高中数学2.3 直线的交点坐标与距离公式随堂练习题

人教A版（2019）选择性必修第一册 2.3 直线的交点坐标与距离公式

一、单选题

1．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（       ）

A．无论，，如何，方程组总有解

B．无论，，如何，方程组总有唯一解

C．存在，，，方程组无解

D．存在，，，方程组无穷多解

2．已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

3．已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（       ）

A． B． C． D．

4．已知直线恒经过定点，则点到直线的距离是（       ）

A．6 B．3 C．4 D．7

5．点到直线的距离为（       ）

A． B． C． D．

6．已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（       ）

A． B． C．8 D．

7．在平面直角坐标系中，若双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为

A． B． C． D．

8．已知点与关于直线对称，则的值分别为（       ）

A．1，3 B．， C．-2，0 D．，

9．设直线，为直线上动点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（       ）

A． B． C． D．

11．l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为（       ）

A．x＋2y－3＝0 B．x－2y－3＝0

C．2x－y－1＝0 D．2x－y－3＝0

12．直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（       ）

A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9

二、填空题

13．已知直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的一般式方程为______．

14．若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．

15．“”是“直线与直线相互垂直”的______条件．

16．若直线与直线的交点在第一象限，则实数b的取值范围是___________.

三、解答题

17．（1）已知实数对满足，求的最小值；

（2）求的最小值．（提示：联想两点间的距离公式）

18．已知的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.

求（1）AC所在的直线的方程；

（2）点B的坐标．

19．数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求：

(1)外心的坐标；

(2)重心的坐标；

(3)垂心的坐标．

20．已知点，直线，直线.

(1)求点A关于直线的对称点B的坐标；

(2)求直线关于直线的对称直线方程.

21．已知的顶点，AB边上的高所在的直线方程为．

(1)求直线AB的方程；

(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．

①角A的平分线所在直线方程为

②BC边上的中线所在的直线方程为

______，求直线AC的方程．

参考答案：

1．B通过与是直线上，推出的关系，然后解方程组即可.

【详解】已知与是直线（为常数）上两个不同的点，

所以,即,并且，.

所以

得：即,

所以方程组有唯一解.

故选：B

2．C先根据两圆方程得公共弦方程，再求得点，再根据的几何意义即可求解.

【详解】由圆和圆，

可得圆和的公共弦所在的直线方程为，

联立，解得，即点

又因为点在直线上，即 ，

又由原点到直线的距离为 ，

即的最小值为.

故选：C.

【点睛】本题考查圆的公共弦问题，直线过定点问题，点到直线的距离问题，考查数学运算能力与化归转化思想，是中档题.

3．A根据直线方程得到定点A的坐标，设其关于的对称点坐标，列出方程组，解之即可.

【详解】直线即，故，

设点关于的对称点坐标为．

则解得．

点关于的对称点坐标为．

故选：A．

4．B把直线方程整理为关于的方程，由恒等式知识求得定点坐标，然后由点到直线距离公式求解．

【详解】由直线方程变形为：，

由，解得，

所以直线恒经过定点，

故点到直线的距离是，

故选：B.

5．B直接代入点到直线距离公式，即可得解.

【详解】根据距离公式可得：

点到直线的距离，

故选：B.

6．C首先求得直线与直线的交点的坐标，利用到直线的距离相等列方程，解方程求得点的坐标.利用到直线的距离以及的长，求得三角形的面积.

【详解】直线的方程为，即.

由解得.

设，直线的方程分别为 ，即

，.根据角平分线的性质可知，到直线的距离相等，所以

，

，由于，所以上式可化为，两边平方并化简得

，解得（），所以.

所以到直线的距离为，而，所以.

故选：C

【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查直线与直线交点坐标，考查点到直线距离公式、两点间的距离公式，考查角平分线的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

7．B利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可.

【详解】双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为

可得： 可得 ，即

所以双曲线的离心率为： .

故选:B.

【点睛】本题考查双曲线的简单性质，焦点坐标，渐近线方程，还运用双曲线中焦点到渐近线的距离为以及点到直线的距离公式：.

8．B点关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段的中点在直线上，列式求解.

【详解】，若点与关于直线对称，

则直线与直线垂直，直线的斜率是，

所以，得.

线段的中点在直线上，则，得

故选:B

9．A利用的几何意义，通过数形结合即可得解.

【详解】表示点到点距离的平方，

该距离的最小值为点到直线的距离，即，

则的最小值为.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查点到线的距离公式，利用两点之间距离的几何意义，通过数形结合是解题的关键，属于基础题.

10．D先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解.

【详解】如图，设关于直线对称的点为，

则有 ，可得，可得，

依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，

此时，

故选：D.

11．A根据题意，当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线的距离最大，求得直线l1的斜率，结合点斜式，即可求解.

【详解】当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线的距离最大，

因为，所以

所以l1的方程为，即.

