四川省资阳市乐至中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

乐至中学高2025届第三期入学考试

数学试题

本试题卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第 I 卷 1-2 页， 第Ⅱ卷 3-4 页， 共 4 页。考生作答时， 须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分 150分。考试时间 120 分钟。考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（共 60 分）

一、单选题：本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分。每个小题只有一个选项符合题目要求。

1 ．若复数 z 满足zi = 2 +i ，则复数 z 在复平面上对应的点在

A ．第一象限                             B ．第二象限

C ．第三象限                             D ．第四象限

2．下列说法一定正确的是(     )

A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况

B.一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2

C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元

D.随机事件发生的概率与试验次数无关

3.已知一组数据7,8,8,10,11,12,14,16,则这组数据的75%分位数是(    )

A.13      B. 12     C.14      D.15

4. 集合A={2,3}，集合B={1,2,4}，从A,B中各任意取一个数，构成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为(　　)

A.            B.               C.            D.

5 ．函数f(x)=sinxcosx+cos2x 的最小正周期为

A .                B .                C . π                               D ．2π

6.龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹，故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆可以近似看作一个圆台.  现有一龙洗盆高 18cm ，盆口直径36cm，盆底直径 18cm.  现往盆内注水，当水深 6cm 时，则盆内水的体积为(  )

A .                                      B.                               

C.                                      D. 

7. 已知点A(1, -2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)则△ABC的形状是(    )

A.等腰三角形  B.等边三角形  

C.直角三角形  D.等腰直角三角形

8 ．如图， 在三棱锥 P-ABC 中， △ABC 和△ABP 均为正三角形，AB=4，二面角 P-AB-C的大小为 60°,则异面直线 PB 与AC 所成角的余弦值是(     )

A . −    B ．   C.  −    D. 

二、多选题：本题共 4 小题， 每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。

9. 已知复数 z = (2 +i)i ，则（  ）

A.   z = 1+ 2i                                                                  B.  | z |=

C.  z 在复平面内对应的点在第二象限            D.  z +1为纯虚数

10.在矩形 ABCD 中，已知 E, F 分别是 BC, CD 上的点，且满足 BE = EC, CF = 2FD ，则（  ）

A.          B.

C.       D.

11. 在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，且，，则的可能取值为（    ）

A．1        B．        C．        D．

12.在棱长为1的正方体 中，M 为线段 上的动点，下列说法正确的是(   )

A. 的最大值为90                                  B. 的最小值为

C.  三棱锥 的体积为定值        D. 

第 II 卷（非选择题）

三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案直接填在答题卷相应的横线上.

13 ．已知，，且，则           .

14．在一些餐饮店中经常见到用于计时的沙漏，从沙漏的下半部分可抽象出一个高为  ，底面圆半径为 1 的圆锥，则该圆锥的侧面积为        .

15 ．甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，，两人都成功破译的概率             .

16.如图，在边长为6的正方形中，分别为的中点，现将分别沿折起使点重合，重合后记为点，得到三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为            .

四．解答题：本大题共 6 小题， 共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17 ．（本题满分 10 分）

已知 , .

（1）求；  （2）若 , β= (0, π) ，求 β 的值.

18.（本小题满分 12 分）

19.（本小题满分 12 分）

如图，在四棱锥P 一 ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，在直角梯形ABCD 中，AB⊥AD , BC // AD ， AD = 2AB = 2BC ，E 是PD 中点. 

求证：（1） CE // 平面PAB ；

（2）平面PCD ⊥平面ACE .

20.（本小题满分 12 分）

400 名大学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽 取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：[20，30]，[30，40]，…… , [80， 90]，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）在频率分布直方图中，求分数小于 70 的频率；

（2）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间[40，50)内人数；

（3）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相 等．试估计总体中男生和女生人数的比例.

21 ．（本题满分 12 分）

已知函数 f(x) = 2 cos x( sin x 一 cos x) + a 的最大值为 2 .

（1）求实数 a 的值和函数 f(x) 的对称中心；

（2）将 f(x) 图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上有两个不同的解，求实数m 的取值范围.

22 ．（本题满分 12 分）

如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.

2025届乐至中学数学入学考试参考答案

一、单选题

二、多选题

三、填空题

13． 3                                        14．   

15.                            16.

四、解答题

17.  (本小题满分 10 分)

19. (本小题满分 12 分)

（1）取线段的中点，连接，

分别为中点，，，

又，，，，

四边形为平行四边形，，

平面，平面，平面.

（2）平面，平面，；

设，则，

，，，，，

，；

，平面，平面，

平面，平面平面

20. (本小题满分 12 分)

（1）解：根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于的频率为

所以样本中分数小于的频率为.

（2）解：根据题意，样本中分数不小于50的频率为，

分数在区间内的人数为.

所以总体中分数在区间内的人数估计为.

（3）解：由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为，

所以样本中分数不小于70的男生人数为.

所以样本中的男生人数为，女生人数为，

男生和女生人数的比例为.

所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为.

21.  (本小题满分 12 分)

解：  (1) 函数 f(x) = 3 sin 2x 一 (cos 2x + 1) + a

= 2 sin(2x 一 ) 一 1 + a

函数 f(x) 的最大值为 2 ，：2 一 1 + a = 2，即a = 1

                               k     

6                                 2     12

：f(x)的对称中心为(+ ,0), k Z 注：没写 k Z 或坐标形式，适当扣分

(2) 将 f(x) 图象上所有点向右平移个单位得

f(x 一 ) = 2 sin[2(x 一 ) 一 ] = 2 sin(2x 一 )

再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得 g (x) = 2 sin(4x 一 )

：2 sin(4x 一 ) 一 m = 2 在 x [ , ) 上有两个不同的解转化为 y = 2 sin(4x 一 )与y = m + 2 在x [ , ) 有两个不同的交点 4x 一

：由图可知，当一 2 m + 2 一  时有两个不同的交点

：m (一4,一   一 2)

22.  (本小题满分 12 分)

（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD

因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，

因此AO⊥平面BCD，

因为平面BCD，所以AO⊥CD

(2)（法一：几何法）作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,连FM

因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD

所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC

因为FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME

则为二面角E-BC-D的平面角,

因为,为正三角形,所以为直角三角形

因为,

从而EF=FM=

平面BCD,

所以

（法二：向量法）