函数在区间上有最大值，故最大值对应的横坐标应在区间内，由此可以得到参数的不等式，解不等式即可得到的取值范围【详解】，，令 解得；令 ，解得或，由此可得在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，故函数在处有极大值，在处有极小值，即，解得，故答案为： 四、解答题17．已知等比数列中，(1)求的通项公式；(2)令求数列{}的前n项和【答案】(1)(2) 【分析】（1）设出等比数列公比，利用已知条件列出关系式，即可求解公比，然后求数列的通项公式；（2）通过， 得到数列通项公式，然后利用裂项相消法求解数列的前项和.【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，所以. 所以，解得.所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，，所以，，所以.所以数列的前项和为.18．已知函数且在上单调递增，在 上单调递减，又函数．（1）求函数 的解析式；（2）求证当时，．【答案】（1）    （2）证明见解析【分析】（1）根据求得的导数和单调区间，即可得到极值点，进而根据方程组即可得到解析式．（2）构造函数，令，再求得导数，在的条件下求得最小值，进而证明原不等式成立．【详解】（1）求导函数得因为在 上单调递增令则函数的极值点为 则 ，解方程组得 （2）证明：令∵时∴ ∴ 即 原式得证【点睛】本题考查了导数与单调性、极值的综合应用，利用构造函数法证明不等式，属于基础题．19．已知数列为等差数列，为等比数列，且.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）设数列的公差为的公比为，由题可得关于d与q的方程，解之可得答案；（2）由（1）结合错位相减法可得答案.【详解】（1）设数列的公差为的公比为，由已知得,，解得.则.（2）由（1）可得，则，.两式相减得，所以.20．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求a的取值范围；【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减.(2) 【分析】（1）求导，根据导数的正负确定函数的单调性即可；（2）参变分离，构造函数，求导研究函数图象的单调性及极值，最值情况，求出的取值范围.【详解】（1）由题意可知，函数的定义域为，易得，令可得，当时，，函数为单调递减，当时，，函数为单调递增，所以函数在上单调递增，在上单调递减.（2）根据题意，若有两个零点，即方程有两个实数根，所以函数与有两个不同的交点，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，所以函数在时取极大值，也是最大值，且时，；时，； 时，，画出函数如右图所示：  由图可知，若函数与有两个不同的交点，则，即a的取值范围为.21．已知函数，其中．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求函数的单调区间与极值．【答案】(1)(2)见解析  【分析】（1）根据题意得到函数的解析式，从而得到切点坐标和导函数，根据导函数在切点的函数值等于切线的斜率求解切线斜率，进而得到切线方程；（2）对函数求导，对参数的取值范围分类讨论，根据导函数的符号确定函数的单调区间和极值.【详解】（1）当时，，，又，．所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）．由于，以下分两种情况讨论．①当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：00单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以的单调递减区间为，，单调递增区间为．函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且．②当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．函数在处取得极大值，且．函数在处取得极小值，且．22．已知函数，.(1)当时，求函数的极值；(2)若任意且，都有成立，求实数的取值范围.【答案】(1)极小值为，无极大值(2) 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；（2）不妨令，则问题等价于，令，只需证明在单调递增，问题等价于在时恒成立，参变分离得到，，再构造函数，利用导数求出的最大值，即可得解.【详解】（1）解：当时，，．则，令，解得或，又因为，所以．列表如下：x2单调递减极小值单调递增因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以有极小值，无极大值．（2）解：因为，，所以，，若对任意且恒成立不妨令，则，令，只需证明在单调递增，因为，则，所以在时恒成立，即，，令，，则，因为，所以令，解得，令，解得，从而在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时取到最大值，所以实数的取值范围是．【点睛】思路点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．