高中数学2.3 直线的交点坐标与距离公式同步训练题

这是一份高中数学2.3 直线的交点坐标与距离公式同步训练题，共19页。试卷主要包含了直线x+3y−5=0的倾斜角是等内容，欢迎下载使用。

人教A版（2019）选择性必修第一册《2.3.3 点到直线的距离公式》提升训练

一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）直线x+3y−5=0的倾斜角是()
A、π6
B、π3
C、2π3
D、5π6
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
2.（5分）已知△ABC的顶点A(5,5)，AB边上的中线所在直线方程为x−5y+6=0，AC边上的高所在直线方程为3x+2y−7=0，则BC所在直线的方程为()
A、x+2y+1=0
B、x−2y+3=0
C、x−2y−5=0
D、x+2y−1=0
A. x+2y+1=0 B. x−2y+3=0
C. x−2y−5=0 D. x+2y−1=0
3.（5分）已知两不同直线m，n与三不同平面α，β，γ，下列条件能推出α//β的是( )
A. α⊥γ且β⊥γ B. m⊂α，n⊂β，m//n
C. m⊥α且m⊥β D. m⊂α，n⊂α，m//β，n//β
4.（5分）如图，四边形ABCD为矩形，下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF与平面ABCD平行．EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是()

A. 4立方丈 B. 5立方丈 C. 6立方丈 D. 8立方丈
5.（5分）在直线2x−3y+5=0上求点P，使点P到A(2,3)的距离为13，则点P的坐标是()
A. (5,5) B. (−1,1)
C. (5,5)或(−1,1) D. (5,5)或(1,−1)
6.（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为()

A. 6 B. 9 C. 92 D. 3
7.（5分）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，若异面直线BC1与AC所成的余弦值为14，则三棱柱ABC−A1B1C1的体积为()
A. 6 B. 3 C. 2 D. 1
8.（5分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中直角三角形的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.（5分）由直线 上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
10.（5分）直线y=kx+3被圆(x−2)2+(y−3)2=4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为(    )
A. π6或5π6 B. −π3或π3 C. −π6或π6 D. π6
11.（5分）设关于x的方程4x−2x+1−b=0(b∈R)，若该方程有两个不相等的实数解，则b的取值范围是（ ）
A. [-1，0] B. [-1，0） C. （-1，0） D. （0，1）
12.（5分）在空间直角坐标系O-xyz中，A(0,0,1)，B(m2,0,0)，C(0,1,0)，D(1,2,1)，若四面体OABC的外接球的表面积为6π，则异面直线OD与AB所成角的余弦值为

A. 3030 B. 510 C. 16 D. 24
13.（5分）三棱锥P-ABC中，ΔABC为等边三角形，PA=PB=PC=1，PA⊥PB，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为(    )
A. 12π B. 3π C. π6 D. 2π
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）若直线l：xa+yb=1(a>0,b>0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是______．
15.（5分）利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论中，正确的是________(填序号).
16.（5分）如图，已知在三角形ABC中，∠A=60°，∠C=90°，AB=4cm，质点P1从点A出发沿A→B→C方向，同时质点P2也从点A出发沿A→C→B方向在该三角形上运动，直至它们首次相遇为止．若质点P1的速度为2cms，质点P2的速度为1cms，则AP1→⋅AP2→的最大值为 ______.

17.（5分）已知三棱锥P−ABC中，O为AB中点，PO⊥平面ABC，∠APB=90°，PA=PB=2，则下列说法中正确的序号为 ______. 
①若O为ΔABC的外心，则PC=2； 
②若ΔABC为等边三角形，则AP⊥BC； 
③当∠ACB=90°时，PC与平面PAB所成角的范围为(0,π4]； 
④当PC=4时，M为平面PBC内动点，若OM//平面PAC，则M在ΔPBC内的轨迹长度为2.

