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十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题05数列小题（文科）（Word版附解析）
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这是一份十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题05数列小题（文科）（Word版附解析），共27页。试卷主要包含了已知，，数列满足，，，则，记为等差数列前n项和等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc142251983" 题型一： 数列的概念与通项公式 PAGEREF _Tc142251983 \h 1
\l "_Tc142251984" 题型二： 等差数列 PAGEREF _Tc142251984 \h 5
\l "_Tc142251985" 题型三： 等比数列 PAGEREF _Tc142251985 \h 10
\l "_Tc142251986" 题型四： 等差与等比的综合 PAGEREF _Tc142251986 \h 15
\l "_Tc142251987" 题型五： 数列的求和 PAGEREF _Tc142251987 \h 16
\l "_Tc142251988" 题型六： 数列与数学文化 PAGEREF _Tc142251988 \h 18
\l "_Tc142251989" 题型七：数列的综合应用 PAGEREF _Tc142251989 \h 21
题型一： 数列的概念与通项公式
1．(2019·浙江·文理·第10题)已知，，数列满足，，，则( )
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】A
【解析】解法一：对于B，由，得．取，则，所以，不合题意；
对于C，由，得或．取，则，所以，不合题意；
对于D，由，得．取，则，所以，不合题意．
对于A，，，，，递增，当时，，，迭乘法得，，A正确．故选A．
解法二:借助图形
其中选项中均含有不动点，由于的不确定性，故都不能说明．故选A．
2．(2016高考数学浙江文科·第8题)如图，点列分别在某锐角的两边上，且，,(表示点P与Q不重合)，若为的面积，则( )
A．是等差数列B．是等差数列
C．是等差数列D．是等差数列
【答案】A
解析：表示点到对面直线的距离(设为)乘以，由题目条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，过作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，，作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．
3．(2022高考北京卷·第15题)己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①③④
解析:由题意可知，，，
当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
所以，，则，整理可得，
因为，解得，①对；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，
故数列不等比数列，②错；
当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；
假设对任意，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对．
故答案为：①③④．
4．(2014高考数学课标2文科·第16题)数列满足，，则 ．
【答案】
解析：∵，∴．∵，∴．∴．∴，可知周期为4∴．
5．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第16题)数列满足，前16项和为540，则 ______________．
【答案】
【解析】，
当为奇数时，；当为偶数时，．
设数列的前项和为，
，
．
故答案为：．
6．(2019·上海·文理·第8题)已知数列前n项和为，且满足，则______.
【答案】
【解析】由得：()
题型二： 等差数列
1．(2023年全国甲卷文科·第5题)记为等差数列的前项和．若，则( )
A．25B．22C．20D．15
【答案】C
解析：方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C．
2．(2020年浙江省高考数学试卷·第7题)已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n，，下列等式不可能成立的是( )
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．
【答案】D
解析：对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；
对于B，由题意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；
对于C，，
当时，，C正确；
对于D，，，
．
当时，，∴即；
当时，，∴即，所以，D不正确． 故选：D
3．(2022高考北京卷·第6题)设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
解析:设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数．
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列．
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”．
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件．
故选,C．
4．(2020北京高考·第8题)在等差数列中，，．记，则数列 ( )．
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
【答案】B
【解析】由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，．故数列中存在最大项，且最大项为．
故选：B．
5．(2014高考数学重庆文科·第2题)在等差数列中，，则( )
A．5B．8C．10D．14
【答案】B
解析：由等差数列通项公式及解得,于是．
6．(2015高考数学新课标2文科·第5题)设是等差数列的前项和,若,则( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：
解析：由,所有．故选A．
7．(2015高考数学新课标1文科·第7题)已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
分析：∵公差，，∴，解得=，∴，故选B．
8．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第14题)记为等差数列前n项和．若，则__________．
【答案】
【解析】是等差数列，且，
设等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前项和公式：
可得：
．
故答案为：．
9．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第14题)将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
【答案】
解析：因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，故答案为：．
10．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第15题)将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
【答案】
解析：因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：．
11．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第13题)记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【答案】2
解析：由可得，化简得，
即，解得．
故答案为：2．
12．(2019·全国Ⅲ·文·第13题)记为等差数列的前n项和，若，，则___________．
【答案】100
【解析】在等差数列中，由，，得，
．则．
13．(2019·江苏·文理·第8题)已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是 .
