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十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题06不等式（文科）（Word版附解析）
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这是一份十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题06不等式（文科）（Word版附解析），共43页。试卷主要包含了已知，，，则的大小关系为，已知，，，则，若则一定有，能够说明“设是任意实数等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc142306117" 题型一： 不等式的性质及其应用 PAGEREF _Tc142306117 \h 1
\l "_Tc142306118" 题型二： 解不等式 PAGEREF _Tc142306118 \h 2
\l "_Tc142306119" 题型三： 基本不等式 PAGEREF _Tc142306119 \h 3
\l "_Tc142306120" 题型四： 简单的线性规划 PAGEREF _Tc142306120 \h 8
\l "_Tc142306121" 题型五： 不等式综合问题 PAGEREF _Tc142306121 \h 39
题型一： 不等式的性质及其应用
1．(2019·天津·文·第5题)已知，，，则的大小关系为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【思路分析】本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果．
【解析】由题意，可知：，，，所以．故选A．
2．(2019·全国Ⅰ·文·第3题)已知，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由对数函数的图像可知：；再有指数函数的图像可知：，，于是可得到：.
3．(2014高考数学四川文科·第5题)若则一定有( )
A．＞B．＜C．＞D．＜
【答案】B
解析:因为，所以＜＜0，即－＞－eq \f(1,c)＞0，与对应相乘得，－＞－＞0，所以＜，故选B．
4．(2018年高考数学北京(文)·第11题) 能说明若，则为假命题的一组的值依次为 ．
【答案】 (答案不唯一)
解析：使“若，则 为假命题，则使若，则 为真命题即可．
只需让即可满足，所以满足条件的一组的值为 (答案不唯一)．
5．(2017年高考数学北京文科·第14题)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:
(ⅰ)男学生人数多于女学生人数;
(ⅱ)女学生人数多于教师人数;
(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为,则女学生人数的最大值为__________．
②该小组人数的最小值为__________．
【答案】
【解析】设男生数,女生数,教师数为 ,则 ,．
第一小问:．
第二小问:．
6．(2017年高考数学北京文科·第13题)能够说明“设是任意实数．若,则”是假命题的一组整数的值依次为______________________________．
【答案】
【解析】由当时有成立,故原命题是假命题,必须有,可举例子如下:．
题型二： 解不等式
1．(2014高考数学大纲文科·第3题)不等式组的解集为( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析: 原不等式组可化为，所以，故选C．
2．(2015高考数学上海文科·第16题)下列不等式中，与不等式解集相同的是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
解析：因为恒成立，所以由不等式的性质可得，选择B．
3．(2019·天津·文·第10题)设，使不等式成立的的取值范围为_________．
【答案】
【思路分析】解一元二次不等式即可．
【解析】，将分解因式即有：；；由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：；即：；或；故答案为；
4．(2015高考数学广东文科·第11题)不等式的解集为 ．(用区间表示)
【答案】
解析：由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．
5．(2015高考数学江苏文理·第7题)不等式的解集为_______．
【答案】
解析：由题意得：，解集为
6．(2017年高考数学上海(文理科)·第7题)不等式的解集为________．
【答案】
【解析】,解集为．
题型三： 基本不等式
1．(2014高考数学重庆文科·第9题)若，则的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】D．
解析：由可知，经过化简得：，即，
于是．
2．(2014高考数学福建文科·第9题)要制作一个容积为，高为1m的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧
面造价是是每平方米10元，则该溶器的最低总造价是( )
A．80元B．120元C．160元D．240元
【答案】C
解析：设池底长和宽分别为和,成本为．则因为长方体容器的容积为,高为1,所以底面面积,,因为,当且仅当时,取最小值,即容器的总造价最小值为．
3．(2015高考数学湖南文科·第7题)若实数满足，则的最小值为( )
A．B．2C．2D．4
【答案】C
解析：
，(当且仅当时取等号)，所以的最小值为，故选C．
4．(2015高考数学福建文科·第5题)若直线过点，则的最小值等于( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
解析：由已知得，则，因为，所以，故，当，即时取等号．
5．(2022年全国高考甲卷数学(文)·第16题)已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
【答案】或
【解析】设，
则在中，，
在中，，
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，．
故答案为：．
6．(2021高考天津·第13题)若，则的最小值为____________．
【答案】
解析：， ，
当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为．
故答案：．
7．(2020天津高考·第14题)已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立．
故答案为：
8．(2020江苏高考·第12题)已知，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】,且
，当且仅当，即时取等号．
的最小值为．故答案为：．
9．(2019·天津·文·第13题)设，，，则的最小值为________．
【答案】
【思路分析】利用基本不等式求最值．
【解析】法一：，，，则；
，，，由基本不等式有：，
所以，，所以；
(当且仅当时，即：，时，等号成立)，
故的最小值为．故答案为
法二：，
等号当且仅当，即时成立，故所求的最小值为．
10．(2019·上海·文理·第7题)若，且，则的最大值为________.
【答案】
【解析】法一：，∴；
法二：由，()，求二次最值.
11．(2019·江苏·文理·第10题)在平面直角坐标系中，是曲线上一动点，则点到直线的距离最小值是______.
【答案】4
【解析】法1：由已知，可设，所以.
当且仅当，即时取等号，故点到直线的距离的最小值为4.
法2：距离最小时，，则，所以,所以最小值为4.