18.（5分）在数列{an}中，a1=6，an+1an=n+3n，那么{an}的通项公式是 ______ ．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，点E在BC上(异于点B)，F、G分别为PD、PA的中点． 
 
 
 

(1)证明：B、E、F、G四点共面；
(2)证明：平面PAB⊥平面BEFG.
20.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2−4x=0及点A(−1,0)，B(1,2). 
(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于D，E两点，且DE=AB，求直线l的方程； 
(2)在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12成立？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由； 
(3)对于线段AC上的任意一点Q，若在以点B为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段QN的中点，求圆B的半径r的取值范围．
21.（12分）如图正三棱柱ABC−A'B'C'的所有棱长均为2，E、F、G、H分别是棱AA'、AB、AC、B'C'的中点. 
(1)求证：B'C'//面EFG； 
(2)求三棱锥H−EFG的体积； 
(3)求二面角E−FG−H的余弦值.

22.（12分）如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2.以BD的中点O为球心，BD为直径的球面交PD于点M.

(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；
(2)求直线PC与平面ABM所成角的正切值；
(3)求点O到平面ABM的距离．
23.（12分）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sin2B2b=cos(C+B)−cosCsinBc.
(1)求角A的大小;
(2)若三角形ABC的面积为1，b+c=2+2，求a.

答案和解析
1.【答案】null;
【解析】解：x+3y−5=0的斜率为−33， 
则所求倾斜角为56π. 
故选：D. 
根据已知条件，结合直线斜率与倾斜角的关系，即可求解． 
此题主要考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题．

2.【答案】null;
【解析】解：∵△ABC的顶点A(5,5)，AC边上的高所在直线方程为3x+2y−7=0， 
∴AC边所在直线的方程为2x−3y+5=0， 
∵AB边上的中线所在直线方程为x−5y+6=0， 
∴联立{2x−3y+5=0x−5y+6=0，解得x=−1，y=1，即C(−1,1)， 
设B(a,b)， 
则线段AB的中点M(a+52,b+52)，{a+52−5×b+52+6=03a+2b−7=0，解得{a=3b=−1，即B(3,−1)， 
∴kBC=1+1−1−3=−12， 
∴BC所在直线的方程为y−1=−12(x+1)，即x+2y−1=0. 
故选：D. 
先求出直线AC，再结合AB边上的中线所在直线方程，求出C(−1,1)，再结合中点坐标公式，求出B(3,−1)，即可求解． 
此题主要考查直线方程的求解，属于基础题．

3.【答案】C;
【解析】解：因为α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行，故A不正确； 
α，β相交时，m，n都与交线平行，m//n，满足条件，不能推出α//β，故B不正确； 
利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知结论正确，故C正确； 
α，β相交时，m，n都与交线平行，m//n，满足条件，不能推出α//β，故D不正确， 
故选：C. 
α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行； 
α，β相交时，m，n都与交线平行，m//n，满足条件； 
利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知结论正确； 
α，β相交时，m，n都与交线平行，m//n，满足条件． 
此题主要考查面面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

4.【答案】B;
【解析】解：过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H， 
过G作PQ//AD，交AB于Q，交CD于P，过H作MN//BC，交AB于N，交CD于M， 
 
则它的体积： 
V=VE−AQPD+VEPQ−FMN+VF−NBCM 
=13×EG×S△AQPD+S△EPQ×NQ+13×FH×SNBCM 
=13×1×1×3+12×3×1×2+13×1×1×3 
=5(立方丈). 
故选：B. 
过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ//AD，交AB于Q，交CD于P，过H作MN//BC，交AB于N，交CD于M，则它的体积：V=VE−AQPD+VEPQ−FMN+VF−NBCM. 
此题主要考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．


5.【答案】C;
【解析】 
此题主要考查两点间的距离公式，属基础题.
解：设点P(x,y)，则y=2x+53.
由|PA|=13，得(x−2)2+(2x+53−3)2=13，即(x−2)2=9，
解得x=−1或x=5.
当x=−1时，y=1;当x=5时，y=5，所以点P的坐标是(−1,1)或(5,5).

6.【答案】D;
【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图，该几何体由一个四棱锥体A−BCDE切去一个三棱锥体A−BCD. 
如图所示： 
 
故：V=VA−BCDE−VA−BCD=13×12×(2+3)×2×3−13×12×2×2×3=3. 
故选：D. 
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用割补法的应用求出几何体的体积． 
此题主要考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

7.【答案】A;
【解析】 
此题主要考查异面直线成角、三棱柱的体积，属于基础题.解：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC//A1C1， 
故∠BC1A1即为异面直线BC1与AC所成角或其补角， 
连接A1B，设BB1=ℎ 
在△A1BC1中，A1B=BC1=4+ℎ2， 
∴cos∠BC1A1=A1C12+BC12−A1B22·A1C1·BC1=14， 
∴BC1=4， 
∴4+ℎ2=4,ℎ=23， 
∴三棱柱ABC−A1B1C1的体积 
V=BB1·S△ABC=23·12·2·2·sin60°=6. 
 
