第18章平行四边形练习题（华东师大版八下）

 《平行四边形》练习题

一、选择题

1.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为(　　)

A． 1∶2∶3∶4   B． 1∶4∶2∶3 

C． 1∶2∶2∶1   D． 1∶2∶1∶2

2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为(　　)

A． 2                    B． 3                   

 C． 4                   D． 5

3.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB∥DC，AB，BC，CD分别为2,2,2＋2，则∠BAD的度数等于(　　)

A． 120°              B． 135°              

C． 150°              D． 以上都不对

4.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF.若AB＝3，则菱形AECF的面积为(　　)

A． 1                   B． 2              

C． 2                 D． 4

5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，则DC和EF的大小关系是(　　)

A．DC＞EF           B．DC＜EF       

C．DC＝EF           D． 无法比较

6.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，E为AB上一点，过点E作EF∥BC，交CD于点F，G为AD上一点，H为BC上一点，连接CG，AH.若GD＝BH，则图中的平行四边形有(　　)

A． 2个             B． 3个             

C． 4个             D． 6个

7.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为(　　)

①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.

A． ①③                B． ②③             

C． ③④                D． ①②③

8.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是(　　)

A．AB⊥AC          B．AB＝AC       

C．AB＝BC          D．AC＝BC

二、填空题                                                            

9.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC＋BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF＝__________厘米．

10.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD，③AO＝CO，④∠ABC＝∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是________．(填写一组序号即可)

11.已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O.

(1)若AB＝BC，则平行四边形ABCD是________；

(2)若AC＝BD，则平行四边形ABCD是________；

(3)若∠BCD＝90°，则平行四边形ABCD是________；

(4)若OA＝OB，且OA⊥OB，则平行四边形ABCD是__________；

(5)若AB＝BC，且AC＝BD，则平行四边形ABCD是__________．

12.木工师傅做了一张桌面，要求为长方形，现量得桌面的长为60 cm，宽为32 cm，对角线为66 cm，这个桌面______________(填“合格”或“不合格”)．

13.已知，如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第n个正方形的周长Cn＝____________.

14.如图，已知AB是Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，O是AB的中点，其中OC是2 cm，则OD＝__________.

15.如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠AED的度数是________度．

16.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是__________(只填写序号)．

三、解答题                                                                

17.如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE＝BF.

(1)试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由；

(2)连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由．

18.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作CE∥BD，DE∥AC.

求证：四边形OCED是正方形．

19.如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF.

求证：CE＝DF.

20.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E、F分别在边AD，BC上，且DE＝BF，连接OE，OF.求证：OE＝OF.

21.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF.

(1)求证：CE＝CF.

(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM、FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

答案解析

1.【答案】D

【解析】根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．

故选D.

2.【答案】A

【解析】将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，

由题意可得出：△DAF≌△BAF′，

∴DF＝BF′，∠DAF＝∠BAF′，

∴∠EAF′＝45°，

在△FAE和△EAF′中，

∴△FAE≌△EAF′(SAS)，

∴EF＝EF′，

∵△ECF的周长为4，

∴EF＋EC＋FC＝FC＋CE＋EF′＝FC＋BC＋BF′＝DF＋FC＋BC＝4，

∴2BC＝4，

∴BC＝2.

故选A.

3.【答案】C

【解析】过A作AE⊥CD于E，

∵AB⊥BC，AB∥DC，

∴∠B＝∠C＝∠AED＝∠AEC＝90°，

∴四边形ABCE是矩形，

∴AB＝CE＝2，AE＝BC＝2，∠BAE＝90°，

∵CD＝2＋2，

∴DE＝2，

由勾股定理，得AD＝4＝2DE，

∴∠DAE＝60°，

∵∠BAE＝90°，

∴∠BAD＝90°＋60°＝150°，

故选C.

