高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置当堂检测题

人教A版（2019）选择性必修第一册《2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系》提升训练

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）若，则直线被圆所截得的弦长为

A.  B.  C.  D.

2.（5分）方程所表示的直线与圆的位置关系是

A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定

3.（5分）两内切圆的半径长是方程的两根，已知两圆的圆心距为，其中一圆的半径为，则

A. 或 B.  C. 或 D.

4.（5分）若圆的半径为，且经过坐标原点，过圆心作圆的切线，切点为，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

5.（5分）直线被圆所截得的弦长为

A.  B.  C.  D.

6.（5分）以直线经过的定点为圆心，为半径的圆的方程是

A.  B.
C.  D.

7.（5分）圆截直线所得的弦长为，则

A.  B.  C.  D.

8.（5分）已知，，点是圆上任意一点，则面积的最大值为

A.  B.  C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为，，则

A. 线段的长度大于
B. 线段的长度小于
C. 当直线与圆相切时，原点到直线的距离为
D. 当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为

10.（5分）已知圆与直线：和：共有两个公共点，则圆的方程可以是

A.  B.
C.  D.

11.（5分）已知圆：和一点   

A. 点在圆外面
B. 过点的圆的最短弦所在直线方程是
C. 过点作倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为
D. 过点作斜率为的直线与圆有公共点，则

12.（5分）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，过点存在直线被圆截得的弦长为，则下列点的坐标满足条件的是

A.  B.  C.  D.

13.（5分）已知圆：，直线：圆上恰有个点到直线的距离为则的值为

A.  B.  C.  D.

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）已知圆：，圆：若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得则实数的取值范围为________

在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是________

15.（5分）已知是圆内一点，则过点最长的弦所在的直线方程是______．

16.（5分）过点且与直线平行的直线被圆所截得的弦长为________.

17.（5分）若直线恒过圆：的圆心，则的最小值为__________.

18.（5分）在面直角坐系中，圆程为，若过点的线与交于点其中点第二象且，则点的横坐标为 ______ ．

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）已知直线与圆交于两点，直线过点且，与圆交于两点求由点构成四边形的面积.

20.（12分）在平面直角坐标系中，已知圆：，三个点、、均在圆上， 
求该圆的圆心的坐标； 
若，求直线的方程； 
设点满足四边形是平行四边形，求实数的取值范围．

21.（12分）已知圆：，直线：

当直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.

已知点是圆上任意一点，在轴上是否存在两个定点，，使得？若存在，求出点，的坐标；若不存在，说明理由.

22.（12分）已知圆：，过定点作斜率为的直线交圆于、两点，为的中点． 
求实数的值； 
从圆外一点向圆引一条切线，切点为，且有，求的最小值．

23.（12分）在位于城市南偏西相距海里的处，一股台风沿着正东方向袭来，风速为海里小时，台风影响的半径为海里： 
若，求台风影响城市持续的时间精确到分钟？ 
若台风影响城市持续的时间不超过小时，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】解：因为，圆， 
所以圆心到直线的距离， 
所以直线被圆所截得的弦长为 
故选： 
利用圆的性质及弦长公式即求． 
此题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

2.【答案】C;

【解析】 
该题考查直线过定点问题，考查直线与圆位置关系的判定，是基础题． 
求出直线所过定点，再由定点在圆内得答案． 
 
解：由，得， 
联立，解得． 
直线过定点， 
， 
点在圆的内部， 
则直线与圆的位置关系是相交． 
故选：． 

 

3.【答案】C;

【解析】解：根据题意，设两个圆的半径为，，且， 
则有，解可得或， 
又由、是方程的两根，则， 
当时，，，此时， 
当时，，，此时， 
故或， 
故选：． 
根据题意，设两个圆的半径为，，且，由圆心距求出的值，结合一元二次方程根与系数的关系分析可得答案． 
此题主要考查圆与圆的位置关系，涉及一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．
 

4.【答案】B;

【解析】解：由圆的半径为，且经过坐标原点，可得圆心的轨迹为， 
又圆：，其圆心，半径， 
过点作圆：的切线，切点为， 
则，当最小时，最小， 
又由点在单位圆上， 
则的最小值为， 
则的最小值为． 
故选：． 
由已知可得的轨迹，画出图形，求得的最小值，则答案可求． 
该题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．

 

5.【答案】C;

【解析】 
此题主要考查直线与圆相交的弦长. 
先根据圆的方程求得圆的圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得被截的弦的一半，则弦长可求. 
 
