高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示同步练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共11小题；共55分）
1. 已知向量 a=1,1,0，b=−1,0,2，且 ka+b 与 2a−b 互相垂直，则 k 的值是
A. 1B. 15C. 35D. 75

2. 到两点 A3,4,5，B−2,3,0 距离相等的点 Mx,y,z 的坐标满足的条件是
A. 10x+2y+10z−37=0B. 5x−y+5z−37=0
C. 10x−y+10z+37=0D. 10x−2y+10z+37=0

3. 若向量 a=1,λ,2，b=2,−1,2，且 a，b 的夹角的余弦值为 89，则 λ 的值为
A. 2B. −2C. 2 或 −255D. −2 或 255

4. 在空间直角坐标系中，x 轴上到点 P4,1,2 的距离为 30 的点有
A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 无数个

5. 已知空间内三点 A1,0,0，B3,1,1，C2,0,1，则 AB 的长和 ∠BAC 的大小分别是
A. 6，120∘B. 6，150∘C. 6，60∘D. 6，30∘

6. 下面表示空间直角坐标系的直观图中，正确的个数是
A. 0B. 1C. 2D. 3

7. 向量 a=−2,−3,1，b=2,0,4，c=−4,−6,2，下列结论正确的是
A. a∥b，a∥cB. a∥b，a⊥cC. a∥c，a⊥bD. 以上都不对

8. 空间两点 A，B 的坐标分别为 x,−y,z，−x,−y,−z，则 A，B 两点的位置关系是
A. 关于 x 轴对称B. 关于 y 轴对称C. 关于 z 轴对称D. 关于原点对称

9. 在空间直角坐标系中，O0,0,0，A2,−5,1，B2,−2,4，C1,−4,5，则 AB⋅OC 的值是
A. 0B. 1C. 2D. 3

10. 有下列叙述：
① 在空间直角坐标系中，在 Ox 轴上的点的坐标一定是 0,b,0；
② 在空间直角坐标系中，在 yOz 平面上的点的坐标一定可写为 0,b,c；
③ 在空间直角坐标系中，在 Oz 轴上的点的坐标可记为 0,0,c；
④ 在空间直角坐标系中，在 xOz 平面上的点的坐标可写为 a,0,c．
其中正确叙述的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

11. 已知 A−1,1,2，B1,0,−1，设 D 在直线 AB 上，且 AD=2DB，设 Cλ,13+λ,1+λ，若 CD⊥AB，则 λ 的值为
A. 116B. −116C. 12D. 13

二、填空题（共5小题；共25分）
12. 在空间直角坐标系中，点 M−2,4,−3 在 zOx 平面上的射影为点 Mʹ，则点 Mʹ 关于原点对称的点的坐标是 ．

13. 若已知空间三点 A1,5,−2，B2,4,1，Cp,3,q+2 共线，则 p= ，q= ．

14. 已知正方体不在同一表面上的两顶点 A−1,2,−1，B3,−2,3，则正方体的体积是 ．

15. 已知：点 Pʹ 在 x 轴正半轴上，OPʹ=2，PPʹ 在 xOz 平面上，且垂直于 x 轴，PPʹ=1，则点 Pʹ 和 P 的坐标分别为 ， ．

16. 在空间四边形 ABCD 中，若 AB=−3,5,2，CD=−7,−1,−4，点 E，F 分别为线段 BC，AD 的中点，则 EF 的坐标为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
17. 已知向量 a=2,−1,2 与向量 b 共线，且满足 a⋅b=−18，求向量 b．

18. 求到定点 Ma,b,c 的距离为 rr>0 的点 P 的轨迹方程．

19. 平面两点间的距离公式和空间两点间的距离公式有什么关系?

20. 一个体积为 3 的三棱锥的三个顶点的坐标分别为 A0,0,0 、 B0,2,0 、 C3,1,0 ，点 E 为 BC 的中点且 DE⊥底面ABC ，求点 D 的坐标．

