备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）专题06 权方和不等式（高阶拓展）（教师版）

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备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）专题06 权方和不等式（高阶拓展）（核心考点精讲精练）【学习目的】本节内容为基本不等式的高阶版，能快速解决基本不等式中的最值问题 知识讲解 考点解析例1：若正数，满足，则的最小值为______________解：，即，当且仅当时取等号，即，时取等号所以的最小值为 例2：若，，，则的最小值为______________解：即，则，当且仅当时取等号 例3：若，，，则的最小值为______________解：当且仅当时取等号 例4：若，，则的最小值为______________解：当且仅当时取等号，即，所以的最小值为 例5：已知正数，，满足，则的最小值为______________解：当且仅当时取等号 例6：已知正数，，满足，则的最小值为______________解：当且仅当时取等号 例7：已知正数，满足，则的最小值为______________解：当且仅当时取等号 例8：求的最小值为______________解：当且仅当时取等号 例9：求的最小值为______________解：当且仅当时取等号 例10：已知正数，满足，则的最小值为______________解：当且仅当时取等号 例11：已知，求的最小值为______________解：当且仅当时取等号 例12：已知，，，求的最大值为______________解：当且仅当时取等号 例13：求的最大值为______________解：当且仅当时取等号 例14：已知正数，，满足，求的最大值为___________解：当且仅当时取等号 一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）设，为正数，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将拼凑为，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.【详解】∵，∴，即，∴，当且仅当，且时，即，时等号成立.故选：.2．（2023·河北邯郸·统考一模）已知，，且，则的最小值是（    ）A．2 B．4 C． D．9【答案】C【分析】根据“乘1法”，运用基本不等式即可求解.【详解】依题意，因为，所以，则，当且仅当，时，等号成立．故选：C.3．（2023·广西·校联考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.【详解】解：依题意，，故，当且仅当时等号成立.故选:A.4．（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（   ）A．12 B．25 C．27 D．36【答案】C【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可；【详解】解：因为，所以．因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以，的最小值为27．故选：C5．（2023·全国·高三专题练习）若正数，满足，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】凑配出积为定值，然后用基本不等式得最小值．【详解】解：由题意，正数，满足，，当且仅当，时取等号，故选：B.6．（2023·全国·高三专题练习）若，，，则的最小值等于（    ）A．2 B． C．3 D．【答案】D【分析】由余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由，且，所以，又由，可得，则，当且仅当，即时，等号成立，所以最小值等于.故选：D.7．（2023·全国·高三专题练习）若，，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】解：因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，所以，的最小值为.故选：B8．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式求解．【详解】因为，，且，所以，当且仅当，即时等号成立，故选：D．9．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ）A． B． C．3 D．1【答案】C【分析】由，再由基本不等式即可求出答案.【详解】因为，则则，当且仅当即时等号成立.所以的最小值为.故选:C．10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，那么的最小值为（    ）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】由题意可得，再由基本不等式求解即可求出答案.【详解】因为，，，则.当且仅当即时取等.故选：C.11．（2023·全国·高三专题练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ）A．16 B．25 C．36 D．49【答案】B【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，又，即，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以函数的最小值为25.故选：B12．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知得出，将所求代数式化为，与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为，且，则，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.13．（2023·全国·高三专题练习）已知正数x，y满足，则的最小值（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用换元法和基本不等式即可求解.【详解】令，，则，即，∴，当且仅当，即，时，等号成立，故选：A.14．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（    ）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】根据题意，将所求式子进行整理变形，再利用基本不等式即可求解.【详解】，等式恒成立，，由于，所以，，，当且仅当时，即时取等号.，，故的最小值为1.故选：.15．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知锐角满足，则的最小值为（    ）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】计算出，再将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.【详解】，，、均为锐角，则，，，当且仅当时，即当时，故，时等号成立.因此，的最小值为.故选：C 二、填空题16．（2023·天津红桥·统考二模）已知x，，，则的最小值______．【答案】【分析】将展开，利用基本不等式即可求解.【详解】，当且仅当即，的最小值为，故答案为：17．（2023·全国·高三专题练习）已知正数x、y满足，求的最小值为____________.【答案】/【分析】利用1的妙用，由利用基本不等式求解.【详解】因为正数、满足，所以当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为，故答案为：.18．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知正实数x，y满足，则的小值为______．【答案】【分析】利用待定系数法可得出，与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】设，可得，解得，所以，，当且仅当时，即等号成立，则的小值为.故答案为：9.19．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知，且，则的最小值为______．【答案】2【分析】根据基本不等式凑项法和“1”的巧用即可求得最值.【详解】因为，所以，又，所以则，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.20．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值为______.【答案】【分析】由，结合基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，所以，因为为正实数，所以， 所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故答案为：.21．（2023·全国·高三专题练习）已知（），则的最小值为___________.【答案】4【分析】根据可得，再根据基本不等式求解即可.【详解】因为，故，当且仅当，即时取等号.故的最小值为4.故答案为：422．（2023·全国·高三专题练习）若正实数，满足，则的最小值是__________．【答案】【详解】根据题意，若，则；又由，则有，则；当且仅当时，等号成立；即的最小值是，故答案为.点睛：本题主要考查了基本不等式，关键是根据分式的运算性质，配凑基本不等式的条件，基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.23．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．【答案】【分析】根据，并结合基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】解：因为，所以，当且仅当时，等号成立．故函数的最小值为.故答案为：24．（2023·全国·高三专题练习）设且，则的最小值为_________．【答案】【分析】由已知条件可知，且，再展开，并利用基本不等式求其最小值.【详解】因为，所以，，因为，所以，所以，当且仅当，即，时取得最小值．故答案为：.25．（2023秋·贵州贵阳·高一统考期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为______．【答案】8【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可.【详解】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立，又，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8.故答案为：8.