12．(2018年高考数学江苏卷·第13题)在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．
【答案】9
解析：由题意可知，，由角平分线性质和三角形面积公式得，，化简得，，因此
，当且仅当时取等号，所以的最小值为9．
13．(2018年高考数学天津(文)·第13题)已知，且，则的最小值为 ．
【答案】
解析：由，得，所以，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．
14．(2014高考数学上海文科·第6题)若实数满足则的最小值为_________________．
【答案】
解析:
15．(2014高考数学辽宁文科·第16题)对于，当非零实数，满足，且使最大时，的最小值为__________．
【答案】-1
解析：由已知得，
令
因而，此时
整理得
，
，故填-1
16．(2015高考数学重庆文科·第14题)设,则的最大值为 ________．
【答案】
解析：由两边同时加上
得两边同时开方即得：(且当且仅当时取“=”)，
从而有(当且仅当,即时，“=”成立)
故填：．
题型四： 简单的线性规划
1．(2021年高考浙江卷·第5题)若实数x，y满足约束条件，则的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析:画出满足约束条件的可行域，如下图所示：
目标函数化为，由，解得，设，当直线过点时，取得最小值为,故选B．
2．(2021年全国高考乙卷文科·第5题)若满足约束条件则的最小值为( )
A．18B．10C．6D．4
【答案】C
解析：由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，
由可得点,
转换目标函数为，
上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，
此时．
故选：C．
3．(2020年浙江省高考数学试卷·第3题)若实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最小值为：
且目标函数没有最大值．故目标函数的取值范围是．故选：B
4．(2022年浙江省高考数学试题·第3题)若实数x，y满足约束条件则的最大值是( )
A．20B．18C．13D．6
【答案】B
解析:不等式组对应的可行域如图所示：
当动直线过时有最大值．
由可得，故，
故，故选,B．
5．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第5题)若x，y满足约束条件则最大值是( )
A．B．4C．8D．12
【答案】C
解析：由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
转化目标函数为，
上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z最大，
所以．
故选：C．
6．(2019·浙江·文理·第3题)若实数，满足约束条件则的最大值是( )
A．B．C．D．
【答案】【答案】C
【解析】根据约束条件画出可行域，如图所示，其中．由得，当直线过时，在轴上的截距最大，所以有最大值为．故选C．
7．(2019·天津·文·第2题)设变量满足约束条件则目标函数的最大值为( )
A．2B．3C．5D．6
【答案】【答案】C
【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解析】由约束条件作出可行域如图
联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，有最大值为5．故选C．
8．(2018年高考数学天津(文)·第2题)设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为( )
A．6B．19C．21D．45
【答案】C
解析：作可行域为如图所示的四边形，其中，由
，可得，表示斜率为，纵截距为的直线，作直线并平移，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，
．
9．(2014高考数学天津文科·第2题)设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
解析：由题画出如图所示的可行域，由图可知当直线经过点时，，故选B．
10．(2014高考数学山东文科·第10题)已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为( )
A．5B．4C．D．2
【答案】
解析：画出可行域(如图所示)，由于,所
以经过直线与直线的
交点时，取得最小值，即,
代入得,所以时，．
11．(2014高考数学课标2文科·第9题)设，满足约束条件，则的最大值为( )
A．8B．7C．2D．1
【答案】B
解析：画出可行域，
y
x+y-1=0
x-3y+3=0
x
x-y-1=0
知道可行域为三角形，两两求解，得三点坐标，
，，分别代入，算出的最大值为。∴选Ｂ。
12．(2014高考数学课标1文科·第11题)设，满足约束条件且的最小值为7，则( )
A．-5B．3
C．-5或3D．5或-3
【答案】B
解析：画出不等式组对应的平面区域， 如图所示．
在平面区域内，平移直线，可知在点 A处，z 取得最值，故解之得a 5或a 3．但a 5时，z取得最大值，故舍去，答案为a 3． 选B．
13．(2014高考数学湖北文科·第4题)若变量、满足约束条件，则的最大值是( )
A．2B．4C．7D．8
【答案】C
解析：作出约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y≤4，,x－y≤2，,x≥0，y≥0))表示的可行域如下图阴影部分所示．
设z＝2x＋y，平移直线2x＋y＝0，易知在直线x＋y＝4与直线x－y＝2的交点A(3，1)处，z＝2x＋y取得最大值7．故选C．
14．(2014高考数学广东文科·第4题)若变量满足约束条件，则的最大值等于( )
A．7B．8C．10D．11
【答案】C
解析：作出不等式组所表示的可行域如下图所示，
直线交直线于点，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，故选C．
15．(2014高考数学福建文科·第11题)已知圆，设平面区域，若圆心,且圆C与轴
相切，则的最大值为( )
A．5B．29C．37D．49
【答案】C
解析：做出不等式组对应的平面区域如图:圆心为,半径为1．因为圆心,且圆与轴相切,所以,则,所以要使取得最大值,只需取最大即可,由图象可知,当圆心位于点时,取值最大,由,解得,即,所以当时,,即最大值取37,故选C．
16．(2015高考数学重庆文科·第10题)若不等式组,表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则的值为( )
A．B．1C．D．3
【答案】B
解析：如图，
，
由于不等式组,表示的平面区域为，且其面积等于，
再注意到直线与直线互相垂直，所以是直角三角形，
易知，,;从而=，
化简得：，解得,或，检验知当时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以;故选B．
17．(2015高考数学湖南文科·第4题)若变量满足约束条件，则的最小值为( )
A．B．0C．1D．2
【答案】A
解析：
由约束条作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立 ,
∴在点A处取得最小值为．故选：A．
18．(2015高考数学广东文科·第4题)若变量，满足约束条件，则的最大值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：作出可行域如图所示：
作直线，再作一组平行于的直线，当直线经过点时，取得最大值，由得：，所以点的坐标为，所以，故选B．
19．(2015高考数学福建文科·第10题)变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：将目标函数变形为，当取最大值，则直线纵截距最小，故当时，不满足题意；当时，画出可行域，如图所示， 其中．显然不是最优解，故只能是最优解，代入目标函数得，解得，故选C．
20．(2015高考数学安徽文科·第5题)已知x，y满足约束条件，则的最大值是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：
