高中数学人教A版 (2019)选择性必修第一册第二章直线和圆的方程2.1 直线的倾斜角与斜率课后练习题

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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修第一册第二章直线和圆的方程2.1 直线的倾斜角与斜率课后练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共14小题；共70分）
1. 经过两点 A2,1，B1,m 的直线的倾斜角为锐角，则 m 的取值范围是
A. m<1B. m>−1C. −11或m<−1

2. 已知直线的斜率是 6，在 y 轴上的截距是 −4，则此直线方程是
A. 6x−y−4=0B. 6x−y+4=0C. 6x+y+4=0D. 6x+y−4=0

3. 若如图中直线 l1 、 l2 、 l3 的斜率分别为 k1 、 k2 、 k3，则
A. k1
4. 经过点 M1,1 且在两坐标轴上截距相等的直线方程是
A. x+y=2B. x+y=1
C. x=1 或 y=1D. x+y=2 或 x=y

5. 已知 A3,5，B4,7，C−1,x 三点共线，则实数 x 的值是
A. −1B. 1C. −3D. 3

6. 直线 3x−y+3=0 的倾斜角是
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 150∘

7. 已知直线经过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为( )
A. 3B. −2C. 2D. 不存在

8. 设直线 l 过原点，其倾斜角为 α，将直线 l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 45∘，得到直线 l1，则直线 l1 的倾斜角为
A. α+45∘
B. α−135∘
C. 135∘−α
D. 当 0∘≤α<135∘ 时为 α+45∘；当 135∘≤α<180∘ 时为 α−135∘

9. 过点 Ax1,y1 和 Bx2,y2 两点的直线方程是
A. y−y1y2−y1=x−x1x2−x1
B. y−y1x−x1=y2−y1x2−x1
C. y2−y1x−x1−x2−x1y−y1=0
D. x2−x1x−x1−y2−y1y−y1=0

10. 已知直线 Ax+By+C=0 不经过第三象限，则 A，B，C 应满足
A. AB>0，BC>0B. AB>0，BC<0C. AB<0，BC>0D. AB<0，BC<0

11. 过点 P3,2 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是
A. x−y−1=0B. x+y−5=0 或 2x−3y=0
C. x+y−5=0D. x−y−1=0 或 2x−3y=0

12. 将直线 l:y=2x+1 绕点 A1,3 按逆时针方向旋转 45∘ 得到直线 lʹ，则直线 lʹ 的方程为
A. 2x−y+1=0B. x−y+2=0C. 3x−2y+3=0D. 3x+y−6=0

13. 在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，设函数 fx=kx−2+3 的图象为直线 l，且 l 与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点，给出下列四个命题：
①存在正实数 m，使 △AOB 的面积为 m 的直线 l 仅有一条；
②存在正实数 m，使 △AOB 的面积为 m 的直线 l 仅有两条；
③存在正实数 m，使 △AOB 的面积为 m 的直线 l 仅有三条；
④存在正实数 m，使 △AOB 的面积为 m 的直线 l 仅有四条．
其中所有真命题的序号是
A. ①②③B. ③④C. ②④D. ②③④

14. 若直线 a1x+b1y+1=0 与 a2x+b2y+1=0 的交点是 P2,3，则过两点 Q1a1,b1，Q2a2,b2 的直线方程是
A. 3x+2y=0B. 2x−3y+5=0C. 2x+3y+1=0D. 3x+2y+1=0

二、填空题（共6小题；共30分）
15. 若直线与两坐标轴相交且被两坐标轴截得的线段中点是 2,4，则此直线的方程为．

16. 如图直线 l1 的倾斜角是 150∘，l2⊥l1，垂足为 B．l1，l2 与 x 轴分别相交于点 C，A，l3 平分 ∠BAC，则 l3 的倾斜角为．

17. 已知三点 Aa,2，B3,7，C−2,−9a 在同一条直线上，则实数 a 的值为．

18. 已知点 M 是直线 l：y=3x+3 与 x 轴的交点，将直线 l 绕点 M 旋转 30∘，所得到的直线 lʹ 的方程为．

19. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中 Ai 的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 Bi 的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1,2,3．
（1）记 Qi 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1，Q2，Q3 中最大的是．
（2）记 pi 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1，p2，p3 中最大的是．

