2022广东省东莞市东莞中学松山湖学校九年级（上）数学期中考试试卷（原卷版）

2022~2023学年广东省东莞市东莞中学松山湖学校

初三（上）数学期中考试

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.

1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．            B． C． D．

2．一元二次方程x2+3x＝0的解是（　　）

A．x＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x＝3

3．抛物线y＝3（x﹣1）2﹣1的顶点坐标是（　　）

A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）

4．一元二次方程2x2﹣4x+3＝0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 D．无法确定

5．已知△ABC∽△DEF，且△ABC的面积为2cm2，△DEF的面积为8cm2，则△ABC与△DEF的相似比是（　　）

A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1

6．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝72°，则∠BAC的度数是（　　）

A．18° B．36° C．54° D．72°

7．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1、l2、l3所截，AB＝6，BC＝8，DE＝4，则EF的长为（　　）

A．12 B．3 C． D．5

8．若点（0，a），（4，b）都在二次函数y＝（x﹣2）2的图象上，则a与b的大小关系是（　　）

A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定

9．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置．若∠CAB′＝25°，则∠CAC'的度数为（　　）

A．25° B．40° C．65° D．70°

10．如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.

11．点（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标为 　            　．

12．将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是         　   　．

13．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件 　   　，使△ADE∽△ABC．

14．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 　   　．

15．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为　   　   　   　   　．

三、解答题（一）：本题共3小题，每小题8分，共24分

16．解方程：x2﹣6x+8＝0．

17．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，连接DE，且∠AED＝∠B，AD＝6，AB＝8，AC＝10，求AE的长．

18．已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°．

（1）找到△ABC的外心，画出△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程）

（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，BC＝12，请求出⊙O的面积．

四、解答题（二）：本小题共3小题，每小题9分，共27分.

19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；

（2）若x1+x2＝3，求k的值及方程的根．

20．如图，从某建筑物9米高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线

所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面12米，建立平面直角坐标系，如图．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求水流落地点B离墙的距离OB．

21．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF，∠ABC＝α＝60°，BF＝AF．

（1）求证：DA∥BC；

（2）猜想线段AD、AE的数量关系，并证明你的猜想．

五、解答题（三）：本小题共2小题，每小题12分，共24分.

22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）求证：△ABD∽△DCP；

（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．

23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交BD所在直线于点M．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

（3）点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B，Q，M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．