令，可知在图中处，取到最大值-1,故选A．
21．(2017年高考数学浙江文理科·第4题)若满足约束条件则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】 D
【解析】由图可知,在点取到的最小值为,没有最大值,故．故选D．
22．(2017年高考数学山东文科·第3题)已知满足约束条件,则的最大值是( )
A．B．C．D．
【答案】 D
【解析】由画出可行域及直线如图所示,平移发现,
当其经过直线与的交点时,
最大为．
23．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷文科·第5题)设满足约束条件,则的取值范围是( )
【答案】 B
【解析】先作出约束条件表示的可行域，如下图，目标函数中相当于直线中的纵截距，的范围就是直线在可行域内平行移动时纵截距的取值范围，当直线经过点时，直线取得纵截距的最大值，取得最小值 ，当直线经过点 时，直线的纵截距最小，取得最大值，故．
24．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科·第7题)设x、y满足约束条件．则的最小值是( )
A．B．C．D
【答案】 A
【解析】在平面直角坐标系内画出约束条件满足的平面区域为如图所示的阴影部分的三角形ABC(包含边界),其中,由图可知过点时,取得最大值．故选A．
25．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科·第7题)设满足约束条件则的最大值为( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】 D
【解析】如图,目标函数经过时最大,故,故选D．
方法二:线性目标函数一定在边界上取到最值,可行域为一个三角形,三个顶点坐标分别为,
,所以
26．(2017年高考数学北京文科·第4题)若满足则的最大值为( )
A．B．C．D．
【答案】 D
【解析】
令,则,其表示与平行的一组直线,当在经过可行域平移时,截距越大,的值越大,当平移到过点时,截距有最大值,即．
27．(2016高考数学浙江文科·第4题)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：画出不等式组的平面区域如图所示，由得，由的，由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A和点B时，两直线的距离最小，即．故选B．
28．(2016高考数学山东文科·第4题)若变量满足，则的最大值是( )
A．4B．9C．10D．12
【答案】C
解析：画出可行域如图所示，点到原点距离最大
所以，选C．
29．(2023年全国乙卷文科·第15题)若x，y满足约束条件，则的最大值为______．
【答案】8
解析：作出可行域如下图所示：
，移项得，
联立有，解得，
设，显然平移直线使其经过点，此时截距最小，则最大，
代入得，
故答案为：8．
30．(2023年全国甲卷文科·第15题)若x，y满足约束条件，设的最大值为____________．
【答案】15
解析：作出可行域，如图，
由图可知，当目标函数过点时，有最大值，
由可得，即
所以．
故答案为：15
31．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第13题)若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为______________．
【答案】1
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为：．
故答案：1．
32．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第15题)若x，y满足约束条件则的最大值是__________．
【答案】
【解析】不等式组表示的平面区域为下图所示：
平移直线，当直线经过点时，直线在纵轴上的截距最大，
此时点的坐标是方程组的解，解得：，
因此的最大值为：．
故答案为：．
33．(2020年高考课标Ⅲ卷文科·第13题)若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_________．
【答案】7
【解析】不等式组所表示的可行域如图
因为，所以，易知截距越大，则越大，
平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，
由，得，，
所以．
故答案为：7．
34．(2019·上海·文理·第5题)已知满足，求的最小值为________.
【答案】【答案】
【解析】线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当，时，.
35．(2019·全国Ⅱ·文·第13题)若变量满足约束条件则的最大值是___________.
【答案】【答案】9
【解析】画出不等式组表示的可行域，如图所示，
阴影部分表示的三角形区域，根据直线中的表示纵截距的相反数，当直线过点时，取最大值为9．
36．(2019·北京·文·第10题)若，满足则的最小值为 ；最大值为 ．
【答案】【答案】；．
【解析】由约束条件作出可行域如图
，，令，作出直线，由图可知，平移直线，当直线过时，有最小值为，过时，有最大值．
37．(2018年高考数学浙江卷·第12题)若满足约束条件，则的最小值是______，最大值是______．
【答案】，
解法1：由图可得，当直线过时，；当直线过时，．
解法2：由条件知，构成的可行域为封闭区域，最大值最小值只能在三个顶点处取得，
把分别代入，可得，．
38．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(文)·第15题)若变量满足约束条件则的最大值是________．
【答案】3
解析：画出变量满足约束条件表示的平面区域如图：解得．
变形为，作出目标函数对应的直线，当直线过时，直线的纵截距最小，最大，最大值为．
39．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(文)·第14题)若满足约束条件 则的最大值为__________．
【答案】9
解析：由满足约束条件作出可行域如图，化目标函数为，由图可知，当直线过时，取得最大值，由，解得，目标函数有最大值，为．故答案为：9．
40．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(文)·第14题)若满足约束条件，则的最大值为________．
【答案】6
解法1：(直接法)约束条件可行域如下图：
可行域如上图阴影部分：目标函数可化为，
将进行平移，可得在处距最大，即最大，将，代入得
解法2：(交点法)将方程
两两求解得交点坐标为，代入一一检验即可，．
41．(2018年高考数学北京(文)·第13题) 若满足，则的最小值是 ．
【答案】3
解析：不等式可转化为 即
所以满足条件的在平面直角坐标系中的可行域为
令，则．
由图像可知，当过点时，取最小值，此时，
所以的最小值为3．
42．(2014高考数学浙江文科·第12题)若实数满足，则的取值范围是_____________；
【答案】
解析:作出可行域，如图，作直线，向右上
平移，过点时，取得最小值，过点时取得最大值．由，得，．
所以的取值范围是．
43．(2014高考数学辽宁文科·第14题)已知，满足约束条件,则目标函数的最大值为__________．
【答案】18
解析：目标函数转化为平行直线系：
如图所示画出可行域，
第14题解析图
观察知当直线过点B时，取最大值，
容易求得B点坐标为，代入到目标函数中，求得最大值为18，故填18
44．(2014高考数学湖南文科·第13题)若变量满足约束条件，则的最大值为 ．
【答案】7
解析：基本的线性规划题目，画图，可以直接看出(3,1)时有最大值，此时，
45．(2014高考数学大纲文科·第15题)设x，y满足约束条件则的最大值为________．
【答案】5
解析: 作出可行域如图：，即，当直线过时，，的最大值为5．
46．(2014高考数学北京文科·第13题)若、满足，则的最小值为 ．
【答案】．
解析：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数为，
由图可知，当直线过时直线在y轴上的截距最小．
此时．
故答案为：．
47．(2014高考数学安徽文科·第13题)不等式组表示的平面区域的面积为________．
【答案】
解析：由题意可得可行域如图所示：
三条直线分别交于A、B、D三点，其
中，，，，