4.【答案】C

【解析】∵四边形AECF是菱形，AB＝3，

∴假设BE＝x，则AE＝3－x，CE＝3－x，

∵四边形AECF是菱形，

∴∠FCO＝∠ECO，

∵∠ECO＝∠ECB，

∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，

2BE＝CE，∴CE＝2x，

∴2x＝3－x，解得x＝1，

∴CE＝2，利用勾股定理得出：

BC2＋BE2＝EC2，BC＝＝＝，

又∵AE＝AB－BE＝3－1＝2，

则菱形的面积是AE·BC＝2.故选C.

5.【答案】C

【解析】∵E、F分别为AC、BC的中点，

∴EF＝AB，

在Rt△ABC中，D是AB的中点，

∴CD＝AB，

∴CD＝EF，

故选C.

6.【答案】D

【解析】∵AB∥CD，AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵EF∥BC，

∴四边形AEFD、四边形BCFE均为平行四边形，

∵GD＝BH，AD＝BC，

∴AG＝CH，

又∵AG∥CH，

∴四边形AHCG是平行四边形，

又∵EF∥BC，

∴四边形AMNG、四边形MNCH均为平行四边形，

∴共有6个平行四边形，

故选D.

7.【答案】A

【解析】①▱ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故①正确；

②▱ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故②错误；

③▱ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故③正确；

D．▱ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故④错误．

故选A.

8.【答案】B

【解析】AB＝AC，

理由是：∵AB＝AC，E为BC的中点，

∴AE⊥BC，

∵D、F分别为AB和AC的中点，

∴DF∥BC，

∴AE⊥DF，

∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点，

∴EF∥AD，DE∥AF，

∴四边形ADEF是平行四边形，

∵AE⊥DF，

∴四边形ADEF是菱形，

即只有选项B的条件能推出四边形ADEF是菱形，选项A、C、D的条件都不能推出四边形ADEF是菱形，

故选B.

9.【答案】3

【解析】∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴点O是AC、BD的中点，

∵AC＋BD＝24厘米，

∴OB＋OA＝12厘米，

∵△OAB的周长是18厘米，

∴AB＝18－12＝6厘米，

∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，

∴AB＝2EF，

∴EF＝6÷2＝3厘米．

10.【答案】①③

【解析】可选条件①③，

∵AD∥BC，

∴∠DAO＝∠OCB，∠ADO＝∠CBO，

在△AOD和△COB中，

∴△AOD≌△COB(AAS)，

∴DO＝BO，

∴四边形ABCD是平行四边形．

11.【答案】菱形　矩形　矩形　正方形　正方形

【解析】(1)∵ABCD是平行四边形，

∴AB＝DC，AD＝BC，

∵AB＝BC，

∴AB＝BC＝CD＝DA，

∴平行四边形ABCD是菱形；

(2)∵ABCD是平行四边形，AC＝BD，

∴平行四边形ABCD是矩形；

(3)∵ABCD是平行四边形，∠BCD＝90°，

∴平行四边形ABCD是矩形；

(4)∵ABCD是平行四边形，OA＝OB，

∴AC＝BD，

∴平行四边形ABCD是矩形，

∵OA⊥OB，

∴AC⊥BD，

∴平行四边形ABCD是正方形；

(5)∵ABCD是平行四边形，AC＝BD，

∴平行四边形ABCD是矩形，

∵AB＝BC，

∴平行四边形ABCD是正方形．

12.【答案】不合格

【解析】∵＝68 cm≠66  cm，

∴这个桌面不合格，

13.【答案】2n＋1

【解析】∵∠MON＝45°，

∴△OA1B1是等腰直角三角形，

∵OA1＝1，

∴正方形A1B1C1A2的边长为1，

∵B1C1∥OA2，

∴∠B2B1C1＝∠MON＝45°，

∴△B1C1B2是等腰直角三角形，

∴正方形A2B2C2A3的边长为1＋1＝2，

同理，第3个正方形A3B3C3A4的边长为2＋2＝22，其周长为4×22＝24，

第4个正方形A4B4C4A5的边长为4＋4＝23，其周长为4×23＝25，

第5个正方形A5B5C5A6的边长为8＋8＝24，其周长为4×24＝26，

则第n个正方形的周长Cn＝2n＋1.

