2024运城稷山县稷山中学高一上学期开学考试数学试题含解析

2023级新高一学生学科素养测试卷（数学）

试卷说明：

1.试卷分值：100分；建议时长：90分钟；

2.请将答案正确填写到相应的答题区域。

一、单选题（本题共6小题，共30分）

1.化简二次根式的结果为（    ）

A.    B.    C.    D.

2.下面命题正确的有（    ）

A.若，则     B.若，则

C.若，，则  D.若，则

3.将下列多项式因式分解，结果中不含因式的是（    ）

A.    B.

C.    D.

4.如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子

集个数为（    ）

A.3   B.4   C.7   D.8

5.如图，在中，，于点，下列结论错误的有（    ）个

①图中只有两对相似三角形；

②；

③若，，则.

A.1个   B.2个   C.3个   D.0个

6.下列结论正确的是（    ）

A.设，则的最小值是

B.当时，的最小值是2

C.当时，

D.当时，的最小值是1

二、多选题（本题共2小题，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

7.已知一元二次方程的两个根为-1，4，且，那么满足的的取值有（    ）

A.    B.    C.    D.

8.给出下列命题，其中正确的是（    ）

A.三角形的重心到顶点与到对边中点的距离之比为1：2

B.等腰三角形的内心、重心和外心同在底边的高线上

C.已知的三边之比为3：4：5，且其外接圆半径，则的面积为48

D. 中，若，为的内心，则

三、填空题（本题共4小题，共20分）

9.有下列各组关系或说法：

①；②；③；④；

⑤集合是由所有平行四边形构成的集合，则某个正方形是集合的元素.

其中正确的个数是________.

10.若，，，则________.

11.下面关于集合的表示正确的序号是________.

①；

②；

③；

④.

12.已知，是一元二次方程的两个实数根，若，满足，则________.

四、解答题（本题共3小题，共40分）

13.（12分）解下列各题：

（1）计算：；

（2）因式分解：；

（3）计算：；

（4）计算：.

14.（12分）已知集合，.

（1）当时，求集合；

（2）若，满足：①，②，从①②中任选一个作为条件，求实数的取值范围.

15.（16分）某企业参加国际商品展览会，向主办方申请了400平方米的矩形展位，展位由展示区（图中阴影部分）和过道（图中空白部分）两部分组成，其中展示区左右两侧过道宽度都为2米，前方过道宽度为4米.后期将对展位进行装修，其中展示区的装修费为100元/平方米，过道的装修费为200元/平方米.记展位靠墙的一边边长为米，整个展位的装修总费用为元.

（1）请写出装修总费用关于边长的表达式；

（2）如何设计展位的边长使得装修总费用最低？并求出最低费用.

参考答案

一、单选题（本题共6小题，共30分）

1.【答案】A

【解析】解：∵，∴，∴，故选：A.

2.【答案】D

【解析】对于选项A：当，时，满足，但，故选项A错误；

对于选项B：当，时，满足，但，故选项B错误；

对于选项C：当，，，时，满足，，但，故选项C错误；

对于选项D：∵，∴.

由于，则，即，故选项D正确.

综上可得，故选D.

3.【答案】C

【解析】解：A.原式，不符合题意；

B.原式，不符合题意；

C.原式，符合题意；

D.原式，不符合题意.

故选：C.

4.【答案】C

【解析】，则

图中阴影部分表示的集合为，

所以的真子集为，，，，，，，共7个.

故选C.

5.【答案】A

【解析】由图可得，故①错误；

由，得，故②正确；

由射影定理得，，解得，

在中，，故③正确；

故选A.

6.【答案】C

【解析】对于选项A：∵不是定值，∴不是的最小值，故选项A错误；

对于选项B：当时，由基本不等式可得，等号成立的条件为，即.

但，故取不到等号，故2不是的最小值，故选项B错误；

对于选项C：当时，由基本不等式可得，当且仅当，

即时，等号成立，故选项C正确；

对于选项D：当，即时，，

由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立.

此时，即当时，有最大值1，故选项D错误.

综上可得，故选C.

二、多选题（本题共2小题，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

7.【答案】AB

【解析】本题考查了一元二次不等式及方程根的关系，属于基础题.

根据一元二次不等式解法直接求解即可.

∵一元二次方程的两个根为-1，4，且，

∴由得或，

故选AB.

8.【答案】BD

【解析】对A，重心到顶点与对边中点的距离之比为2：1，故A错误；

对B，等腰三角形底边中线，底边高，顶角角平分线，三线合一，故等腰三角形的内心，重心和外心同在底边的高线上，故B正确；

对C，设三边长为、、，则这个三角形为直角三角形，则外接圆半径，故，，故C错误；

对D，内心是三条角平分线的交点，内心到三边的距离相等，因此，故D正确.

所以答案为BD.

三、填空题（本题共4小题，共20分）

9. 【答案】2

【解析】表示正整数集，故①错误；表示有理数集，故②正确，③错误；表示实数集，为实数，故④错误；所有正方形都是平行四边形，因此某一个特殊的正方形可以作为集合?的元素，故⑤正确.

10.【答案】

【解析】解：根据三数和平方公式，得

.

11.【答案】③④

【解析】∵集合中的元素具有无序性，∴，∴①不成立；

∵是点集，而不是点集，∴②不成立；

∵与都表示大于1的实数组成的集合，∴③成立；

∵与都表示奇数组成的集合，∴④成立.

故答案为：③④.

12.【答案】

【解析】∵一元二次方程有两个实数根，，∴，即.

由一元二次方程根与系数关系，可得，，则，同号.

①当，都为负数时，可得解得

∴，即，此时，方程无解；

②当，都为正数时，可得解得

∴，即，解得（舍去）或.

综上可得.

四、解答题（本题共3小题，共40分）

13.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.

【解析】（1）；

（2）原式；

（3）；

（4）因为

所以或或

解得或或，

综上可得，即原不等式的解集为.

14.【答案】（1）；（2）若选①，则或；若选②，则或

【解析】（1）当时，集合，则.

（2）若选择条件①，

当时，，解得，满足题意；

当时，结合，可得或解得或.

综上的取值范围是或；

若选择条件②，则集合是集合的子集，

当时，，解得，满足题意；

当时，有解得.

综上的取值范围是或.

15.【答案】（1），；

（2）当展位区域是边长为20米的正方形区域时，装修费用最低为54400元.

【解析】（1）设展位靠墙的一边边长为米，则展示区靠墙的一边的边长为米，

展示区另一边边长为米，由可得，

所以，

，

即，其中.

（2）由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，

因此，当展位区域是边长为20米的正方形区域时，装修费用最小为54400元.