所以不等式组表示的平面区域的面积为
．
48．(2015高考数学浙江文科·第14题)已知实数，满足，则的最大值是 ．
【答案】15
解析：
由图可知当时，满足的是如图的劣弧，则在点处取得最大值；当时，满足的是如图的优弧，则与该优弧相切时取得最大值，故，所以，故该目标函数的最大值为．
49．(2015高考数学新课标2文科·第14题)若满足约束条件 ,则的最大值为 ．
【答案】8
分析：不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域,的最大值必在顶点处取得,经验算,时．
50．(2015高考数学新课标1文科·第15题)若，满足约束条件则的最大值为_________________．
【答案】4
分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线：，平移直线，当直线:z=3x+y过点A时，z取最大值，由解得A(1,1)，∴z=3x+y的最大值为4．
51．(2015高考数学上海文科·第9题)若满足，则目标函数的最大值为 ．
【答案】3
解析：根据题意作出可行域，如图所示：由图可知，当直线过时有的最大值为．
52．(2015高考数学山东文科·第12题)若满足约束条件则的最大值为 ．
【答案】
解析：
画出可行域及直线，平移直线，当其经过点时，直线的纵截距最大，所以最大为．
53．(2015高考数学湖北文科·第12题)若变量满足约束条件 则的最大值是_________．
【答案】．
解析：首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得: 目标函数过点取得最大值，即，故应填．
考点：本题考查线性规划的最值问题，属基础题．
54．(2015高考数学北京文科·第13题)如图，及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为 ．
【答案】
解析：由题图可知，目标函数，因此当，即在点处时取得最大值为．
55．(2016高考数学上海文科·第7题)若满足 则的最大值为 ．
【答案】
【解析】由不等式组画出可行域，如图，令，当直线经过点时，取得最大值，且为．
56．(2016高考数学课标Ⅲ卷文科·第13题)设满足约束条件 则的最小值为______．
【答案】 【解析】如图所示，可行域为一个三角形及其内部，其中三角形三个顶点分别为，当直线过点时取最小值．
57．(2016高考数学课标Ⅱ卷文科·第14题)若满足约束条件 ，则的最小值为__________．
【答案】【解析1】可行域如图所示，则直线，所以当直线的纵截距最大时，取得最小值，故当直线经过时，有最小值．
【解析2】由得，点，由得，点，由得，点，分别将，，代入得：，，，所以的最小值为．
58．(2016高考数学课标Ⅰ卷文科·第16题)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料，乙材料，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料，乙材料，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．
【答案】
【解析】设生产产品A、产品B分别为件，利润之和为元，那么
目标函数为，二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组表示的平面区域(如图)，即可行域，
将变形，得，平行直线，当直线
经过点时， 取得最大值．
解方程组，得的坐标．
所以当，时，．
故生产产品、产品的利润之和的最大值为元．
59．(2016高考数学江苏文理科·第12题)已知实数满足 则的取值范围是 ．
【答案】．
解析：在平面直角坐标系中画出可行域如下
为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中点距离原点最近，此时距离为原点到直线的距离， ，则，图中点距离原点最远，点为与交点，则，则．
题型五： 不等式综合问题
1．(2020年浙江省高考数学试卷·第9题)已知a，bR且ab≠0，若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0在x≥0上恒成立，则( )
A．a<0B．a>0C．b<0D．b>0
【答案】C
解析：因为，所以且，设，则零点
为
当时，则，，要使，必有，且，
即，且，所以；
当时，则，，要使，必有．
综上一定有． 故选：C
2．(2023年全国乙卷文科·第11题)已知实数满足，则的最大值是( )
A．B．4C．D．7
【答案】C
解析：法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C
3．(2015高考数学天津文科·第12题)已知 则当的值为 时取得最大值．
【答案】4
解析：当时取等号,结合可得
4．(2015高考数学山东文科·第14题)定义运算“”： ()．当时，的最小值是 ．
【答案】
解析：
由新定义运算知， ，因为，，
所以，，当且仅当时，的最小值是．
5．(2017年高考数学天津文科·第13题)若a，，，则的最小值为____________ ．
【答案】4
【基本解法1】(两次均值)
当且仅当取等号
【基本解法2】(两次均值)
【基本解法3】(4维均值不等式)
【基本解法4】(换元)令
故
6．(2017年高考数学山东文科·第12题)若直线 过点,则的最小值为_________．
【答案】
【解析】由题意:,故．
7．(2017年高考数学江苏文理科·第10题)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是______．
【答案】30
解析:总费用,当且仅当,即时等号成立．
8．(2018年高考数学天津(文)·第14题)已知，函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】
解析：当时，恒成立，即，
设，则的对称轴为，所以当或时，取得最大值，所以，即；
当时，恒成立，即恒成立，设，则当时，取得最小值，所以，．
综上可知，实数的取值范围是．
9．(2021年高考浙江卷·第11题)我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则___________．
【答案】25
解析:由题意可得，大正方形的边长为：，则其面积为：，小正方形的面积：，从而,故答案为25．
10．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第11题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )
A．B．
C．D．
【答案】ABD
解析：对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD
11．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第12题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )
A．B．
C．D．
【答案】ABD
解析：对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc142306117" 题型一： 不等式的性质及其应用 PAGEREF _Tc142306117 \h 1
\l "_Tc142306118" 题型二： 解不等式 PAGEREF _Tc142306118 \h 2
\l "_Tc142306119" 题型三： 基本不等式 PAGEREF _Tc142306119 \h 3
\l "_Tc142306120" 题型四： 简单的线性规划 PAGEREF _Tc142306120 \h 8
\l "_Tc142306121" 题型五： 不等式综合问题 PAGEREF _Tc142306121 \h 39
题型一： 不等式的性质及其应用
1．(2019·天津·文·第5题)已知，，，则的大小关系为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【思路分析】本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果．
【解析】由题意，可知：，，，所以．故选A．
2．(2019·全国Ⅰ·文·第3题)已知，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由对数函数的图像可知：；再有指数函数的图像可知：，，于是可得到：.