20. 给出下列命题：
① 若一条直线的倾斜角为 150∘，则此直线关于 y 轴的对称直线的倾斜角为 30∘；② 若 α，2α，3α 分别为三条直线的倾斜角，则 α 不大于 60∘；③ 若 α 为直线 l 的倾斜角，且 tanα=−33，则 α=30∘；④ 若直线的倾斜角 α 的正切无意义，则 α=90∘；若倾斜角 α=90∘，则此直线与坐标轴垂直．
其中，正确的是．（将所以正确命题的序号都填上）

三、解答题（共6小题；共78分）
21. 已知 △ABC 三个顶点坐标 A2,−1，B2,2，C4,1，求三角形三条边所在的直线方程．

22. 已知 A−4,3，B2,5，C6,3，D−3,0 四点，若顺次连接 A，B，C，D 四点，试判断图形 ABCD 的形状．

23. 已知函数 fx=x2+2x+ax,x∈1,+∞．
（1）当 a=12 时，求函数 fx 的最小值；
（2）若对于任意的 x∈1,+∞，fx>0 恒成立，试求实数 a 的取值范围．

24. 已知直线 l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为 18，求直线 l 的方程．

25. 点 Mx,y 在函数 y=−2x+8 的图象上，当 x∈2,3 时，求：
（1）yx 的最大值与最小值；
（2）y+1x+1 的取值范围．

26. 已知菱形 ABCD 的一边 AB 所在直线的方程为 x−y+4=0，一对角线端点为 A−2,2，C4,4，求菱形另三边所在直线的方程．
答案
第一部分
1. A
【解析】kAB=m−11−2=1−m．因为直线 AB 的倾斜角为锐角，所以 kAB>0，即 1−m>0，所以 m<1．
2. A
3. D
【解析】由图可知 k1<0，k2>0，k3>0；
又当 k>0 时，斜率越大，直线的倾斜程度越大，所以 k2>k3，
综上，k14. D
5. C
【解析】根据三点共线，可以确定 kAB=kAC，即 7−54−3=x−5−1−3，解得 x=−3．
6. C
【解析】设直线 3x−y+3=0 的倾斜角为 θ．
由直线 3x−y+3=0 化为 y=3x+3，所以 tanθ=3，
因为 θ∈0,π，所以 θ=60∘．
7. B
【解析】【分析】把直线上两点的坐标代入斜率公式进行运算，求出结果．
【解析】解：由直线的斜率公式得直线AB的斜率为k=4−20−1=−2，
故选：B．
【点评】本题考查直线的斜率公式的应用．
8. D
【解析】由倾斜角的取值范围知只有当 0∘≤α+45∘<180∘，即 0≤α<135∘ 时，l1 的倾斜角才是 α+45∘；而 0∘≤α<180∘，所以当 135∘≤α<180∘ 时，l1 的倾斜角为 α−135∘（如图）．
9. C
【解析】当 x1≠x2 时，过点 A，B 的直线斜率 k=y2−y1x2−x1，
直线方程为 y−y1=y2−y1x2−x1x−x1，
整理，得 y2−y1x−x1−x2−x1y−y1=0；
当 x1=x2 时，过点 A，B 的直线方程是 x=x1 或 x=x2，
即 x−x1=0 或 x−x2=0，
满足 y2−y1x−x1−x2−x1y−y1=0．
所以过 A，B 两点的直线方程为 y2−y1x−x1−x2−x1y−y1=0．
故选C．
10. B
11. B
12. D
【解析】直线 l:y=2x+1 绕点 41,3 按逆时针方向旋转 45∘ 得到直线 lʹ，
设直线 lʹ 的斜率为 k，
则根据到角公式的应用，tan45∘=k−21+2k=1，
解得 k=−3，
所以直线 lʹ 的方程为 y−3=−3x−1，
整理得 3x+y−6=0．
13. D
【解析】由题得 k≠0，则 S△AOB=12∣4k+9k−12∣,k>0,12∣12−4k+9k∣,k<0,
当 k>0，4k+9k≥12，当且仅当 k=32 时取等号；当 k<0，−4k+−9k≥12，当且仅当 k=−32 时取等号；
所以当 012 时有四个解．
14. C
第二部分
15. 2x+y−8=0
16. 30∘
