湖北省荆州市部分县市2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题

人教版九年级上学期期中考试

数学试题

注意事项：

1．本卷满分为120分，考试时间为120分钟。

2．本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上。解答题中添加的辅助线、字母和符号等务必标在答题卡对应的图形上。

3．在答题卡上答题，选择题要用2B铅笔填涂，非选择题要用0.5毫米黑色中性笔作答。

★祝考试顺利★

一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）

1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

 A．  B． C．  D．

2．已知点A的坐标为（﹣3，﹣1），则A点关于原点中心对称的点的坐标为（　　）

 A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（1，﹣3）

3．若关于x的一元二次方程的一个实数根为0，则m等于（　　）

 A．1   B．±1   C．﹣1 D．0

4．抛物线的对称轴为直线（    ）

 A． B． C． D．

5．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（　　）

 A．   B．   C． D．

6．如图，在中，，，BC=2，以点为圆心，为半径的圆与相交于点，则AD的长为（    ）

 A．2

 B．

 C．3

 D．

7．将一元二次方程配方可得（    ）

 A． B．  C．  D．

8．函数与在同一坐标系中的图象可能是（　　）

 A． B． C．  D．

9．如图，是的直径，点，为上的点．若∠D=120°，

 则∠CAB的度数为（    ）

 A．30°

 B．40°

 C．50°

 D．60°

10．已知二次函数的图象与x轴交于点与，其中，方程的两根为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　）

 A．①③ B．②④ C．①④  D．②③

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11．把方程化成一元二次方程的一般形式是________.（要求：二次项系数为1）

12．抛物线的最高点的坐标是________.

13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为________.

14．已知抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线x＝2，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是________.

15．一名运动员在平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球离地面的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为5米，则该运动员推铅球的成绩为________米.

16．如图，矩形中，AB=20，AD=15，，分别是，边上的动点，PQ=16，以为直径的与交于点，．则的最大值为________.

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17.（本题满分8分）解下列方程.

（1）                            （2）

18.（本题满分8分）已知二次函数.

（1）写出此函数图象的开口方向和顶点坐标；

（2）当y随x增大而减小时，写出x的取值范围；

（3）当1＜x＜4时，求出y的取值范围.

19.（本题满分8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．

（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°所得的△A1BC1，并写出A1点的坐标；

（2）画出与△ABC关于原点对称的△A2B2C2，并写出C2点的坐标．

20.（本题满分8分）为解方程，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设，则原方程可化为，解此方程得，.

当时，，所以；

当时，，所以.

所以原方程的根为，，，.

以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想.运用上述方法解下列方程：

（1）                  （2）

21.（本题满分8分）如图，四边形内接于，是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，连接．

（1）若∠B=125°，，求的度数；

（2）若的半径为6，且，求的长．

22.（本题满分10分）问题：如图①，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，若EF＝BE＋FD，试求∠EAF的度数.

【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG的位置，从而发现∠EAF＝45°，请你利用图①进行说明.

【类比引申】如图②，在四边形ABCD中，∠BAD≠ 90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E，F分别在边BC，CD上，若EF＝BE＋FD，试判断∠EAF与∠BAD的数量关系，并说明理由.

23.（本题满分10分）某商场销售一种小商品，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为180件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少10件．设销售价格上涨元/件（为偶数），每天的销售量为件．

（1）请写出与的函数关系式．

（2）商场要想每天销售该商品的利润为3900元，则每件涨价多少元？

（3）设商场每天销售该商品的利润为元，则该商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

24.（本题满分12分）如图1，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，已知N（0，1），将抛物线在点A，B之间的部分（含点A，B）沿x轴向上翻折，得到图象T（虚线部分），点M为图象T的顶点．现将图象T保持其顶点在直线MN上平移，得到的图象T1与线段BC至少有一个交点，求图象T1的顶点横坐标t的取值范围．

参考答案与评分说明

一、选择题

1.C    2.B    3.A    4.B    5.D    6.A    7.D    8.C    9.A    10. B

二、填空题

11.x2-2x+2=0   12.（﹣1,﹣3）    13.   14.（6,0）   15.12    16.