3．(2014高考数学四川文科·第5题)若则一定有( )
A．＞B．＜C．＞D．＜
【答案】B
解析:因为，所以＜＜0，即－＞－eq \f(1,c)＞0，与对应相乘得，－＞－＞0，所以＜，故选B．
4．(2018年高考数学北京(文)·第11题) 能说明若，则为假命题的一组的值依次为 ．
【答案】 (答案不唯一)
解析：使“若，则 为假命题，则使若，则 为真命题即可．
只需让即可满足，所以满足条件的一组的值为 (答案不唯一)．
5．(2017年高考数学北京文科·第14题)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:
(ⅰ)男学生人数多于女学生人数;
(ⅱ)女学生人数多于教师人数;
(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为,则女学生人数的最大值为__________．
②该小组人数的最小值为__________．
【答案】
【解析】设男生数,女生数,教师数为 ,则 ,．
第一小问:．
第二小问:．
6．(2017年高考数学北京文科·第13题)能够说明“设是任意实数．若,则”是假命题的一组整数的值依次为______________________________．
【答案】
【解析】由当时有成立,故原命题是假命题,必须有,可举例子如下:．
题型二： 解不等式
1．(2014高考数学大纲文科·第3题)不等式组的解集为( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析: 原不等式组可化为，所以，故选C．
2．(2015高考数学上海文科·第16题)下列不等式中，与不等式解集相同的是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
解析：因为恒成立，所以由不等式的性质可得，选择B．
3．(2019·天津·文·第10题)设，使不等式成立的的取值范围为_________．
【答案】
【思路分析】解一元二次不等式即可．
【解析】，将分解因式即有：；；由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：；即：；或；故答案为；
4．(2015高考数学广东文科·第11题)不等式的解集为 ．(用区间表示)
【答案】
解析：由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．
5．(2015高考数学江苏文理·第7题)不等式的解集为_______．
【答案】
解析：由题意得：，解集为
6．(2017年高考数学上海(文理科)·第7题)不等式的解集为________．
【答案】
【解析】,解集为．
题型三： 基本不等式
1．(2014高考数学重庆文科·第9题)若，则的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】D．
解析：由可知，经过化简得：，即，
于是．
2．(2014高考数学福建文科·第9题)要制作一个容积为，高为1m的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧
面造价是是每平方米10元，则该溶器的最低总造价是( )
A．80元B．120元C．160元D．240元
【答案】C
解析：设池底长和宽分别为和,成本为．则因为长方体容器的容积为,高为1,所以底面面积,,因为,当且仅当时,取最小值,即容器的总造价最小值为．
3．(2015高考数学湖南文科·第7题)若实数满足，则的最小值为( )
A．B．2C．2D．4
【答案】C
解析：
，(当且仅当时取等号)，所以的最小值为，故选C．
4．(2015高考数学福建文科·第5题)若直线过点，则的最小值等于( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
解析：由已知得，则，因为，所以，故，当，即时取等号．
5．(2022年全国高考甲卷数学(文)·第16题)已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
【答案】或
【解析】设，
则在中，，
在中，，
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，．
故答案为：．
6．(2021高考天津·第13题)若，则的最小值为____________．
【答案】
解析：， ，
当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为．
故答案：．
7．(2020天津高考·第14题)已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立．
故答案为：
8．(2020江苏高考·第12题)已知，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】,且
，当且仅当，即时取等号．
的最小值为．故答案为：．
9．(2019·天津·文·第13题)设，，，则的最小值为________．
【答案】
【思路分析】利用基本不等式求最值．
【解析】法一：，，，则；
，，，由基本不等式有：，
所以，，所以；
(当且仅当时，即：，时，等号成立)，
故的最小值为．故答案为
法二：，
等号当且仅当，即时成立，故所求的最小值为．
10．(2019·上海·文理·第7题)若，且，则的最大值为________.
【答案】
【解析】法一：，∴；
法二：由，()，求二次最值.
11．(2019·江苏·文理·第10题)在平面直角坐标系中，是曲线上一动点，则点到直线的距离最小值是______.
【答案】4
【解析】法1：由已知，可设，所以.
当且仅当，即时取等号，故点到直线的距离的最小值为4.
法2：距离最小时，，则，所以,所以最小值为4.
