2024年中考数学重难点题型之二次函数专题16 二次函数与正方形存在性问题（原卷版）

2024年中考数学重难点题型之二次函数专题16 二次函数与正方形存在性问题

解题点拨

作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：

（1）有一个角为直角的菱形；

（2）有一组邻边相等的矩形；

（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．

依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．

从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）．

比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解．

从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：

（1）2个定点+2个全动点；

（2）1个定点+2个半动点+1个全动点;

甚至可以有：（3）4个半动点．

不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！

常用处理方法：

思路1：从判定出发

若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；

若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；

若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．

思路2：构造三垂直全等

若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．

总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系．

正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主．

例：在平面直角坐标系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形．

如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．

至于具体求点坐标，以为例，构造△AMB≌△，即可求得坐标．至于像、这两个点的坐标，不难发现，是或的中点，是或的中点．

题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路．

直击中考

1．如图，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点．

(1)求该二次函数的解析式及点的坐标；

(2)点为抛物线上一点，过作轴交直线于点，点为轴上一点，点为坐标系内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，直接写出点的坐标．

2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线交于、两点，，，其中点是抛物线的顶点，交y轴于点．

(1)求二次函数解析式；

(2)点是抛物线第三象限上一点（不与点、重合），连接，以为边作正方形，当顶点或恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的点的坐标．

3．（2022·海南·统考中考真题）如图1，抛物线经过点，并交x轴于另一点B，点在第一象限的抛物线上，交直线于点D．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；

(3)点Q在抛物线上，当的值最大且是直角三角形时，求点Q的横坐标；

(4)如图2，作交x轴于点，点H在射线上，且，过的中点K作轴，交抛物线于点I，连接，以为边作出如图所示正方形，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．

4．（2022·山东泰安·统考中考真题）若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C．

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．

①若点N在线段上，且，求点M的坐标；

②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．

5．（2020·辽宁锦州·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图，直线与抛物线交于A,D两点，与直线于点E．若是线段上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线于点G，交直线于点H．

①当点F在直线上方的抛物线上，且时，求m的值；

②在平面内是否在点P，使四边形为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2020秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．直线与抛物线交于，两点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)用配方法求顶点的坐标；

(3)点是对称轴右侧抛物线上任意一点，设点的横坐标为．

①过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，当时，请直接写出点坐标；

②连接，以为边作正方形，是否存在点使点恰好落在对称轴上？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

7．如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点B的坐标是

(1)求直线及抛物线的解析式；

(2)C为抛物线上的一点，的面积为3，求点C的坐标；

(3)P在抛物线上，Q在直线上，M在坐标平面内，当以A，P，Q，M为顶点的四边形为正方形时，直接写出点M的坐标．

8．如图，抛物线与x轴交于，D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点，点E，P为抛物线的对称轴上的动点．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当最小时，求此时点E的坐标；

(3)若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C．

(1)______，______；

(2)若点P是该抛物线对称轴上的一点，点Q为坐标平面内一点，那么在抛物线上且位于x轴上方是否存在点M，使四边形为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（2022秋·湖南·九年级校考期末）如图，已知抛物线经过，，三点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接BC，点D是线段BC上方抛物线上一点，过点D作，交x轴于点E，连接AD交BC于点F，当取得最小值时，求点D的横坐标；

(3)点G为抛物线的顶点，抛物线对称轴与x轴交于点H，连接GB，点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．

①当时，求点M的坐标；

②过点M作轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，求m的值．

11．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系．xOy中，直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（﹣2，0）．

(1)求抛物线解析式；

(2)如图1，点F是直线AB下方抛物线上一动点，连接FA，FB，求出四边形FAOB面积最大值及此时点F的坐标．

(3)如图2，在（2）问的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内任意一点M使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

12．综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C，且，点F是直线AB下方抛物线上的动点，连接FA，FB．

(1)求抛物线解析式；

(2)当点F与抛物线的顶点重合时，的面积为______；．

(3)求四边形FAOB面积的最大值及此时点F的坐标．

(4)在（3）的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M，使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

13．（2022·辽宁沈阳·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交y轴于点D，直线AB与之相交，且是抛物线的顶点．

(1)b＝______，c＝______；

(2)如图1，点P是第四象限抛物线上一点，且满足，抛物线交x轴于点C，连接PC．

①求直线PB的解析式；

②求PC的长；

(3)如图2，点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．

14．（2022·四川成都·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．

(1)b＝______，c＝______；

(2)若点D为第四象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，求出DE+FG的最大值及此时点D的坐标；

(3)若点P是该抛物线对称轴上的一点，点Q为坐标平面内一点，那么在抛物线上且位于x轴上方是否存在点M，使四边形OMPQ为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

15．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；

(2)求△BCD的面积；

(3)点M为抛物线上一动点，点N为平面内一点，以A，M，I，N为顶点作正方形，是否存在点M，使点I恰好落在对称轴上？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

16．（2022秋·浙江·九年级专题练习）直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．

①如图1，当点为抛物线顶点时，求长．

②如图2，当时，求点的坐标；

(3)如图3，在（2）②的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点.是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．