黑龙江省牡丹江市第二高级中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题

牡丹江二中2022-2023学年度第一学期高一期末考试

数学

注意事项：

1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

3．本试卷命题范围：必修第一册。

一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1．已知集合，集合，则（    ）

A．             B．             C．              D．

2．已知函数，则（    ）

A．5                 B．3                 C．2                  D．

3．（    ）

A．           B．          C．               D．

4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．         B．          C．          D．

5．函数的部分图象是（    ）

A．                   B．

C．                      D．

6．果农采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度，若某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后5天，这种水果失去的新鲜度为5%，采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%．则采摘下来的这种水果失去20%新鲜度大概是采摘后（    ）

A．12天              B．13天             C．15天               D．18天

7．已知函数，其图象与直线的相邻两个交点的距离分别为和，若，则的值为（    ）

A．              B．                C．               D．

8．定义在R上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（    ）

A．      B．   C．    D．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，．下列说法正确的有（    ）

A．的零点在区间内     B．的零点在区间内

C．精确到0.1的近似值为1.4                 D．精确到0.1的近似值为1.5

10．已知函数的图象经过点，则（    ）

A．的图象经过点                 B．的图象关于原点对称

C．在上单调递增               D．在上的值域为

11．设，，则下列结论正确的有（    ）

A．         B．         C．           D．

12．已知，则的值可能为（    ）

A．           B．             C．               D．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数的定义域为________．

14．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分．若弧田所在圆的半径为1，圆心角为，则此弧田的面积为________．

15．若“，”是假命题，则实数的取值范围是________．

16．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则a的最小值是________，的最大值是________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

17．（10分）已知函数（，且）满足．

（1）求a的值；

（2）解不等式．

18．（12分）已知，．

（1）求；

（2）若角的终边上有一点，求．

19．（12分）某游泳馆拟建一座平面图形为矩形（如图所示）且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元（池壁厚忽略不计），当泳池的长设计为x米时，可使总造价最低，求．

20．（12分）已知，，．

（1）求的定义域；

（2）求的最大值以及取得最大值时x的值．

21．（12分）设函数是定义在R上的增函数，对于任意都有．

（1）写一个满足条件的并证明；

（2）证明是奇函数；

（3）解不等式．

22．（12分）已知函数，其中常数．

（1）在上单调递增，求的取值范围；

（2）若，将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，且过，若函数在区间（且）满足：在上至少含30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．

牡丹江二中2022-2023学年度第一学期高一期末考试·数学

参考答案、提示及评分细则

1．D  因为，所以，所以，所以，又因为，所以，故选：D．

2．A  因为，所以．

3．D  ．

4．C  函数在上单调递增，而，则，，函数在R上单调递减，，则，即，所以a，b，c的大小关系为．

5．B  ∵，∴，∴，且．令（，且），则，∴，∴为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，C；令，函数在区间上单调递增，∴函数在区间上单调递增，排除D．

6．C  由题可得，解得，故，故，由可得，．

7．B  因为的图象与直线的相邻两个交点的距离分别为和，所以其周期为，即，因为，所以，所以，又，所以，又，所以．

8．B  函数是定义在R上的奇函数，在区间上单调递增，且，可得，，在递增，若时，成立；若，则成立；若，即，可得，即有，可得；若，则，，可得，解得；若，则，，可得，解得．综上可得，x的取值范围是．

9．BC  易知增函数，因为，，所以零点在内，所以A错误，B正确，又1.4375和1.40625精确到0.1的近似数都是1.4，所以C正确，D错误．

10．BD  将点的坐标代入，可得，则，的图象不经过点，A错误．在上单调递减，C错误．根据反比例函数的图象与性质可得B，D正确．

11．AC  对于A，因为，所以A正确；对于B，因为，所以B错误；对于C，因为，所以，而，所以，所以C正确；对于D，，所以D错误．

12．BD  因为，所以，所以当在第三象限时，有，所以；当在第四象限时，有，所以．

13．  由题意得．

14．  易知为等腰三角形，腰长为1，底角为，，所以，孤田的面积即图中阴影部分面积，根据形面积及三角形面积可得：所以．

15．  ∵“，”是假命题，∴，为真命题，即在上恒成立，当时，，当且仅当时，等号成立，所以．

16．1  4  画出的图象有：

因为方程有四个不同的解，，，，故的图象与有四个不同的交点，又由图，，，故a的取值范围是，故a的最小值是1．又由图可知，，，故，故．故．又当时，．当时，，故．又在时为减函数，故当时取最大值．

17．解：（1）因为，所以，          2分

整理得，解得或（舍）．          5分

（2）由（1）可得，所以，即为，整理可得，         7分

因为为单调递增函数，所以，解得，

所以不等式的解集为．          10分

18．解：（1），，则，          3分

故．          6分

（2）∵角终边上一点，∴，则．          9分

由（1）可得，．          12分

19．解：因为泳池的长为x米，则宽为米，

则总造价，          4分

整理得到，          10分

当且仅当等号成立．

故泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．          12分

20．解：（1）∵的定义域为，

∴要使函数有意义，必须满足，          2分

∴，即的定义域为．          4分

（2）由得，

．   8分

∵的定义域为，即，∴，

∴时，即时，函数取得最大值．          11分

故．          12分

21．（1）解：因为函数是增函数，对于任意都有，这样的函数很多，其中一种为：．          2分

证明如下：函数满足是增函数，，所以满足题意．          4分

（2）证明：令，则由，得，即；        5分

令，则由，得，

即得，故是奇函数．          7分

（3）解：，所以，则，

即，          9分

因为，

所以，所以，          11分

又因为函数是增函数，

所以，所以或．所以x的解集为：．          12分

22．解：（1）由题意，有，又则最小正周期．          1分

由正弦函数的性质，当，函数取得最小值，函数取得最大值，          2分

∴是函数一个单调递增区间，          3分

若函数在上单调递增，则且，

解得．          5分

（2）∵由（1）：，∴将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，          6分

∵的图象过，∴，可得：，解得：，，

即：，，∵，∴，可得的解析式为：，

∴的周期为．          7分

在区间（且）满足：在上至少有30个零点，

即在上至少有30个解．

∴有或，

解得：或．          9分

直线与三角函数图象的一个周期内的交点中，两个交点距离：最小为波谷跨度，最大为波峰跨度：，          10分

∴当交点正好跨过15个波谷，即跨过14个整周期和一个波谷时，有最小值，

即，在所有满足上述条件的中的最小值为．          12分