12．(2018年高考数学江苏卷·第13题)在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．
【答案】9
解析：由题意可知，，由角平分线性质和三角形面积公式得，，化简得，，因此
，当且仅当时取等号，所以的最小值为9．
13．(2018年高考数学天津(文)·第13题)已知，且，则的最小值为 ．
【答案】
解析：由，得，所以，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．
14．(2014高考数学上海文科·第6题)若实数满足则的最小值为_________________．
【答案】
解析:
15．(2014高考数学辽宁文科·第16题)对于，当非零实数，满足，且使最大时，的最小值为__________．
【答案】-1
解析：由已知得，
令
因而，此时
整理得
，
，故填-1
16．(2015高考数学重庆文科·第14题)设,则的最大值为 ________．
【答案】
解析：由两边同时加上
得两边同时开方即得：(且当且仅当时取“=”)，
从而有(当且仅当,即时，“=”成立)
故填：．
题型四： 简单的线性规划
1．(2021年高考浙江卷·第5题)若实数x，y满足约束条件，则的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析:画出满足约束条件的可行域，如下图所示：
目标函数化为，由，解得，设，当直线过点时，取得最小值为,故选B．
2．(2021年全国高考乙卷文科·第5题)若满足约束条件则的最小值为( )
A．18B．10C．6D．4
【答案】C
解析：由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，
由可得点,
转换目标函数为，
上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，
此时．
故选：C．
3．(2020年浙江省高考数学试卷·第3题)若实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最小值为：
且目标函数没有最大值．故目标函数的取值范围是．故选：B
4．(2022年浙江省高考数学试题·第3题)若实数x，y满足约束条件则的最大值是( )
A．20B．18C．13D．6
【答案】B
解析:不等式组对应的可行域如图所示：
当动直线过时有最大值．
由可得，故，
故，故选,B．
5．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第5题)若x，y满足约束条件则最大值是( )
A．B．4C．8D．12
【答案】C
解析：由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
转化目标函数为，
上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z最大，
所以．
故选：C．
6．(2019·浙江·文理·第3题)若实数，满足约束条件则的最大值是( )
A．B．C．D．
【答案】【答案】C
【解析】根据约束条件画出可行域，如图所示，其中．由得，当直线过时，在轴上的截距最大，所以有最大值为．故选C．
7．(2019·天津·文·第2题)设变量满足约束条件则目标函数的最大值为( )
A．2B．3C．5D．6
【答案】【答案】C
【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解析】由约束条件作出可行域如图
联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，有最大值为5．故选C．
8．(2018年高考数学天津(文)·第2题)设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为( )
A．6B．19C．21D．45
【答案】C
解析：作可行域为如图所示的四边形，其中，由
，可得，表示斜率为，纵截距为的直线，作直线并平移，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，
．
9．(2014高考数学天津文科·第2题)设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
解析：由题画出如图所示的可行域，由图可知当直线经过点时，，故选B．
10．(2014高考数学山东文科·第10题)已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为( )
A．5B．4C．D．2
【答案】
解析：画出可行域(如图所示)，由于,所
以经过直线与直线的
交点时，取得最小值，即,
代入得,所以时，．
11．(2014高考数学课标2文科·第9题)设，满足约束条件，则的最大值为( )
A．8B．7C．2D．1
【答案】B
解析：画出可行域，
y
x+y-1=0
x-3y+3=0
x
x-y-1=0
知道可行域为三角形，两两求解，得三点坐标，
，，分别代入，算出的最大值为。∴选Ｂ。
12．(2014高考数学课标1文科·第11题)设，满足约束条件且的最小值为7，则( )
A．-5B．3
C．-5或3D．5或-3
【答案】B
解析：画出不等式组对应的平面区域， 如图所示．
在平面区域内，平移直线，可知在点 A处，z 取得最值，故解之得a 5或a 3．但a 5时，z取得最大值，故舍去，答案为a 3． 选B．
13．(2014高考数学湖北文科·第4题)若变量、满足约束条件，则的最大值是( )
A．2B．4C．7D．8
【答案】C
解析：作出约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y≤4，,x－y≤2，,x≥0，y≥0))表示的可行域如下图阴影部分所示．
设z＝2x＋y，平移直线2x＋y＝0，易知在直线x＋y＝4与直线x－y＝2的交点A(3，1)处，z＝2x＋y取得最大值7．故选C．
14．(2014高考数学广东文科·第4题)若变量满足约束条件，则的最大值等于( )
A．7B．8C．10D．11
【答案】C
解析：作出不等式组所表示的可行域如下图所示，
直线交直线于点，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，故选C．
15．(2014高考数学福建文科·第11题)已知圆，设平面区域，若圆心,且圆C与轴
相切，则的最大值为( )
A．5B．29C．37D．49
【答案】C
解析：做出不等式组对应的平面区域如图:圆心为,半径为1．因为圆心,且圆与轴相切,所以,则,所以要使取得最大值,只需取最大即可,由图象可知,当圆心位于点时,取值最大,由,解得,即,所以当时,,即最大值取37,故选C．
16．(2015高考数学重庆文科·第10题)若不等式组,表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则的值为( )
A．B．1C．D．3
【答案】B
解析：如图，
，
由于不等式组,表示的平面区域为，且其面积等于，
再注意到直线与直线互相垂直，所以是直角三角形，
易知，,;从而=，
化简得：，解得,或，检验知当时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以;故选B．
17．(2015高考数学湖南文科·第4题)若变量满足约束条件，则的最小值为( )
A．B．0C．1D．2
【答案】A
解析：
由约束条作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立 ,
∴在点A处取得最小值为．故选：A．
18．(2015高考数学广东文科·第4题)若变量，满足约束条件，则的最大值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：作出可行域如图所示：
作直线，再作一组平行于的直线，当直线经过点时，取得最大值，由得：，所以点的坐标为，所以，故选B．
19．(2015高考数学福建文科·第10题)变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：将目标函数变形为，当取最大值，则直线纵截距最小，故当时，不满足题意；当时，画出可行域，如图所示， 其中．显然不是最优解，故只能是最优解，代入目标函数得，解得，故选C．