【答案】16
【解析】由，得，从而，即，解得，所以.
14．(2018年高考数学上海·第6题)记等差数列的前项和为．若，，则 ．
【答案】14
解析：，，，，．
15．(2014高考数学江西文科·第13题)在等差数列中,,公差为,前项和为,当且仅当时取最大值,则的取值范围_________．
【答案】
分析:由题意得:,所以,即
考点:等差数列性质
16．(2015高考数学安徽文科·第13题)已知数列中，，()，则数列的前9项和等于 ．
【答案】27
解析：∵时，
∴为首项，为公差的等差数列
∴
17．(2016高考数学江苏文理科·第8题)已知是等差数列，是其前项和．若，，则的值是 ．
【答案】．
解析：设公差为，则由题意可得，，解得，，则．
18．(2015高考数学陕西文科·第13题)中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________
【答案】5
解析：若这组数有个，则，，又，所以；
若这组数有个，则，，又，所以；
故答案为5
题型三： 等比数列
1．(2023年天津卷·第6题)已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为( )
A．3B．18C．54D．152
【答案】C
解析：由题意可得：当时，，即， ①
当时，，即， ②
联立①②可得，则．
故选：C．
2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第8题)记为等比数列的前n项和，若，，则( )．
A．120B．85C．D．
【答案】C
解析：方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
3．(2021年高考全国甲卷文科·第9题)记为等比数列的前n项和．若，，则( )
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
解析：∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴．
故选：A．
4．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第10题)设等比数列，且，，则( )
A．12B．24C．30D．32
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，则，
，
因此，．
故选：D．
5．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第6题)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=( )
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，
由可得：，
所以，
因此．
故选：B．
6．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第10题)已知等比数列的前3项和为168，，则( )
A14B．12C．6D．3
【答案】D
解析：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以．
故选：D．
7．(2019·全国Ⅲ·文·第5题)已知各项为正数的等比数列的前4项和为15，且，则( )
A．16B．8C．4D．2
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，则由前4项和为15，且，有
，，，故选：C．
8．(2018年高考数学浙江卷·第10题)已知成等比数列，且，若，则( )
A．B．
C．D．
【答案】B
解析：由的结构，想到对数放缩最常用公式，
所以，得到，于是公比．
若，则，
而，即，矛盾，
所以，于是，故选B．
9．(2014高考数学课标2文科·第5题)等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则的前项和=( )
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
【答案】A
解析：∵，，，成等比数列，∴，即．解得，．∴．∴选A．
10．(2014高考数学大纲文科·第8题)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )
A．31B．32C．63D．64
【答案】C
解析:由题意，成等比数列，则，．
11．(2015高考数学新课标2文科·第9题)已知等比数列满足,,则( )
【答案】C
分析：由题意可得,所以 ,故 ,选C．
12．(2023年全国甲卷文科·第13题)记为等比数列的前项和．若，则的公比为________．
【答案】
解析：若，
则由得，则，不合题意．
所以．
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得．
故答案为：
13．(2019·全国Ⅰ·文·第14题)记为等比数列的前项和，若，，则 ．
【答案】
【解析】，，设等比数列公比为，，，所以.
