山东省枣庄市第三中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题

枣庄三中2022-2023学年度高二网课质量线上检测

数学

考试时间：120分钟

第I卷（选择题  共105分）

一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知双曲线的渐近线方程为，则（    ）

A. B. C. D.2

2.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆：的直径，则椭圆的标准方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

3.在四面体中，等于（    ）

A. B. C. D.

4.已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（    ）

A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项

5.已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（    ）

A.内切 B.相交 C.外切 D.外离

6.已知等差数列的前项和满足：，若，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

7.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：

①曲线围成的图形的面积是；

②曲线上的任意两点间的距离不超过2；

③若是曲线上任意一点，则的最小值是.

其中正确结论的个数为（    ）

A.0 B.1 C.2 D.3

8.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A. B. C. D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.已知曲线的方程为，则（    ）

A.当时，曲线为圆

B.当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为

C.当时，曲线为焦点在轴上的椭圆

D.存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为

10.已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.为递减数列

C.是和的等比中项 D.的最小值为

11.已知圆：，则下述正确的是（    ）

A.圆截直线所得的弦长为

B.过点的圆的最长弦所在的直线方程为

C.直线：与圆相切

D.圆：与圆相交

12.如图，若正方体的棱长为1，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（    ）

A.沿正方体的表面从点到点的最短路程为

B.若保持，则点在侧面内运动路径的长度为

C.三棱锥的体积最大值为

D.若在平面内运动，且，点的轨迹为线段

第II卷（非选择题）

三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。

13.在空间直角坐标系中，点和点的距离为，则实数的值为______.

14.已知抛物线，若过点的直线与抛物线恒有公共点，则的值可以是______.（写出一个符合题意的答案即可）

15.若直线过点且与点，两点距离相等，则直线方程为______.

16.设正整数，其中，记，则的值等于______.

四、解答题：共6小题，共70分。应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17.（满分10分）如图，在正四棱柱中，，为的中点.

（1）当时，证明：平面平面.

（2）当时，求到平面的距离.

18.（满分12分）已知各项均为正数的等差数列满足，.

（1）求的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

19.（满分12分）已知线段的端点，端点在圆：上运动.

（1）求直线被圆所截得的弦长；

（2）点在线段上，且，求点的轨迹方程.

20.（满分12分）如图1，在边长为2的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.

（1）求证：平面；

（2）在线段（不包括端点）上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

图1  图2

21.（满分12分）数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求数列的前项和.

22.（满分12分）如图，为椭圆：的左顶点，过原点且异于轴的直线与椭圆交于，两点，直线，与圆：的另一交点分别为，.

（1）设直线，的斜率分别为，，证明：为定值；

（2）设与的面积分别为，，求的最大值.

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数学参考答案

一、单选题

1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 7.C 7.C 8.A

二、多选题

9.AB 10.AD 11.AC 12.ABD

三、填空题

13.2

14.（答案不唯一，不小于2的实数均正确）

15.；.

16.

四、解答题

17.（1）证明：当时，，

所以，所以

又平面，则.

因为，所以平面，

又平面，所以平面平面

（2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.

所以，，.

设平面的法向量为，则即

不妨令，则，，得.

故到平面的距离.

18.（1）解：各项均为正数的等差数列满足，

整理得，

由于，

所以，

故数列是以1为首项，2为公差的等差数列.

所以.

（2）解：由（1）可得

，

所以.

19.（1）解：圆心为，圆的半径为，

圆心到直线的距离为，

因此，直线被圆所截得的弦长为

（2）解；设点、，

由题意可得，即，可得，

因为点在圆上，所以，，即，

化简可得，

故点的轨迹方程为.

20.（1）证明：∵，，，∴平面.

∵平面，∴.

又∵，

∴平面.

（2）假设在线段上存在点，使平面平面.

根据（1）可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，

，，

设，

则，所以，

所以，

设平面一个法向量为，

则，即，

令，，所以，

设平面一个法向量为，

则，即，

令，，所以，

因为平面平面，

所以，即，

解得.

所以在线段上是否存在点，使平面平面，且

21.（1）因为，所以当时，，

由此可得，所以，其中，

所以当时，，

不符合上式，

所以

（2）由（1）得，

，

，

可得，

整理得.

22.（1）因为为椭圆：的左顶点，故

设，则.

故直线的斜率，

直线的斜率，

故.

又是：上的点，故，即.

故.

（2）设，，直线的方程为.

代入得.

于是有，或，故.

将的方程代入得.

于是有，或，故.

所以.

设直线的方程为.同理可得.

又，故，即.

故.

所以.

令，则.

当时，即，即，即时，取得最大值.