河北省张家口市尚义县2024届高三上学期开学考试数学试题

新时代NT教育2023～2024学年高三入学摸底考试

数学（新高考）

考试说明：

1．本试卷共150分．考试时间120分钟．

2．请将各题答案填在答题卡上．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，若，则所有a的取值构成的集合为（    ）．

A． B． C． D．

2．已知复数z满足，则（    ）．

A．I B． C． D．

3．“”是“表示双曲线”的（    ）．

A．充要条件  B．充分不必要条件

C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

4．莱布尼茨三角是与杨辉三角数阵相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和．记第2行的第2个数字为，第3行的第2个数字为，…，第行的第2个数字为，则（    ）．

A． B． C． D．

5．已知，，则的值为（    ）．

A． B．3 C． D．2

6．已知，则的值为（    ）．

A． B． C． D．

7．已知数列的前n项的积为，且，则数列（    ）．

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

8．已知函数是R上的奇函数，且满足，当时，，则方程解的个数是（    ）．

A．8 B．7 C．6 D．5

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列不等关系正确的是（    ）．

A．若，，则         B．若，则

C．若，则         D．若，则

10．下面说法正确的是（    ）．

A．若一组数据，，…，的平均数是，则，，…，的平均数是

B．若10个数的平均数是3，标准差是2，则这10个数的平方和是130

C．若，则

D．数据2，3，4，7，8，10，17，18的第50百分位数是7

11．如图，在等腰梯形中，，，，M为中点，将沿直线翻折至．则在翻折过程中，下列判断正确的是（    ）．

A．在上存在点N，使得面

B．存在某个位置，使得

C．当时，到面的距离为

D．四棱锥体积的最大值为1

12．对于函数，则下列判断正确的是（    ）．

A．直线是过原点的一条切线

B．关于对称的函数是

C．若过点有2条直线与相切，则

D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知函数，是奇函数，则的值为__________．

14．在上、下底面均为正方形的四棱台中，已知，，，则该四棱台的体积为__________．

15．已知，，且，则的最小值为__________．

16．在中，，为边上的中线，，则该三角形面积最大值为__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

已知数列是等差数列，公差为d，数列为等比数列，公比为q，且，，．

（1）求和的通项公式；

（2）数列的前n项和是，，求的前n项和．

18．（本题满分12分）

在中，．

（1）求角B；

（2）若，D是中点，且，求b的值．

19．（本小题满分12分）

已知，．

（1）当时，证明：；

（2）若，恒成立，求a的取值范围．

20．（本题满分12分）

在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，P为棱的中点，E为棱的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．

21．（本题满分12分）

同学甲进行一种闯关游戏，该游戏共设两个关卡，闯关规则如下：每个关卡前需先投掷一枚硬币，若正面朝上，则顺利进入闯关界面，可以开始闯关游戏；若反面朝上，游戏直接终止、甲同学在每次进入闯关界面后能够成功通过关卡的概率均为，且第一关是否成功通过都不影响第二关的进行．

（1）同学甲在游戏终止时成功通过两个关卡的概率；

（2）同学甲成功通过关卡的个数为，求的分布列．

22．（本题满分12分）

已知椭圆过点，且离心率．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点A作与相切的两条直线，分别交椭圆C于P，Q两点，求证：直线恒过定点．