14.【答案】2 cm

【解析】∵AB是Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，O是AB的中点，

∴OC＝OD，

∵OC＝2  cm，

∴OD＝2  cm，

15.【答案】85

【解析】：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，

∴∠EAD＝∠AEB，

又∵AB＝AE，

∴∠B＝∠AEB，

∴∠B＝∠EAD，

在△ABC和△EAD中，

∴△ABC≌△EAD(SAS)，

∴∠AED＝∠BAC.

∵AE平分∠DAB，

∴∠BAE＝∠DAE，

∴∠BAE＝∠AEB＝∠B，

∴△ABE为等边三角形，

∴∠BAE＝60°，

∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝85°，

∴∠AED＝∠BAC＝85°.

16.【答案】②③或①④

【解析】有6种选法：(1)①②：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；

(2)②③：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；

(3)①③：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；

(4)②④：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；

(5)①④：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；

(6)③④：由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；

综上所述：错误的是②③或①④.

17.【答案】解　(1)AF＝DE.

∵ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，

∵AE＝BF，

∴△DAE≌△ABF，

∴AF＝DE.

(2)四边形HIJK是正方形．

如下图，H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，

∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED，

∵AF＝DE，

∴HI＝KJ＝HK＝IJ，

∴四边形HIJK是菱形，

∵△DAE≌△ABF，

∴∠ADE＝∠BAF，

∵∠ADE＋∠AED＝90°，

∴∠BAF＋∠AED＝90°，

∴∠AOE＝90°

∴∠KHI＝90°，

∴四边形HIJK是正方形．

【解析】(1)根据已知利用SAS判定△DAE≌△ABF，由全等三角形的判定方法可得到AF＝DE.

(2)根据已知可得HK，KJ，IJ，HI都是中位线，由全等三角形的判定可得到四边形四边都相等且有一个角是直角，从而可得到该四边形是正方形．

18.【答案】证明　∵CE∥BD，DE∥AC，

∴四边形OCED是平行四边形，

∵四边形ABCD是正方形，

∴OA＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，

∴四边形OCED是正方形．

【解析】先证明四边形OCED是平行四边形，由正方形的性质得出OA＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，即可得出四边形OCED是正方形．

19.【答案】证明　∵ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°，

又∵E、F分别是AB、BC的中点，

∴BE＝CF，

在△CEB和△DFC中，

∴△CEB≌△DFC，

∴CE＝DF.

【解析】欲证明CE＝DF，只要证明△CEB≌△DFC即可．

20.【答案】证明　∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OD＝OB，AD∥BC，

∴∠EDO＝∠FBO，

在△DEO和△BFO中，

∴△DEO≌△BFO(SAS)，

∴OE＝OF.

【解析】根据平行四边形的性质得出DO＝BO，AD∥BC，推出∠EDO＝∠FBO，证出△DEO≌△BFO即可．

21.【答案】(1)证明　∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

∴Rt△ADF≌Rt△ABE(HL)

∴BE＝DF，

∵BC＝DC，

∴CE＝CF；

(2)解　四边形AEMF是菱形，理由：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCA＝∠DCA＝45°，

在△COE和△COF中，

∴△COE≌△COF(SAS)，

∴OE＝OF，又OM＝OA，

∴四边形AEMF是平行四边形，

∵AE＝AF，

∴平行四边形AEMF是菱形．

【解析】(1)求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE≌△ADF；

(2)由于四边形ABCD是正方形，易得∠ECO＝∠FCO＝45°，BC＝CD；联立(1)的结论，可证得EC＝CF，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC(即AM)垂直平分EF；已知OA＝OM，则EF、AM互相平分，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形．