备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）专题04 等式与不等式性质（教师版）

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备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）专题04 等式与不等式性质、一元二次不等式
（核心考点精讲精练）
【备考策略】1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质
2.能够利用不等式的性质解决有关问题
3.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及根的个数
4.能借助一元二次函数求解一元二次不等式:并能用集合和区间表示
5.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数方程的联系



知识讲解
1. 等式的性质
性质1 如果，那么；
性质2 如果，，那么；
性质3 如果，那么；
性质4 如果，那么；
性质5 如果，，那么；

2. 作差法比较大小关系




3. 不等式的性质
性质1 对称性
性质2 传递性
性质3 可加性
性质4 可乘性
性质5 同向可加性
性质6 同向同正可乘性
性质7可乘方性
性质8可开方性
若a＞b＞0，m＞0，则＜；＞，(b－m＞0)；＞；＜，(b－m＞0)．　

4. 二次函数的图象与性质




函数图象


开口方向
向上
向下
对称轴方程

最值


5. 一元二次方程求根公式及韦达定理

一元二次方程求根公式
的根为：
韦达定理（根与系数的关系）
的两根为，；则

6. 解一元二次不等式
“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系
判别式




一元二次方程

的根
有两个不等实根
，（设）
有两个相等实根

无实数根
二次函数

的图象




的解集




的解集

∅
∅

ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＞0且b2－4ac＜0(x∈R)．
ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0(x∈R)．

7. 解分式不等式
① ②
③ ④
例题：






8. 解单绝对值不等式
或

的解集为：


考点一、由不等式性质判断式子大小关系

1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）若，，，且，则下列不等式一定成立的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用不等式的性质，判断选项的结论是否成立.
【详解】若，，，满足，但，，不成立，A选项错误；
，，则有，即，B选项正确；
，当时，不成立，C选项错误；
当时，，则D选项错误.
故选：B
2．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由不等式的基本性质和特值法即可求解.
【详解】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确；
对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则，B选项错误；
对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误；
对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误.


1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列不等式正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，，且，则
【答案】D
【分析】举例说明选项ABC错误；利用作差法证明选项D正确.
【详解】对于A，当，，时满足，但，所以A错误；
对于B，当，，时，满足，但，所以B错误；
对于C，由不等式的基本性质易知，当，，时满足，，但，所以C错误；
对于D，，所以，故D正确．
故选：D．
2．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）若，则下列结论中不正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意先求出，根据它们的关系分别用作差法判断和选项，利用不等式的性质判断选项，由几何意义判断选项．
【详解】解：，，
、，，则，故对；
、，则，故对；
、，，故对；
、，成立，故不对．
故选：．
3．（2023·湖南永州·统考三模）已知，下列命题为真命题的是（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【分析】根据不等式的性质结合作差法逐项判断即可.
【详解】对于A项，，因为，所以，所以，
所以，即：，故A项错误；
对于B项，，因为，所以，，所以，即：，故B项正确；
对于C项，，因为，所以，，，
所以，即：，故C项错误；
对于D项，因为，
又因为，所以，，
所以，即：，故D项正确.
故选：BD
4．（2023·吉林·统考模拟预测）已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据作差法，结合举反例判断即可.
【详解】对A，因为，又，故，则，故A正确；
对B，取，因为，故B错误；
对C，因为，由题意，，，故，即，故C正确；
对D，取，则，则，故D错误；
故选：AC

考点二、由不等式范围求解不等式范围

1．（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.
【详解】设，
所以，解得，
所以，
又，
所以，故A，C，D错误.
故选：B.


1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且满足，则的取值范围是？
【答案】
【分析】由，再结合同向不等式的可加性求解即可.
【详解】设，则，解得，
所以，
又，所以，
又，
所以，
即.
故的取值范围为.

考点三、作差法或作商法比较式子大小关系

1．（2023·全国·高三专题练习）比较与的大小．
【答案】