21. 在空间直角坐标系中，作出点 M6,−2,4．

22. 如图，已知三棱锥 P−ABC 在某个空间直角坐标系中，B3m,m,0，C0,2m,0，P0,0,2n．
（1）画出这个空间直角坐标系，并指出 AB 与 Ox 轴的正方向的夹角；
（2）若 M 为 BC 的中点，n=32m，求直线 AM 与其在平面 PBC 内的投影所成的角．
答案
第一部分
1. D
【解析】因为 ka+b=k1,1,0+−1,0,2=k−1,k,2，
2a−b=21,1,0−−1,0,2=3,2,−2，
且两向量互相垂直，
所以 k−1×3+k×2+2×−2=0，
解得 k=75．
2. A
【解析】由已知得 ∣MA∣=∣MB∣，即 x−32+y−42+z−52=x+22+y−32+z2，化简得 10x+2y+10z−37=0．
3. D
4. C
【解析】满足条件的 x 轴上的点的坐标可设为 a,0,0，则有 a−42+0−12+0−22=30，即 a−42=25，解得 a=9 或 a=−1，所以满足条件的点为 9,0,0 或 −1,0,0．
5. D
6. C
【解析】从 z 轴正方向看，x 轴正半轴逆时针方向旋转 90∘ 与 y 轴正半轴重合，①②正确．
7. C
【解析】因为 c=−4,−6,2=2−2,−3,1=2a，
所以 a∥c，
又 a⋅b=−2×2+−3×0+1×4=0，
所以 a⊥b．
8. B
【解析】由 A，B 两点的横坐标、竖坐标均互为相反数，纵坐标相同可知 A，B 关于 y 轴对称．
9. D
【解析】由题易知：AB=0,3,3，OC=1,−4,5．
所以
AB⋅OC=0×1+3×−4+3×5=0−12+15=3.
故 AB⋅OC=3．
10. C
11. B
【解析】设 Dx,y,z，则 AD=x+1,y−1,z−2，AB=2,−1,−3，DB=1−x,−y,−1−z．
因为 AD=2DB，
所以 x+1=21−x,y−1=−2y,z−2=−2−2z.
所以 x=13,y=13,z=0,
即 D13,13,0，
所以 CD=13−λ,−λ,−1−λ．
因为 CD⊥AB，
所以 CD⋅AB=213−λ+λ−3−1−λ=0，
所以 λ=−116．
第二部分
12. 2,0,3
【解析】由题意可得 Mʹ−2,0,−3，Mʹ 关于原点对称的点的坐标为 2,0,3．
13. 3，2
14. 64
【解析】棱长为 a，则 a2+a2+a2=42+−42+42，所以 a=4，所以 V=43=64．
15. 2,0,0，2,0,1 或 2,0,−1
【解析】根据题意，画出图形，如图所示，再根据坐标的意义，写出点 Pʹ 和 P 的坐标．
若点 P 在 xOy 平面上方，则点 P 的坐标为 2,0,1；
若点 P 在 xOy 平面下方，则点 P 的坐标为 2,0,−1．
16. −2,−3,−3
【解析】因为点 E，F 分别为线段 BC，AD 的中点，
所以 EF=OF−OE，OF=12OA+OD，OE=12OB+OC，
所以
EF=12OA+OD−12OB+OC=12BA+CD=123,−5,−2+−7,−1,−4=12−4,−6,−6=−2,−3,−3.
第三部分
17. 设 b=λa=2λ,−λ,2λ，
则 a⋅b=4λ+λ+4λ=−18，
解得 λ=−2．
因此 b=−4,2,−4．
18. 设动点 P 的坐标为 x,y,z．
由 PM=r，得 x−a2+y−b2+z−c2=r，
即所求的轨迹方程为 x−a2+y−b2+z−c2=r2．
19. 当 z1=z2=0 时，点 P1x1,y1,z1，P2x2,y2,z2 都在坐标平面 xOy 上，空间两点间的距离公式成为平面两点间的距离公式．因此，平面两点间的距离公式是空间两点间的距离公式的特例，空间两点间的距离公式是平面两点间的距离公式的推广．
20. 由上述解答可知 AB=BC=CA=2，DE=3．
因为点 E 为 BC 的中点，所以点 E 的坐标为 32,32,0．
若点 D 在平面 ABC 的上方，则点 D 的坐标为 32,32,3；
若点 D 在平面 ABC 的下方，则点 D 的坐标为 32,32,−3．
21. 方法一：如图所示，
从原点 O 出发沿 x 轴正方向移动 6 个单位长度得到点 M1，
再将点 M1 沿 y 轴负方向移动 2 个单位长度得到点 M2，
然后将点 M2 沿 z 轴正方向移动 4 个单位长度得到点 M；
方法二：先确定点 M26,−2,0 在 xOy 平面上的位置，
因为点 M 的竖坐标为 4，
则 ∣MM2∣=4，且 MM2 平行于 z 轴，
点 M 和 z 轴的正半轴在 xOy 平面的同侧；
方法三：以 O 为一个顶点，构造棱长分别为 6，2，4 的长方体，
使此长方体在点 O 处的三条棱分别在 x 轴正半轴，y 轴负半轴，z 轴正半轴上，
则体对角线 OM 的端点 M 即为所求的点 M．
22. （1） 如图，以点 A 为坐标原点 O，以过 A 点且垂直于平面 PAC 的直线为 Ox 轴，以 AC 所在的直线为 Oy 轴，以 AP 所在的直线为 Oz 轴，建立空间直角坐标系．
过点 B 作 BE⊥Ox，垂足为 E．
因为 B3m,m,0，所以 E3m,0,0．
在 Rt△AEB 中，∠AEB=90∘，∣AE∣=3m，∣EB∣=m，
所以 tan∠BAE=∣EB∣∣AE∣=m3m=33，
所以 ∠BAE=30∘．
所以 AB 与 Ox 轴的正向夹角为 30∘．
（2） 连接 AM，PM，可证 ∠AMP 为 AM 与其在面 PBC 内的投影所成的角．
又 n=32m，
所以 ∣PA∣=∣AM∣．
所以所求的角为 45∘．