三、解答题

17.解：（1）因式分解，得(x+5)(x-1)=0  ………（2分）

解得x1=-5，x2=1  ………（4分）

（2）整体移项，得x(2x＋3)-5(2x＋3)＝0

因式分解，得(2x＋3)(x-5)＝0  ………（6分）

解得x1=-，x2=5  ………（8分）

18.解：（1）∵a=-1＜0

∴函数图象的开口向下   ………（1分）

顶点坐标为（2,3）   ………（2分）

（2）∵函数图象的开口向下，y随x增大而减小

∴x的取值范围是x＞2   ………（4分）

（3）∵函数图象的对称轴为x=2，满足1＜x＜4

∴此时y的最大值为3   ………（5分）

∵当x=1时，y=2；当x=4时，y=-1   ………（7分）

∴当1＜x＜4时，y的取值范围-1＜y≤3   ………（8分）

19.解：（1）如图，△A1BC1即为所作   ………（3分）

A1点的坐标为（-1,1）   ………（4分）

（2）如图，△A2B2C2即为所作   ………（7分）

C2点的坐标为（-3,-1）   ………（8分）

20.解：(1)设x2-x＝t,则原方程可化为

t(t－4)＝－4   ………（1分）

所以(t－2)2＝0，解得t1＝t2＝2   ………（2分）

所以x2-x＝2，即x2-x－2＝0

因式分解，得(x-2)(x+1)=0

所以原方程的根为x1＝2，x2＝-1.  ……（4分）

(2)设x2＝y,则原方程可化为y2+y－12＝0   ………（5分）

因式分解，得(y-3)(y+4)=0

解得y1＝3,y2＝－4   ………（6分）

当y＝3时,x2＝3,所以x＝±

当y＝－4时,x2＝－4无实数根

故原方程的根为x1＝，x2＝－.   ………（8分）

21.解：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝125°

∴∠ADC＝180°−∠B＝55°   ………（1分）

∵，∠BAC＝25°

∴∠DCE＝∠BAC＝25°   ………（2分）

∴∠E＝∠ADC−∠DCE＝30°   ………（4分）

（2）连接AO，CO，过点O作OH⊥AC于H

∵四边形ABCD内接于⊙O

∴∠ADC+∠B＝180°

∵

∴∠ADC＝60°   ………（5分）

∴∠AOC＝2∠ADC＝120°

∵AO=CO=6，OH⊥AC

∴AH=CH，∠AOH＝∠AOC＝60°

∴∠OAH＝30°   ………（6分）

∴OH＝AO＝3

∴AH＝3   ………（7分）

∴AC=2AH＝6   ………（8分）

22.解：【发现证明】如图①

由旋转的性质可知△ADG≌△ABE

∴AG＝AE，DG＝BE，∠DAG＝∠BAE   ………（1分）

∵EF＝BE＋FD

∴EF＝DG＋FD＝FG   ………（2分）

∵AF＝AF

∴△AFG≌△AFE（SSS）

∴∠GAF＝∠EAF   ………（3分）

由旋转的性质可知∠EAG＝90°

∴∠EAF＝∠EAG＝45°   ………（4分）

【类比引申】结论：∠EAF＝∠BAD  ………（5分）

理由：如图②，把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG．

由旋转的性质可知△ADG≌△ABE

∴AG＝AE，DG＝BE，∠DAG＝∠BAE，∠ADG＝∠B   ………（6分）

∵∠B＋∠ADC＝180°

∴∠ADG＋∠ADC＝180°，即点G在CD的延长线上   ………（7分）

∵EF＝BE＋FD

∴EF＝DG＋FD＝FG   ………（8分）

∵AF＝AF

∴△AFG≌△AFE（SSS）

∴∠GAF＝∠EAF＝∠EAG   ………（9分）

由旋转的性质可知∠EAG＝∠BAD

∴∠EAF＝∠BAD   ………（10分）

23.解：（1）由题意得y＝180-×10=-5x+180   ………（2分）

（2）由题意得(60+x-40)(-5x+180)＝3900   ………（3分）

解得x1＝6，x2＝10   ………（5分）

即每件涨价6元或10元.   ………（6分）

（3）由题意得w＝(60+x-40)(-5x+180)＝−5x2＋80x＋3600   ………（7分）

∴当x===8时，w有最大值==3920   ……（8分）

即每件涨价8元，销售单价定为68元时，每天获得的利润最大，最大利润是3920元．   ………（10分）

24.解：（1）将A（2，0），B（8，0）代入抛物线y＝x2＋bx＋c的解析式得

解得b＝−5，c＝8

∴抛物线的解析式为y＝x2−5x＋8   ………（3分）

（2）存在．

抛物线的对称轴为直线x＝5

连接BC交直线x＝5于Q，如图，则QA＝QB

∵QA＋QC＝QB＋QC＝BC

∴此时QA＋QC的值最小，△QAC的周长最小   ………（4分）

设直线BC的解析式为y＝mx＋n

把B（8，0），C（0，8）代入得

解得m＝-1，n＝8

∴直线BC的解析式为y＝-x＋8   ………（5分）

当x＝5时，y＝-x＋8＝3，此时Q点坐标为（5，3）

即该抛物线的对称轴上存在点Q（5，3），使得△QAC的周长最小．   ……（7分）

（3）设抛物线y＝x2−5x＋8的顶点为G，则点G（5，−）关于x轴的对称点M的坐标为M（5，）

∵N（0，1）

∴直线MN为y＝x＋1   ………（8分）

∵图象T顶点在直线MN上

∴设图象T1顶点为M1（t，t＋1）

由点A（2，0）与M（5，）的坐标关系，得到点A的对应点A1（t-3，t＋1-），即A1（t-3，t-）

∵直线BC的解析式为y＝-x＋8

当点A1在BC上时，−(t-3)＋8＝t-

∴t＝   ………（9分）

此时0＜t-3＜8，0＜t-＜8

∴点A1在线段BC上

设图象T1所在抛物线为y＝−(x−t)2＋t＋1

当图象T1与直线BC只有一个公共点时，公共点的坐标是方程组的解，且△＝0

∴t＝   ………（10分）

此时图象T1与直线BC的公共点为（t+1，7-t），既在线段BC上，又在图象T1上

∴图象T1顶点横坐标t的取值范围是≤t≤．   ………（12分）