14．(2014高考数学广东文科·第13题)等比数列的各项均为正数，且，则
＝ ．
【答案】
解析：在等比数列中，．因为，所以，
所以，
所以
15．(2014高考数学江苏·第7题) 在各项均为正数的等比数列中，，则的值是 ．
【答案】4
解析：设公比为，因为，则由得，，解得或(舍)，所以．
16．(2015高考数学新课标1文科·第13题)数列中为的前n项和，若，则 ．
【答案】6
分析：∵，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，∴，∴n=6．
17．(2015高考数学广东文科·第13题)若三个正数，，成等比数列，其中，，则 ．
【答案】
解析：因为三个正数，，成等比数列，所以，因为，所以，所以答案应填：．
18．(2017年高考数学江苏文理科·第9题)等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则=____．
【答案】 32
解析:当时,显然不符合题意;
当时,,解得,则．
题型四： 等差与等比的综合
1．(2014高考数学天津文科·第5题)设是首项为，公差为－1的等差数列，为其前n项和．若成等比数列，则=( )
A．2B．-2C．D．
【答案】D
解析：依题意得，所以，解得．故选D．
2．(2014高考数学辽宁文科·第9题)设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析: ,故选D
3．(2015高考数学浙江文科·第10题)已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则 ， ．
【答案】
解析：
由题可得，，故有，又因为，即，所以．
4．(2015高考数学福建文科·第16题)若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于________．
【答案】9
解析：由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以．
5．(2020江苏高考·第11题)设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则的值是_______．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意．
等差数列的前项和公式为，
等比数列的前项和公式为，
依题意，即，
通过对比系数可知，故．故答案为：
题型五： 数列的求和
1．(2021年高考浙江卷·第10题)已知数列满足．记数列的前n项和为，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析:因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
所以，即．
故选A．
2．(2020年浙江省高考数学试卷·第11题)已知数列{an}满足，则S3=________．
【答案】10
解析：因为，所以．
即．
3．(2015高考数学江苏文理·第11题)设数列满足，且(), 则数列前10项的和为_______．
【答案】
解析：由题意得：
所以
题型六： 数列与数学文化
1．(2022新高考全国II卷·第3题)图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0．1的等差数列，且直线的斜率为0．725，则( )
( )
A．0．75B．0．8C．0．85D．0．9
【答案】D
解析：设，则，
依题意，有，且，
所以，故． 故选 D．
2．(2021高考北京·第6题)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位:cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
【答案】C
解析：由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以．
故选：C．
3．(2018年高考数学北京(文)·第5题)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率，则第八个单音频率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：因为每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，所以，而，所以，故选D．
4．(2023年北京卷·第14题)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________．
【答案】①． 48 ②． 384
解析：方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，
则，且，可得，
则，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因为为等比数列，则，
且，所以；
又因为，则；
空2：设后7项公比为，则，解得，
可得，
所以．
故答案为：48；384．
5．(2021年新高考Ⅰ卷·第16题)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______．
【答案】 5
解析:(1)对折次可得到如下规格：，，，，，共种；
(2)由题意可得，，，，，，
设，
则，
两式作差得
，
因此，,故答案为 ；．
题型七：数列的综合应用
1．(2023年北京卷·第10题)已知数列满足，则( )
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
【答案】B
解析：法1：因为，故，
对于A ，若，可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立，
由数学归纳法可得成立．
而，
，，故，故，
故为减数列，注意
故，结合，
所以，故，故，
若存在常数，使得恒成立，则，
故，故，故恒成立仅对部分成立，
故A不成立．
对于B，若可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立即
由数学归纳法可得成立．
而，
，，故，故，故为增数列，
若，则恒成立，故B正确．
对于C，当时， 可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立即
由数学归纳法可得成立．
而，故，故为减数列，
又，结合可得：，所以，
若，若存在常数，使得恒成立，
则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误．