故选：A.

12．C设直线上的点关于点的对称点的坐标为，求出，，再代入直线中即可得到对称直线的方程.

【详解】设直线上的点关于点的对称点的坐标为，

所以，，所以，，

将其代入直线中，得到，化简得，

故选：C．

【点睛】本题主要考查的知识要点：直线的方程和中点坐标公式，属于基础题.

13．通过解方程组求出直线l与两直线交点的坐标，再利用中点坐标公式进行求解即可.

【详解】设直线l的斜率为，因为直线l过，

所以直线方程为，

由，

由，由题意可知：是截得的线段的中点，

所以，即，

故答案为：

14．先根据直线与平行求出参数，再由两平行直线间的距离公式可得答案.

【详解】∵直线与平行，∴，解得，

∴直线：，直线：，

∴直线与之间的距离．

故答案为：

15．充分不必要根据直线垂直的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】若，直线的斜率，直线的斜率，则两条直线垂直，即充分性成立，

当，两条直线方程为，和，则两条直线垂直；

当，直线的斜率，直线的斜率，满足两直线垂直，故必要性不成立，

所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分不必要条件

故答案为：充分不必要

16．求得直线与坐标轴的交点坐标，代入的坐标，求得的值，结合题意，即可求解.

【详解】由题意，直线，

令，可得；令，可得，即，

如图所示，

当直线过点，可得；

当直线过点，可得，

要使得直线与直线的交点在第一象限，则，

即实数的取值范围是.

故答案为：.

17．（1）；（2）.（1）由的几何意义求得点到已知直线的距离即得；

（2）表示到和的距离之和，由平面几何知识变形后，由两点距离公式可得．

【详解】（1）表示点到点的距离，而点在直线上，

所以其最小值为；

（2）表示到和的距离之和，

与点关于轴对称，

，当且仅当是与轴交点时取等号，即时取等号．

所以的最小值是．

18．（1）2x＋y－11＝0；（2）B(－1，－3)．(1)根据题意设直线AC的方程为2x＋y＋t＝0，接着代点求解即可；

（2）利用点B在直线BH，用点B坐标表示点M坐标，又点M在直线CM，点的坐标满足直线方程，列出方程组求解即可.

【详解】因为AC⊥BH，

所以设AC所在的直线的方程为2x＋y＋t＝0.

把A(5，1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11.

所以AC所在的直线的方程为2x＋y－11＝0.

（2）设B(x0，y0)，则AB的中点为.

联立得方程组，

化简得解得，

故B(－1，－3)．

【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．

(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．

19．(1)

(2)

(3)

（1）将直线垂直平分线方程与欧拉线方程联立即可解得外心坐标；

（2）设，由此可得重心坐标，将其代入欧拉线可得关于方程；由可得关于的另一方程，由此联立可得的值，进而得到重心坐标；

（3）将边上的高所在直线方程与欧拉线方程联立即可解得垂心坐标.

(1)

中点为且，垂直平分线方程为：，

即，

由得：，即外心.

(2)

设，则重心，

将代入欧拉线得：，即…①；

由得：…②；

由①②得：或（与重合，不合题意），

，重心.

(3)

由（2）知：；由（1）知：，

边的高所在直线方程为：，即；

由得：，垂心.

20．(1)

(2)

（1）设点，则由题意可得，解方程组求出，从而可得点B的坐标，

（2）先求出两直线的交点坐标，再在直线上任取一点，求出其关于直线的对称点，从而可求出直线关于直线的对称直线方程

（1）

设点，则由题意可得，

解得，

所以点B的坐标为，

（2）

由，得，所以两直线交于点，

在直线上取一点，设其关于直线的对称点为，则

，解得，即，

所以，

所以直线为，即，

所以直线关于直线的对称直线方程为

21．(1)；

(2)若选①：直线AC的方程为；若选②：直线AC的方程为.

（1）由两直线垂直时，其斜率间的关系求得直线AB的斜率为，再由直线的点斜式方程可求得答案；

（2）若选①：由，求得点，再求得点B关于的对称点，由此可求得直线AC的方程；

若选②：由，求得点，设点，由BC的中点在直线上，和点C在直线上，求得点，由此可求得直线AC的方程.

（1）

解：因为AB边上的高所在的直线方程为，所以直线AB的斜率为，

又因为的顶点，所以直线AB的方程为：，

所以直线AB的方程为： ；

（2）

解：若选①：角A的平分线所在直线方程为，

由，解得，

所以点，

设点B关于的对称点，则，解得，所以，

又点在直线AC上，所以，

所以直线AC的方程为，

所以直线AC的方程为；

若选②：BC边上的中线所在的直线方程为，

由，解得，所以点，

设点，则BC的中点在直线上，所以，即，所以点C在直线上，

又点C在直线上，由解得，即，

所以，

所以直线AC的方程为，

所以直线AC的方程为.