解：因为圆心到直线的距离为， 
所以， 
故选
 

6.【答案】A;

【解析】解：由题可知，直线过定点，所以圆方程为， 
即 
故选： 
求出圆的圆心，然后写出圆的方程即可． 
此题主要考查直线系方程的应用，圆的方程的求法，是基础题．
 

7.【答案】A;

【解析】 
由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解． 
此题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，正确运用勾股定理是解答该题的关键． 
 
解：圆的方程可化为， 
则由垂径定理可得点到直线距离为， 
圆心坐标为，由点到直线的距离公式得： 
，化简可得，解得 
故选 

 

8.【答案】C;

【解析】解：根据题意，，，则直线的方程为，且， 
圆的圆心为，其坐标为，半径，则到直线的距离， 
要求面积的最大值，则点到直线的距离最大， 
又由点是圆上任意一点，则到直线距离的最大值为， 
故面积的最大值为； 
故选：． 
根据题意，由、的坐标求出直线的方程以及的值，由圆的方程分析圆心的坐标以及圆的半径，分析可得要求面积的最大值，则点到直线的距离最大，由点与圆的位置关系分析可得到直线距离的最大值，计算即可得答案． 
该题考查点到直线的距离公式的应用，涉及三角形面积的计算，属于基础题．
 

9.【答案】AD;

【解析】解：如图示：，， 
 
根据直角三角形的等面积方法可得，，由于， 
故， 
由于，故正确，错误； 
当直线与圆相切时，由题意可知斜率存在， 
故设方程为， 
则有，即， 
即或， 
设原点到直线的距离为，则， 
当时，；当时，，故错误； 
当直线平分圆的周长时，即直线过点， 
斜率存在，设直线方程为，即， 
则，即， 
故原点到直线的距离为，则，故正确； 
故选： 
根据圆的切线的几何性质可求得，确定，可求得，即可判断，；当直线与圆相切时，设直线的方程，利用和圆相切可得，继而求得原点到直线的距离，判断；当直线平分圆的周长时，直线过点，设直线方程，可得，由此求得原点到直线的距离，判断 
此题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

10.【答案】ABD;

【解析】 
此题主要考查的是直线与圆的位置关系，关键是找出圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，属于中档题. 
根据各个选项给出的圆的方程，分别计算出圆心到直线的距离，再与圆的半径进行比较，即可找出符合条件的圆的方程． 
 
解：直线：和：化为一般式为： 
：和：，两直线平行， 
：，圆心为，半径为， 
圆心到直线：的距离为， 
直线：与圆相切， 
圆心到直线：的距离为， 
直线：与圆相切，共有两个公共点，故正确； 
，圆心为，半径为， 
圆心到直线：的距离为， 
直线：与圆相交，有两个交点， 
圆心到直线：的距离为， 
直线：与圆相离，无公共点，故正确； 
，圆心为，半径为， 
圆心到直线：的距离为， 
直线：与圆相交，有两个交点， 
圆心到直线：的距离为， 
直线：与圆相交，有两个交点，故错误； 
，圆心为，半径为， 
圆心到直线：的距离为， 
直线：与圆相离，无交点， 
圆心到直线：的距离为， 
直线：与圆相交，有两个交点，故正确. 
故选
 

11.【答案】BCD;