新时代NT教育2023～2024学年高三入学摸底考试

数学（新高考）参考答案

1．D

【解析】当时，，当时，，当时，，

∴．

2．B   【解析】，∴．

3．B

【解析】当，即或时，表示双曲线，

所以“”是“表示双曲线”的充分不必要条件．

4．D

【解析】由题分析得，

所以．

5．A   【解析】，∴．

6．C

【解析】，

∴，∴．

7．A

【解析】当时，，当时，，

∴，而，∴为最小项，为最大项．

8．D

【解析】由已知得函数既关于原点对称，又关于对称，所以周期，

设，而，

由函数图像可分析与的交点个数为5．

9．AB

【解析】若，，则，

当且仅当时取等号．∴A正确；

是在R上单调递增的函数，∴若，则，∴B正确；

若，在单调递减，，∴，∴C错误；

若，则，∴，∴D错误．

10．BC

【解析】，∴A错误；

由，∴，∴B正确；

由得，，∴，∴C正确；

数据2，3，4，7，8，10，17，18的第50百分位数是7.5，∴D错误．

11．ACD

【解析】取的中点N，的中点F，连结，，，

则四边形为平行四边形，∴，面，面，∴A正确；

假设存在一个位置使得，取中点H，连结，，

显然，，∴面，∴，

进而有，而由题可得，∴不存在，故B错误；

当时，则，而，

∴面，∴面面，

且面面，到面的距离即到的距离d，

∴在中，，，

由，∴，∴C正确；

当面面时，四棱锥的体积最大，此时棱锥的高为，

．∴D正确．

12．ACD

【解析】设切点，，

∴，∴，∴，

所以过原点的切线方程为，∴A正确；

与关于对称的函数为，∴B错误；

若过点有2条直线与相切，则点在上方，

即（），即，∴C正确；

由于，，∴，∴D正确．

13．

【解析】∵为偶函数，所以，为奇函数，

∴，，∴．

14．

【解析】易得棱台的高，．

15．11

【解析】，，

，

时取等号．

16．8

【解析】法一：如图建立直角坐标系，

设，由得：，

即：，

所以点A的轨迹为以为圆心，半径为的圆，，

所以当A到x轴距离最大时，即为时，面积最大为8．

法二：设，则，在中，

由余弦定理可知，，，

而，，

由图可知，最小值为直线的斜率，

故面积的最大值为．

17．【解析】（1），，，

∴，∴，，（2分）

∴，．（5分）

（2），∴，（7分）

，

令，

，

∴，（9分）

∴，∴．（10分）

18．【解析】（1）由得

，

由正弦定理可得：，（2分）

即，

∴，，∴．（4分）

（2），，

由，∴，（8分）

，∴，（10分）

，∴．（12分）

19．【解析】（1）当时，设，

，只有一个解，

时，，时，，

∴在单调递减，单调递增，（2分）

∴，而，∴，即．（4分）

（2）法一：若，恒成立，

即，

即，（6分）

构造函数，易知在递增，

则不等式为，（8分）

∴，设，，

则在递增，递减，（10分）

，∴．（12分）

法二：，恒成立，即．

令，，

有唯一实数根，设为，（6分）

即，，则在递减，在递增，

∴，（8分）

即，

设，显然在单调递减，

而，∴，则，（10分）

，，∴，．（12分）

20．【解析】（1）取中点F，连接，，

∵E，F分别为，的中点，∴，．

∵底面四边形是矩形，P为棱的中点，

∴，．∴，，

故四边形是平行四边形，∴．（2分）

又∵平面，平面，∴平面．（4分）

（2）以点P为原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，（6分）

若，∴，

设面的法向量为，，

取，取面的法向量，（9分）

，（11分）

∴面和面夹角的余弦值为．（12分）

21．【解析】（1）同学甲在游戏终止时成功通过两个关卡的概率．（4分）

（2）同学甲成功通过关卡的个数的值为0，1，2，（6分）

，

，

，（11分）

所以同学甲成功通过关卡的个数的分布列为：

（12分）

22．【解析】由题可得，

∴所求椭圆方程为．（4分）

（2）方法一：设过点A的直线为与相切，

，

∴（，分别是直线和的斜率），（6分）

设直线为：，，，

得，

则，，

由得：．（8分）

，

即

得，

，

整理得：，

即，或，（10分）

所以当时，直线为，恒过点，不符合题意；

当时，直线为：，即，恒过点，

综上，直线恒过定点．（12分）

方法二：设过点A的直线为与相切，

，

∴（，分别是直线和的斜率）．（6分）

设直线，（7分）

椭圆方程：联立得：

，

同除以得，（9分）

而为与连线的斜率，即，

即代入直线方程得，

即，（11分）

∴直线恒过．（12分）