对于D，当时， 可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立
由数学归纳法可得成立．
而，故，故为增数列，
又，结合可得：，所以，
若存在常数，使得恒成立，则，
故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误．
故选：B．
法2：因为，
令，则，
令，得或；
令，得；
所以在和上单调递增，在上单调递减，
令，则，即，解得或或，
注意到，，
所以结合的单调性可知在和上，在和上，
对于A，因为，则，
当时，，，则，
假设当时，，
当时，，则，
综上：，即，
因为在上，所以，则为递减数列，
因为，
令，则，
因为开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，故，
所以在上单调递增，故，
故，即，
假设存常数，使得恒成立，
取，其中，且，
因为，所以，
上式相加得，，
则，与恒成立矛盾，故A错误；
对于B，因为，
当时，，，
假设当时，，
当时，因为，所以，则，
所以，
又当时，，即，
假设当时，，
当时，因为，所以，则，
所以，
综上：，
因为在上，所以，所以为递增数列，
此时，取，满足题意，故B正确；
对于C，因为，则，
注意到当时，，，
猜想当时，，
当与时，与满足，
假设当时，，
当时，所以，
综上：，
易知，则，故，
所以，
因为在上，所以，则为递减数列，
假设存在常数，使得恒成立，
记，取，其中，
则，
故，所以，即，
所以，故不恒成立，故C错误；
对于D，因为，
当时，，则，
假设当时，，
当时，，则，
综上：，
因为在上，所以，所以为递增数列，
因为，
令，则，
因为开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，故，
所以，
故，即，
假设存在常数，使得恒成立，
取，其中，且，
因为，所以，
上式相加得，，
则，与恒成立矛盾，故D错误．
故选：B
2．(2017年高考数学上海(文理科)·第14题)已知数列和,其中,,的项是互不相等的正整数,若对于任意,的第项等于的第项,则________．
【答案】2
【解析】．
3．(2016高考数学上海文科·第14题)无穷数列由个不同的数组成，为的前项和．若对任意的，，则的最大值为 ．
【答案】4
【解析】当时，或；当时，若，则，于是，若，则，于是．从而存在，当时，．其中数列 ：2,1，-1,0,0，……满足条件，所以．
4．(2015高考数学江苏文理·第14题)设向量 ()，则的值为_______．
【答案】
解析： akak+1
因为的周期皆为，一个周期的和皆为零，
因此(akak+1)
5．(2018年高考数学江苏卷·第14题)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为 ．
【答案】27
解析：设，则＝
＝＝
由得，，所以，即．
所以只需研究是否有满足条件的解，此时，
＝＝，
，m为等差数列的项数，且m＞16．
由＞，＞0，所以，，
所以满足条件的最小值为27．
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc142251983" 题型一： 数列的概念与通项公式 PAGEREF _Tc142251983 \h 1
\l "_Tc142251984" 题型二： 等差数列 PAGEREF _Tc142251984 \h 5
\l "_Tc142251985" 题型三： 等比数列 PAGEREF _Tc142251985 \h 10
\l "_Tc142251986" 题型四： 等差与等比的综合 PAGEREF _Tc142251986 \h 15
\l "_Tc142251987" 题型五： 数列的求和 PAGEREF _Tc142251987 \h 16
\l "_Tc142251988" 题型六： 数列与数学文化 PAGEREF _Tc142251988 \h 18
\l "_Tc142251989" 题型七：数列的综合应用 PAGEREF _Tc142251989 \h 21
题型一： 数列的概念与通项公式
1．(2019·浙江·文理·第10题)已知，，数列满足，，，则( )
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】A
【解析】解法一：对于B，由，得．取，则，所以，不合题意；
对于C，由，得或．取，则，所以，不合题意；
对于D，由，得．取，则，所以，不合题意．
对于A，，，，，递增，当时，，，迭乘法得，，A正确．故选A．
解法二:借助图形
其中选项中均含有不动点，由于的不确定性，故都不能说明．故选A．
2．(2016高考数学浙江文科·第8题)如图，点列分别在某锐角的两边上，且，,(表示点P与Q不重合)，若为的面积，则( )
A．是等差数列B．是等差数列
C．是等差数列D．是等差数列
【答案】A
解析：表示点到对面直线的距离(设为)乘以，由题目条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，过作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，，作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．
3．(2022高考北京卷·第15题)己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①③④
解析:由题意可知，，，
当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
所以，，则，整理可得，
因为，解得，①对；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，
故数列不等比数列，②错；
当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；
假设对任意，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对．
故答案为：①③④．
4．(2014高考数学课标2文科·第16题)数列满足，，则 ．
【答案】
解析：∵，∴．∵，∴．∴．∴，可知周期为4∴．
5．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第16题)数列满足，前16项和为540，则 ______________．
【答案】
【解析】，
当为奇数时，；当为偶数时，．
设数列的前项和为，
，
．
故答案为：．
6．(2019·上海·文理·第8题)已知数列前n项和为，且满足，则______.