【解析】 
此题主要考查点与圆、直线与圆的位置关系，属于一般题. 
将点坐标代入圆的方程即可判断利用过点的圆的最短弦与垂直即可判断；利用弦长公式即可判断；利用圆心到直线的距离小于等于半径即可判断 
 
解：对于、因为，所以点在圆内部，故错误； 
对于、因为圆方程可化为，圆心为，半径为， 
由于过点的圆的最短弦与垂直，又，则该弦所在直线的斜率不存在， 
故对应的方程为，故正确； 
对于、的方程为，即， 
圆心到的距离为， 
故弦长为，故正确； 
对于、因为过点作斜率为的直线方程为，即， 
因为直线与圆有公共点，则，解得，故正确， 
故选
 

12.【答案】AD;

【解析】 
此题主要考查直线与圆相交，属基础题目， 
利用弦心距、半弦长、半径满足勾股关系得解. 
  
解：圆的方程为 ， 
圆心，半径为， 
由题意过点存在直线被圆截得的弦长为， 
设圆心到直线的距离为， 
则， 
， 
则点到点的距离不小于， 
满足条件的点的坐标 或 ， 
故选
 

13.【答案】BC;

【解析】解：圆：的圆心为，半径， 
因为圆上恰有个点到直线的距离为 
所以圆心到直线的距离为， 
所以，整理得， 
解得或 
故选： 
根据圆的性质，得到圆心到直线的距离等于，由点到直线的距离公式求解即可． 
此题主要考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．
 

14.【答案】 
;

【解析】 
此题主要考查了轨迹思想以及圆与圆的位置关系的应用．其中条件“”就是用来确定点的轨迹的，一方面，根据点满足，从而得到点在动圆上，，另一方面，也在圆上，从而将所求解的问题转化为研究圆与圆的位置关系的问题，通过它们的位置关系，就可以求出变量的取值范围． 
 
解：因为圆上存在点，使经过点作圆的两条切线， 
切点为，，使，则， 
所以，即点在圆上， 
又点在圆上，圆圆心为，半径为， 
于是， 
即， 
解得实数 
故答案为 
 
此题主要考查根据圆和圆的位置关系求解参数的取值范围的问题．本题关键在于利用圆和圆有公共点建立关于的不等式，再利用直线上至少存在一点，从而将问题转化为不等式有解的问题． 
 
解：由题意知圆的方程可化为，则圆心 
设直线上一点的坐标为， 
则由题意得， 
整理得， 
此不等式有解的条件是， 
解得，故最大值为 
故答案为
 

15.【答案】x-y-3=0;

【解析】解：把圆的方程化为标准方程得： 
， 
所以圆心坐标为，又， 
根据题意可知：过点最长的弦为圆的直径， 
则所求直线为过圆心和的直线，设为， 
把两点坐标代入得：， 
解得：， 
则过点最长的弦所在的直线方程是，即． 
故答案为： 
由为已知圆内一点，可知过最长的弦为过点的直径，故过点最长的弦所在的直线方程为点和圆心确定的直线方程，所以把圆的方程化为标准，找出圆心坐标，设出所求直线的方程，把和求出的圆心坐标代入即可确定出直线的方程． 
该题考查了直线与圆的位置关系，要求学生会将圆的方程化为标准方程，会利用待定系数法求一次函数的解析式，根据题意得出所求直线为过圆心和的直线是本题的突破点．
 

16.【答案】;

【解析】 
此题主要考查直线的点斜式方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式. 
【解析】 
解：设与直线平行的直线方程为， 
将点代入直线得， 
所以该直线方程为， 
圆的圆心为，半径， 
所以点到直线的距离为， 
所以被截得的弦长为， 
故答案为 

 

17.【答案】 
;

【解析】 
此题主要考查直线和圆的位置关系，注意运用直线过圆心，考查乘法和均值不等式的运用，考查运算能力，属于中档题． 
求得圆的圆心，代入直线方程，可得、，即有，计算、运用基本不等式，即可得到最小值． 
 