20．(2015高考数学安徽文科·第5题)已知x，y满足约束条件，则的最大值是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：
令，可知在图中处，取到最大值-1,故选A．
21．(2017年高考数学浙江文理科·第4题)若满足约束条件则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】 D
【解析】由图可知,在点取到的最小值为,没有最大值,故．故选D．
22．(2017年高考数学山东文科·第3题)已知满足约束条件,则的最大值是( )
A．B．C．D．
【答案】 D
【解析】由画出可行域及直线如图所示,平移发现,
当其经过直线与的交点时,
最大为．
23．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷文科·第5题)设满足约束条件,则的取值范围是( )
【答案】 B
【解析】先作出约束条件表示的可行域，如下图，目标函数中相当于直线中的纵截距，的范围就是直线在可行域内平行移动时纵截距的取值范围，当直线经过点时，直线取得纵截距的最大值，取得最小值 ，当直线经过点 时，直线的纵截距最小，取得最大值，故．
24．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科·第7题)设x、y满足约束条件．则的最小值是( )
A．B．C．D
【答案】 A
【解析】在平面直角坐标系内画出约束条件满足的平面区域为如图所示的阴影部分的三角形ABC(包含边界),其中,由图可知过点时,取得最大值．故选A．
25．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科·第7题)设满足约束条件则的最大值为( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】 D
【解析】如图,目标函数经过时最大,故,故选D．
方法二:线性目标函数一定在边界上取到最值,可行域为一个三角形,三个顶点坐标分别为,
,所以
26．(2017年高考数学北京文科·第4题)若满足则的最大值为( )
A．B．C．D．
【答案】 D
【解析】
令,则,其表示与平行的一组直线,当在经过可行域平移时,截距越大,的值越大,当平移到过点时,截距有最大值,即．
27．(2016高考数学浙江文科·第4题)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：画出不等式组的平面区域如图所示，由得，由的，由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A和点B时，两直线的距离最小，即．故选B．
28．(2016高考数学山东文科·第4题)若变量满足，则的最大值是( )
A．4B．9C．10D．12
【答案】C
解析：画出可行域如图所示，点到原点距离最大
所以，选C．
29．(2023年全国乙卷文科·第15题)若x，y满足约束条件，则的最大值为______．
【答案】8
解析：作出可行域如下图所示：
，移项得，
联立有，解得，
设，显然平移直线使其经过点，此时截距最小，则最大，
代入得，
故答案为：8．
30．(2023年全国甲卷文科·第15题)若x，y满足约束条件，设的最大值为____________．
【答案】15
解析：作出可行域，如图，
由图可知，当目标函数过点时，有最大值，
由可得，即
所以．
故答案为：15
31．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第13题)若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为______________．
【答案】1
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为：．
故答案：1．
32．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第15题)若x，y满足约束条件则的最大值是__________．
【答案】
【解析】不等式组表示的平面区域为下图所示：
平移直线，当直线经过点时，直线在纵轴上的截距最大，
此时点的坐标是方程组的解，解得：，
因此的最大值为：．
故答案为：．
33．(2020年高考课标Ⅲ卷文科·第13题)若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_________．
【答案】7
【解析】不等式组所表示的可行域如图
因为，所以，易知截距越大，则越大，
平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，
由，得，，
所以．
故答案为：7．
34．(2019·上海·文理·第5题)已知满足，求的最小值为________.
【答案】【答案】
【解析】线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当，时，.
35．(2019·全国Ⅱ·文·第13题)若变量满足约束条件则的最大值是___________.
【答案】【答案】9
【解析】画出不等式组表示的可行域，如图所示，
阴影部分表示的三角形区域，根据直线中的表示纵截距的相反数，当直线过点时，取最大值为9．
36．(2019·北京·文·第10题)若，满足则的最小值为 ；最大值为 ．
【答案】【答案】；．
【解析】由约束条件作出可行域如图
，，令，作出直线，由图可知，平移直线，当直线过时，有最小值为，过时，有最大值．
37．(2018年高考数学浙江卷·第12题)若满足约束条件，则的最小值是______，最大值是______．
【答案】，
解法1：由图可得，当直线过时，；当直线过时，．
解法2：由条件知，构成的可行域为封闭区域，最大值最小值只能在三个顶点处取得，
把分别代入，可得，．
38．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(文)·第15题)若变量满足约束条件则的最大值是________．
【答案】3
解析：画出变量满足约束条件表示的平面区域如图：解得．
变形为，作出目标函数对应的直线，当直线过时，直线的纵截距最小，最大，最大值为．
39．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(文)·第14题)若满足约束条件 则的最大值为__________．
【答案】9
解析：由满足约束条件作出可行域如图，化目标函数为，由图可知，当直线过时，取得最大值，由，解得，目标函数有最大值，为．故答案为：9．
40．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(文)·第14题)若满足约束条件，则的最大值为________．
【答案】6
解法1：(直接法)约束条件可行域如下图：
可行域如上图阴影部分：目标函数可化为，
将进行平移，可得在处距最大，即最大，将，代入得
解法2：(交点法)将方程
两两求解得交点坐标为，代入一一检验即可，．
41．(2018年高考数学北京(文)·第13题) 若满足，则的最小值是 ．
【答案】3
解析：不等式可转化为 即
所以满足条件的在平面直角坐标系中的可行域为
令，则．
由图像可知，当过点时，取最小值，此时，
所以的最小值为3．
42．(2014高考数学浙江文科·第12题)若实数满足，则的取值范围是_____________；
【答案】
解析:作出可行域，如图，作直线，向右上
平移，过点时，取得最小值，过点时取得最大值．由，得，．
所以的取值范围是．
43．(2014高考数学辽宁文科·第14题)已知，满足约束条件,则目标函数的最大值为__________．
【答案】18
解析：目标函数转化为平行直线系：
如图所示画出可行域，
第14题解析图
观察知当直线过点B时，取最大值，
容易求得B点坐标为，代入到目标函数中，求得最大值为18，故填18
44．(2014高考数学湖南文科·第13题)若变量满足约束条件，则的最大值为 ．
【答案】7