 



8.【答案】D;
【解析】解：由于AB⊥平面BCD， 
则AB⊥BC，AB⊥BD，AB⊥CD， 
又BC⊥CD， 
则CD⊥平面ABC， 
则CD⊥AC， 
故△ABC，△ACD，△ABD，△BCD均为直角三角形． 
故选D．


9.【答案】C;
【解析】

该题考查直线与圆的方程的应用，考查学生数形结合思想的运用，属于中档题目． 

解：直线y=x+2上一点到圆心的距离为，切线长为，
因此，
当最小时，最小，
的最小值为圆心(4,−2)到直线y=x+2的距离|4+2+2|12+12=42，
因此的最小值为．
故选C．

10.【答案】A;
【解析】 
该题考查直线与圆的位置关系，考查直线的倾斜角，考查学生的计算能力，属于基础题． 
利用直线y=kx+3被圆(x−2)2+(y−3)2=4截得的弦长为23，得到圆心到直线的距离为d=4−3=1=|2k|1+k2，求出k，即可求出直线的倾斜角． 
 
解：由题知：圆心(2,3)，半径为2． 
因为直线y=kx+3被圆(x−2)2+(y−3)2=4截得的弦长为23， 
所以圆心到直线的距离为d=4−3=1=|2k|1+k2， 
∴k=±33， 
设直线倾斜角为α， 
由k=tanα，且α∈[0,π), 
得α=π6或5π6． 
故选：A． 
 


11.【答案】C;
【解析】略

12.【答案】A;
【解析】 
此题主要考查了利用空间向量求异面直线所成角，球的表面积和体积，属于基础题.由已知易知OA，OB，OC两两垂直，由4π×12+12+m44=6π，解得m2=2，得到AB→=2,0,1，OD→=1,2,1，代入夹角公式，即可得结果. 
 
解：由已知易知OA，OB，OC两两垂直， 
则4π×12+12+m44=6π， 
解得m2=2， 
则AB→=2,0,−1，OD→=1,2,1， 
则cos=15×6=3030， 
即异面直线OD与AB所成角的余弦值为3030. 
故选A.

13.【答案】B;
【解析】 
此题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于中档题. 
先证明PA⊥PC,PB⊥PC，可得三棱锥P-ABC外接球就是以PA,PB,PC为棱的长方体的外接球，长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式可得结果.
 
解：∵三棱锥P-ABC中，ΔABC为等边三角形，PA=PB=PC=1，
∴ΔPAB≅ΔPAC≅ΔPBC，
∵PA⊥PB,∴PA⊥PC,PB⊥PC，
以PA,PB,PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，

则长方体的外接球也是三棱锥P−ABC外接球，
∵长方体的对角线为3，
∴球直径为3，半径为R=32， 
因此，三棱锥P-ABC外接球的表面积是4πR2=4π×322=3π， 
故选B.

14.【答案】3+22;
【解析】解：∵直线l：xa+yb=1(a>0,b>0)经过点(1,2) 
∴1a+2b=1， 
∴a+b=(a+b)(1a+2b)=3+ba+2ab⩾3+22，当且仅当b=2a时上式等号成立． 
∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+22． 
故答案为：3+22． 
把点(1,2)代入直线方程，得到1a+2b=1，然后利用a+b=(a+b)(1a+2b)，展开后利用基本不等式求最值． 
该题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题．

15.【答案】①②;
【解析】

此题主要考查斜二测法画直观图与平面图形的联系.
根据斜二测画法的规则，逐个判断即可.

解：斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，
相交直线的直观图还是相交直线，故①②正确；
但是斜二测画法中平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，
则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错.
故答案为①②.

16.【答案】112;
【解析】解：设运动时间为ts， 
当P1运动到点B时，P2恰运动到点C，此时t=AB2=2s， 
当P1和P2首次相遇时，必在线段BC上，此时(t−2)+2(t−2)=BC=23，解得t=(233+2)s， 
若0