【答案】
【解析】由得：()
题型二： 等差数列
1．(2023年全国甲卷文科·第5题)记为等差数列的前项和．若，则( )
A．25B．22C．20D．15
【答案】C
解析：方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C．
2．(2020年浙江省高考数学试卷·第7题)已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n，，下列等式不可能成立的是( )
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．
【答案】D
解析：对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；
对于B，由题意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；
对于C，，
当时，，C正确；
对于D，，，
．
当时，，∴即；
当时，，∴即，所以，D不正确． 故选：D
3．(2022高考北京卷·第6题)设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
解析:设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数．
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列．
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”．
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件．
故选,C．
4．(2020北京高考·第8题)在等差数列中，，．记，则数列 ( )．
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
【答案】B
【解析】由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，．故数列中存在最大项，且最大项为．
故选：B．
5．(2014高考数学重庆文科·第2题)在等差数列中，，则( )
A．5B．8C．10D．14
【答案】B
解析：由等差数列通项公式及解得,于是．
6．(2015高考数学新课标2文科·第5题)设是等差数列的前项和,若,则( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：
解析：由,所有．故选A．
7．(2015高考数学新课标1文科·第7题)已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
分析：∵公差，，∴，解得=，∴，故选B．
8．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第14题)记为等差数列前n项和．若，则__________．
【答案】
【解析】是等差数列，且，
设等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前项和公式：
可得：
．
故答案为：．
9．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第14题)将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
【答案】
解析：因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，故答案为：．
10．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第15题)将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
【答案】
解析：因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：．
11．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第13题)记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【答案】2
解析：由可得，化简得，
即，解得．
故答案为：2．
12．(2019·全国Ⅲ·文·第13题)记为等差数列的前n项和，若，，则___________．
【答案】100
【解析】在等差数列中，由，，得，
．则．
13．(2019·江苏·文理·第8题)已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是 .
【答案】16
【解析】由，得，从而，即，解得，所以.
14．(2018年高考数学上海·第6题)记等差数列的前项和为．若，，则 ．
【答案】14
解析：，，，，．
15．(2014高考数学江西文科·第13题)在等差数列中,,公差为,前项和为,当且仅当时取最大值,则的取值范围_________．
【答案】
分析:由题意得:,所以,即
考点:等差数列性质
16．(2015高考数学安徽文科·第13题)已知数列中，，()，则数列的前9项和等于 ．
【答案】27
解析：∵时，
∴为首项，为公差的等差数列
∴
17．(2016高考数学江苏文理科·第8题)已知是等差数列，是其前项和．若，，则的值是 ．
【答案】．
解析：设公差为，则由题意可得，，解得，，则．
18．(2015高考数学陕西文科·第13题)中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________
【答案】5
解析：若这组数有个，则，，又，所以；
若这组数有个，则，，又，所以；
故答案为5
题型三： 等比数列
1．(2023年天津卷·第6题)已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为( )
A．3B．18C．54D．152
【答案】C
解析：由题意可得：当时，，即， ①
当时，，即， ②
联立①②可得，则．
故选：C．
2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第8题)记为等比数列的前n项和，若，，则( )．
A．120B．85C．D．
【答案】C
解析：方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
3．(2021年高考全国甲卷文科·第9题)记为等比数列的前n项和．若，，则( )