【解析】因为直线 l1 的倾斜角为 150∘，所以 ∠BCA=30∘，所以 l3 的倾斜角为 12×90∘−30∘=30∘．
17. 2 或 29
【解析】因为 A，B，C 三点共线，所以 kAB=kBC，即 53−a=9a+75，所以 a=2 或 29．
18. x+3=0 或 y=33x+3
【解析】在 y=3x+3 中，令 y=0，得 x=−3，即 M−3,0．因为直线 l 的斜率为 3，所以其倾斜角为 60∘．若直线 l 绕点 M 逆时针旋转 30∘，则得到的直线 lʹ 的倾斜角为 90∘，此时直线 lʹ 的斜率不存在，故其方程为 x+3=0；若直线 l 绕点 M 顺时针旋转 30∘，则得到的直线 lʹ 的倾斜角为 30∘，此时直线 lʹ 的斜率为 tan30∘=33，故其方程为 y=33x+3．综上所述，所求直线 lʹ 的方程为 x+3=0 或 y=33x+3．
19. Q1，p2
【解析】（1）若 Qi 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，Q1=A1的纵坐标+B1的纵坐标； Q2=A2的纵坐标+B2的纵坐标，Q3=A3的纵坐标+B3的纵坐标，由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3 中最大的是 Q1；
（2）若 pi 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 pi 为 AiBi 中点与原点连线的斜率，故 p1，p2，p3 中最大的是 p2．
20. ①
【解析】本题的实质是对直线的倾斜角的理解．作倾斜角为 150∘ 的直线关于 y 轴的对称直线，所得直线倾斜角与
原直线倾斜角互补，故①正确；当 α=60∘ 时，3α=180∘，故 ② 错误；由 tanα=−33 得到 α=150∘，故 ③ 错误；若倾斜角 α=90∘，直线与 x 轴垂直，与 y 轴平行或重合，故 ④ 错误．
第三部分
21. 因为 A2,−1，B2,2，A，B 两点横坐标相同，直线 AB 与 x 轴垂直，故其方程为 x=2．
因为 A2,−1，C4,1．
所以由直线方程的两点式可得 AC 的方程为 y−1−1−1=x−42−4，即 x−y−3=0．
同理可由直线方程的两点式得直线 BC 的方程为 y−21−2=x−24−2，即 x+2y−6=0．
所以三边 AB，AC，BC 所在的直线方程分别为 x=2，x−y−3=0，x+2y−6=0．
22. 判断几何图形的形状要先画图后证明．
A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置如图所示，
由斜率公式可得
kAB=5−32−−4=13，
kCD=0−3−3−6=13，
kAD=0−3−3−−4=−3，
kBC=3−56−2=−12，
所以 kAB=kCD，由图可知，AB 与 CD 不重合，
所以 AB∥CD，又 kAB≠kBC，
所以 AD 与 BC 不平行．
又因为 kAB⋅kAD=13×−3=−1，
所以 AB⊥AD．
故四边形 ABCD 为直角梯形．
23. （1）当 x=1 时，ymin=72．
（2） a>−3．
24. x+y−6=0 或 x+y+6=0 或 x−y−6=0 或 x−y+6=0．
25. （1）因为 y=−2x+8，
所以 yx=8x−2．
设 fx=8x−2，
则 fx 在 2,3 上单调递减．
当 x=2 时，fxmax=2；
当 x=3 时，fxmin=23．
故 yx 的最大值为 2，最小值为 23．
（2）由于 y+1x+1=y−−1x−−1，
其几何意义是过 Mx,y，N−1,−1 两点的直线的斜率．
设函数 y=−2x+8 在 x∈2,3 上的图象的左，右端点分别为 A2,4，B3,2．
因为 kNA=53，kNB=34，
所以 34≤y+1x+1≤53．
所以 y+1x+1 的取值范围为 34,53．
26. CD:x−y=0，AD:x+7y−12=0，BC:x+7y−32=0．