解：圆：的圆心为， 
由题意可得、， 
则 
 
当且仅当时，取得最小值 
故答案为
 

18.【答案】1;

【解析】解：图所示，  
以，  
解，  
与圆的方联立，  
以点的横标为． 
则点为圆，为半径的圆方程为  
消得：，  
，  
 
据题意画出形，结图得出点在以点为心，为半上，写出圆的方程，与圆的方联立去求得的值即可．  
本题查了直线与圆的程应用问题，也考了化法与数形结合的应问题，是基题目．
 

19.【答案】解：由题知，设直线，代入点得，

即直线，

圆，化为， 
圆心坐标为，半径为， 
则直线过圆心 ，所以，

又圆心到直线的距离为，

，

    到的距离，

由构成四边形为梯形，

且面积;

【解析】此题主要考查两条直线平行的判定，点到直线的距离公式，两平行直线间的距离，直线与圆的位置关系及判定，属于中档题． 
先由直线过点且，求出的方程，再分别求出弦长，，及两平行线间的距离，即可求由构成梯形的面积.
 

20.【答案】解：将代入圆：得，解得， 
，半径． 
，，且， 
设直线：，即， 
圆心到直线的距离， 
由勾股定理得，，，， 
或， 
所以直线的方程为或． 
设，， 
所以， 
因为点在圆上，所以 
将代入，得 
， 
于是点既在圆上，又在圆上， 
从而圆与圆有公共点， 
所以， 
解得． 
因此，实数的取值范围是;

【解析】该题考查了直线与圆的关系，涉及了向量知识，弦心距公式，点到直线的距离公式等内容，属于中档题． 
将点代入圆的方程可得的值，继而求出半径和圆心； 
可设直线方程为：，可得圆心到直线的距离，结合弦心距定理可得的值，求出直线方程； 
设，，得，， 
于是点既在圆上，又在圆上，从而圆与圆上有公共点，即可求解．
 

21.【答案】解：由得， 
因此圆的圆心，半径 
因为圆心到直线的距离， 
而直线与圆相交于，两点， 
所以 
又因为，所以， 
即，解得， 
因此直线的方程为或 
设，， 
因为点是圆上任意一点，而点的轨迹方程为， 
所以 
若在轴上存在两个定点，，使得成立， 
即对恒成立， 
即对恒成立， 
化简得对恒成立， 
即对恒成立， 
因此，解得或， 
所以满足题意的定点，存在， 
其坐标为，或，;

【解析】

此题主要考查了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，直线与圆的位置关系及判定和圆方程的综合应用，属于较难题. 
利用圆的标准方程得圆的圆心和半径，再利用点到直线的距离得直线与圆的相交弦长，再结合题目条件，计算得结论； 
设，，，由点是圆上任意一点得，再利用若在轴上存在两个定点，，使得成立，结合两点间的距离公式得对恒成立，从而得，从方程有解得满足题意的定点，存在，再求出点，的坐标.
 

22.【答案】解：由得因为为的中点，所以在圆内且所以，解得由得圆：即，所以圆心，半径设点坐标为，因为为圆的切线，所以，所以，又，所以，则，整理，得由于 ，故取最小值，即取最小值，点到圆的圆心距离，所以，的最小值为，所以，的最小值为;

【解析】此题主要考查了直线与圆相切，圆中的最值问题，属于中档题.由圆的方程可得，由题意得在圆内且，即可求得实数的值；由得圆，设点坐标为，结合题意得，从而有，可得取最小值，即取最小值，计算可得结果.
 

23.【答案】解：（1）由题意，AB=70，AC=50，则BC==20，  
∵风速为120海里/小时，  
∴台风影响城市A持续的时间为2××60≈49分钟；  
（2）由题意，|BC|≤60，  
∴≤60，  
∵r＞5，  
∴5＜r≤10;
 

【解析】 
由题意，，，则，根据风速为海里小时，即可得出结论；  
若台风影响城市持续的时间不超过小时，，求的取值范围．  
此题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．