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
解析：∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴．
故选：A．
4．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第10题)设等比数列，且，，则( )
A．12B．24C．30D．32
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，则，
，
因此，．
故选：D．
5．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第6题)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=( )
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，
由可得：，
所以，
因此．
故选：B．
6．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第10题)已知等比数列的前3项和为168，，则( )
A14B．12C．6D．3
【答案】D
解析：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以．
故选：D．
7．(2019·全国Ⅲ·文·第5题)已知各项为正数的等比数列的前4项和为15，且，则( )
A．16B．8C．4D．2
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，则由前4项和为15，且，有
，，，故选：C．
8．(2018年高考数学浙江卷·第10题)已知成等比数列，且，若，则( )
A．B．
C．D．
【答案】B
解析：由的结构，想到对数放缩最常用公式，
所以，得到，于是公比．
若，则，
而，即，矛盾，
所以，于是，故选B．
9．(2014高考数学课标2文科·第5题)等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则的前项和=( )
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
【答案】A
解析：∵，，，成等比数列，∴，即．解得，．∴．∴选A．
10．(2014高考数学大纲文科·第8题)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )
A．31B．32C．63D．64
【答案】C
解析:由题意，成等比数列，则，．
11．(2015高考数学新课标2文科·第9题)已知等比数列满足,,则( )
【答案】C
分析：由题意可得,所以 ,故 ,选C．
12．(2023年全国甲卷文科·第13题)记为等比数列的前项和．若，则的公比为________．
【答案】
解析：若，
则由得，则，不合题意．
所以．
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得．
故答案为：
13．(2019·全国Ⅰ·文·第14题)记为等比数列的前项和，若，，则 ．
【答案】
【解析】，，设等比数列公比为，，，所以.
14．(2014高考数学广东文科·第13题)等比数列的各项均为正数，且，则
＝ ．
【答案】
解析：在等比数列中，．因为，所以，
所以，
所以
15．(2014高考数学江苏·第7题) 在各项均为正数的等比数列中，，则的值是 ．
【答案】4
解析：设公比为，因为，则由得，，解得或(舍)，所以．
16．(2015高考数学新课标1文科·第13题)数列中为的前n项和，若，则 ．
【答案】6
分析：∵，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，∴，∴n=6．
17．(2015高考数学广东文科·第13题)若三个正数，，成等比数列，其中，，则 ．
【答案】
解析：因为三个正数，，成等比数列，所以，因为，所以，所以答案应填：．
18．(2017年高考数学江苏文理科·第9题)等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则=____．
【答案】 32
解析:当时,显然不符合题意;
当时,,解得,则．
题型四： 等差与等比的综合
1．(2014高考数学天津文科·第5题)设是首项为，公差为－1的等差数列，为其前n项和．若成等比数列，则=( )
A．2B．-2C．D．
【答案】D
解析：依题意得，所以，解得．故选D．
2．(2014高考数学辽宁文科·第9题)设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析: ,故选D
3．(2015高考数学浙江文科·第10题)已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则 ， ．
【答案】
解析：
由题可得，，故有，又因为，即，所以．
4．(2015高考数学福建文科·第16题)若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于________．
【答案】9
解析：由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以．
5．(2020江苏高考·第11题)设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则的值是_______．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意．
等差数列的前项和公式为，
等比数列的前项和公式为，
依题意，即，
通过对比系数可知，故．故答案为：
题型五： 数列的求和
1．(2021年高考浙江卷·第10题)已知数列满足．记数列的前n项和为，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析:因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
所以，即．
故选A．
2．(2020年浙江省高考数学试卷·第11题)已知数列{an}满足，则S3=________．
【答案】10
解析：因为，所以．
即．
3．(2015高考数学江苏文理·第11题)设数列满足，且(), 则数列前10项的和为_______．
【答案】
解析：由题意得：
所以
题型六： 数列与数学文化