解析：基本的线性规划题目，画图，可以直接看出(3,1)时有最大值，此时，
45．(2014高考数学大纲文科·第15题)设x，y满足约束条件则的最大值为________．
【答案】5
解析: 作出可行域如图：，即，当直线过时，，的最大值为5．
46．(2014高考数学北京文科·第13题)若、满足，则的最小值为 ．
【答案】．
解析：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数为，
由图可知，当直线过时直线在y轴上的截距最小．
此时．
故答案为：．
47．(2014高考数学安徽文科·第13题)不等式组表示的平面区域的面积为________．
【答案】
解析：由题意可得可行域如图所示：
三条直线分别交于A、B、D三点，其
中，，，，
所以不等式组表示的平面区域的面积为
．
48．(2015高考数学浙江文科·第14题)已知实数，满足，则的最大值是 ．
【答案】15
解析：
由图可知当时，满足的是如图的劣弧，则在点处取得最大值；当时，满足的是如图的优弧，则与该优弧相切时取得最大值，故，所以，故该目标函数的最大值为．
49．(2015高考数学新课标2文科·第14题)若满足约束条件 ,则的最大值为 ．
【答案】8
分析：不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域,的最大值必在顶点处取得,经验算,时．
50．(2015高考数学新课标1文科·第15题)若，满足约束条件则的最大值为_________________．
【答案】4
分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线：，平移直线，当直线:z=3x+y过点A时，z取最大值，由解得A(1,1)，∴z=3x+y的最大值为4．
51．(2015高考数学上海文科·第9题)若满足，则目标函数的最大值为 ．
【答案】3
解析：根据题意作出可行域，如图所示：由图可知，当直线过时有的最大值为．
52．(2015高考数学山东文科·第12题)若满足约束条件则的最大值为 ．
【答案】
解析：
画出可行域及直线，平移直线，当其经过点时，直线的纵截距最大，所以最大为．
53．(2015高考数学湖北文科·第12题)若变量满足约束条件 则的最大值是_________．
【答案】．
解析：首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得: 目标函数过点取得最大值，即，故应填．
考点：本题考查线性规划的最值问题，属基础题．
54．(2015高考数学北京文科·第13题)如图，及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为 ．
【答案】
解析：由题图可知，目标函数，因此当，即在点处时取得最大值为．
55．(2016高考数学上海文科·第7题)若满足 则的最大值为 ．
【答案】
【解析】由不等式组画出可行域，如图，令，当直线经过点时，取得最大值，且为．
56．(2016高考数学课标Ⅲ卷文科·第13题)设满足约束条件 则的最小值为______．
【答案】 【解析】如图所示，可行域为一个三角形及其内部，其中三角形三个顶点分别为，当直线过点时取最小值．
57．(2016高考数学课标Ⅱ卷文科·第14题)若满足约束条件 ，则的最小值为__________．
【答案】【解析1】可行域如图所示，则直线，所以当直线的纵截距最大时，取得最小值，故当直线经过时，有最小值．
【解析2】由得，点，由得，点，由得，点，分别将，，代入得：，，，所以的最小值为．
58．(2016高考数学课标Ⅰ卷文科·第16题)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料，乙材料，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料，乙材料，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．
【答案】
【解析】设生产产品A、产品B分别为件，利润之和为元，那么
目标函数为，二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组表示的平面区域(如图)，即可行域，
将变形，得，平行直线，当直线
经过点时， 取得最大值．
解方程组，得的坐标．
所以当，时，．
故生产产品、产品的利润之和的最大值为元．
59．(2016高考数学江苏文理科·第12题)已知实数满足 则的取值范围是 ．
【答案】．
解析：在平面直角坐标系中画出可行域如下
为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中点距离原点最近，此时距离为原点到直线的距离， ，则，图中点距离原点最远，点为与交点，则，则．
题型五： 不等式综合问题
1．(2020年浙江省高考数学试卷·第9题)已知a，bR且ab≠0，若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0在x≥0上恒成立，则( )
A．a<0B．a>0C．b<0D．b>0
【答案】C
解析：因为，所以且，设，则零点
为
当时，则，，要使，必有，且，
即，且，所以；
当时，则，，要使，必有．
综上一定有． 故选：C
2．(2023年全国乙卷文科·第11题)已知实数满足，则的最大值是( )
A．B．4C．D．7
【答案】C
解析：法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C
3．(2015高考数学天津文科·第12题)已知 则当的值为 时取得最大值．
【答案】4
解析：当时取等号,结合可得
4．(2015高考数学山东文科·第14题)定义运算“”： ()．当时，的最小值是 ．
【答案】
解析：
由新定义运算知， ，因为，，
所以，，当且仅当时，的最小值是．
5．(2017年高考数学天津文科·第13题)若a，，，则的最小值为____________ ．
【答案】4
【基本解法1】(两次均值)
当且仅当取等号
【基本解法2】(两次均值)
【基本解法3】(4维均值不等式)
【基本解法4】(换元)令
故
6．(2017年高考数学山东文科·第12题)若直线 过点,则的最小值为_________．
【答案】
【解析】由题意:,故．
7．(2017年高考数学江苏文理科·第10题)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是______．
【答案】30
解析:总费用,当且仅当,即时等号成立．
8．(2018年高考数学天津(文)·第14题)已知，函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】
解析：当时，恒成立，即，
设，则的对称轴为，所以当或时，取得最大值，所以，即；
当时，恒成立，即恒成立，设，则当时，取得最小值，所以，．
综上可知，实数的取值范围是．
9．(2021年高考浙江卷·第11题)我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则___________．
【答案】25
解析:由题意可得，大正方形的边长为：，则其面积为：，小正方形的面积：，从而,故答案为25．
10．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第11题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )
A．B．
C．D．
【答案】ABD
解析：对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD
11．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第12题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )
A．B．
C．D．
【答案】ABD
解析：对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD
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