1．(2022新高考全国II卷·第3题)图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0．1的等差数列，且直线的斜率为0．725，则( )
( )
A．0．75B．0．8C．0．85D．0．9
【答案】D
解析：设，则，
依题意，有，且，
所以，故． 故选 D．
2．(2021高考北京·第6题)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位:cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
【答案】C
解析：由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以．
故选：C．
3．(2018年高考数学北京(文)·第5题)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率，则第八个单音频率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：因为每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，所以，而，所以，故选D．
4．(2023年北京卷·第14题)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________．
【答案】①． 48 ②． 384
解析：方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，
则，且，可得，
则，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因为为等比数列，则，
且，所以；
又因为，则；
空2：设后7项公比为，则，解得，
可得，
所以．
故答案为：48；384．
5．(2021年新高考Ⅰ卷·第16题)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______．
【答案】 5
解析:(1)对折次可得到如下规格：，，，，，共种；
(2)由题意可得，，，，，，
设，
则，
两式作差得
，
因此，,故答案为 ；．
题型七：数列的综合应用
1．(2023年北京卷·第10题)已知数列满足，则( )
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
【答案】B
解析：法1：因为，故，
对于A ，若，可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立，
由数学归纳法可得成立．
而，
，，故，故，
故为减数列，注意
故，结合，
所以，故，故，
若存在常数，使得恒成立，则，
故，故，故恒成立仅对部分成立，
故A不成立．
对于B，若可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立即
由数学归纳法可得成立．
而，
，，故，故，故为增数列，
若，则恒成立，故B正确．
对于C，当时， 可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立即
由数学归纳法可得成立．
而，故，故为减数列，
又，结合可得：，所以，
若，若存在常数，使得恒成立，
则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误．
对于D，当时， 可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立
由数学归纳法可得成立．
而，故，故为增数列，
又，结合可得：，所以，
若存在常数，使得恒成立，则，
故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误．
故选：B．
法2：因为，
令，则，
令，得或；
令，得；
所以在和上单调递增，在上单调递减，
令，则，即，解得或或，
注意到，，
所以结合的单调性可知在和上，在和上，
对于A，因为，则，
当时，，，则，
假设当时，，
当时，，则，
综上：，即，
因为在上，所以，则为递减数列，
因为，
令，则，
因为开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，故，
所以在上单调递增，故，
故，即，
假设存常数，使得恒成立，
取，其中，且，
因为，所以，
上式相加得，，
则，与恒成立矛盾，故A错误；
对于B，因为，
当时，，，
假设当时，，
当时，因为，所以，则，
所以，
又当时，，即，
假设当时，，
当时，因为，所以，则，
所以，
综上：，
因为在上，所以，所以为递增数列，
此时，取，满足题意，故B正确；
对于C，因为，则，
注意到当时，，，
猜想当时，，
当与时，与满足，
假设当时，，
当时，所以，
综上：，
易知，则，故，
所以，
因为在上，所以，则为递减数列，
假设存在常数，使得恒成立，
记，取，其中，
则，
故，所以，即，
所以，故不恒成立，故C错误；
对于D，因为，
当时，，则，
假设当时，，
当时，，则，
综上：，
因为在上，所以，所以为递增数列，
因为，
令，则，
因为开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，故，
所以，
故，即，
假设存在常数，使得恒成立，
取，其中，且，
因为，所以，
上式相加得，，
则，与恒成立矛盾，故D错误．
故选：B
2．(2017年高考数学上海(文理科)·第14题)已知数列和,其中,,的项是互不相等的正整数,若对于任意,的第项等于的第项,则________．
【答案】2
【解析】．
3．(2016高考数学上海文科·第14题)无穷数列由个不同的数组成，为的前项和．若对任意的，，则的最大值为 ．
【答案】4
【解析】当时，或；当时，若，则，于是，若，则，于是．从而存在，当时，．其中数列 ：2,1，-1,0,0，……满足条件，所以．
4．(2015高考数学江苏文理·第14题)设向量 ()，则的值为_______．
【答案】
解析： akak+1
因为的周期皆为，一个周期的和皆为零，
因此(akak+1)
5．(2018年高考数学江苏卷·第14题)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为 ．
【答案】27
解析：设，则＝
＝＝
由得，，所以，即．
所以只需研究是否有满足条件的解，此时，
＝＝，
，m为等差数列的项数，且m＞16．
由＞，＞0，所以，，
所以满足条件的最小值为27．
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