江西省宁冈中学2023-2024学年高三上学期开学数学试题

宁冈中学2023-2024学年度高三上

开学考试数学

一、单选题（每题5分，共40分）

1．设全集，集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

2．设等差数列的前n项和为，且，，则（    ）

A． B．10 C．11 D．

3．如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有(　　)

A．192种 B．128种 C．96种 D．12种

4．设是半径为2的圆上的两个动点，点为中点，则的取值范围是

A． B． C． D．

5．等差数列的首项为2，公差不等于0，且，则数列的前2019项和为（   ）

A． B． C． D．

6．已知直线分别与和的图象交于，两点，则下列结论正确的是（ ）

A． B．

C． D．

7．已知函数，在区间上任取三个数均存在以为边长的三角形，则的取值范围是

A． B． C． D．

8．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则下列等式一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题（每题5分，共20分）

9．已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则（    ）

A． B． C． D．1

10．下列说法正确的是（    ）

A．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点

B．若曲线在点，处有切线，但不一定存在

C．“函数”是“函数在处取得极值”的既不充分也不必要条件

D．若曲线存在平行于轴的切线，则实数的取值范围是

11．在数列中，其前项和是，则下列正确的是（    ）

A．若，则

B．若则

C．若则

D．若，则

12．某同学对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的有（    ）

A．函数的图象关于原点对称

B．对定义域中的任意实数的值，恒有成立

C．函数的图象与轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等

D．对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减，且

三、填空题（共20分）

13．已知函数，则           ．

14．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组都有带队教师，且带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有           种.(用数字作答)

15．如图，在棱长为4的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点．且平面，则线段长度的取值范围是        ．

16．已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是           .

四、解答题（共70分）

17．已知直线经过点，且与轴、轴的正半轴分别交于点A、点，是坐标原点.

(1)当的面积最小时，求直线的一般式方程；

(2)当取最小值时，求直线的一般式方程，并求此最小值．

18．用，，，，这五个数字组成无重复数字的自然数．

（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；

（2）在组成的五位数中，求至少有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．

19．已知等差数列的前n项和为，且满足.

（1）求数列的通项公式;

（2）若数列满足，求数列的前项和.

20．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，E为BP的中点，，．

(1)证明：平面PAD；

(2)求平面EAC与平面PAC夹角的余弦值．

21．已知椭圆的长轴长为4，离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若经过点，斜率为的直线与圆心为的圆相切．

①求直线的方程和圆的标准方程；

②若直线过点，与椭圆交于不同的两点、，与圆交于不同的两点、，求的取值范围．

22．已知.

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数有两个零点，证明：.

答案

1．C

因为，，

所以，

又，

所以，

故选：C.

2．C

由，得，所以，

又，，

所以．

故选：C．

3．C

因为填入A方格的数字大于B方格的数字，所以填入A方格的数字可能是2,3,4

若填入A方格的数字是2，则B方格的数字只能是1，C，D可以任意排列，此时有种填法；

若填入A方格的数字是3，则B方格的数字可能是1,2，C，D可以任意排列，此时有种填法；

若填入A方格的数字是4，则B方格的数字只能是1,2,3，C，D可以任意排列，此时有种填法．

综上可得，总共有种不同的填法，故选C．

4．A

依题意，

其中是两个向量的夹角，范围是，

故，所以，故选A.

5．B

设等差数列的公差为，

由，，可得，所以，因此，

所以，

所以 .

故选B

6．D

在函数的图像上任取一点，则，即

由，两边取以为底的对数，得到 即点 满足函数表达式.

所以在函数的图像上任取一点，都有点在函数的图像上.

故函数及函数的图象关于直线对称，

又直线与直线垂直，且相交于点.

从而直线与函数及函数的图象的交点，也关于直线对称，

，，又在上，

即有，故，

则，由于，所以．

对于，令，，，

所以在上单调递增，

因为，所以，

所以，

所以，所以，故错误．

由图象易知，故错误．

，，

又，，错误．

由，可得，即，

又由，可得 ，故正确.

故选：D

7．D

由得，由导数性质得 由题意得且由此能求出的取值范围．

详解：∵函数，，，

由 得x=1，

时， 时， ，

∴

∵在区间上任取三个数均存在以为边长的三角形，

，①

②

联立①②，得 ．

故选D．

8．B

由函数为偶函数，可得，则，所以函数关于成轴对称；

由函数为偶函数，可得，所以函数关于成轴对称；

对于A，设，，显然符合题意，但，故A错误；

对于B，假设不关于成中心对称，，

求导可得，即，显然与题设矛盾，

所以必定关于成中心对称，

由，且为函数图象的对称轴，则，

由，

则函数图象的对称轴为直线，

由，则，所以，故B正确；

对于C，设，令，解得，则的对称轴为；

，令，解得，则的对称中心为；

所以此时函数符合题意，，故C错误；

对于D，由选项C，符合题意，则，

，故D错误.

故选：B.

9．AD

由题意，，由等比数列通项公式可得，

由于等比数列每一项都不是，故，

即，解得或.

故选：AD

10．BD

对于，过曲线上的一点作曲线的切线，这点不一定是切点，

如经过曲线上一点但是不是在该点与曲线相切而是在其他地方相切，

比如与相切于点，同时经过点另外一点，

我们就可以说过点的直线与曲线相切，

但切点是而不是，故错误；

对于B，如曲线在某点处的切线垂直于轴，此时不存在，

但曲线在点，处有切线，故B正确；

对于C，“函数”不能得到“函数在处取得极值”，

比如在处，但在处无极值，

但由极值的定义，可得“函数在处取得极值”可以得到“函数”，故C错误；

对于D，若曲线存在平行于轴的切线，

由，可得有正数解，即有，

由，可得，故D正确.

故选：BD.

11．BCD

A：时，，而，故错误；

B：由题设，，，，，…，则，故正确；

C：由题设，，而，则，即，故正确；

D：由，可得

，故正确.

故选：BCD.

12．BD

对于A，∵函数的定义域为，，

∴为偶函数，图象关于轴对称，故A错.

对于B，由A知为偶函数，当时，

∴

令，

∵，∴，所以在上单调递增，

∴，即恒成立.故B正确.

对于C，函数的图象与轴的交点坐标为，交点与的距离为，其余任意相邻两点的距离为，故C错.

对于D，，，当，时，，，每段区间的长度为，

所以对任意常数，存在常数，，，使在上单调递减且，故D正确.

故选：BD.

13．1

解：因为，

所以，解得．

故答案为：

14．54

根据题意可得：

若甲教师和乙教师不带同一队，则共有种不同的带队方案；

若甲教师和乙教师带同一队，则共有种不同的带队方案；

由分类加法计数原理可得：共有54中不同的带队方案；

故答案为：54.

15．

解：如图，取的中点，的中点，的中点，连接、、、，

根据正方体的性质可得，平面，平面，

所以平面，

同理可证平面，

，平面，所以平面平面，

又平面平面，且平面，平面，

点是侧面上的动点，所以在线段上，

又，所以，，，

所以，则，

所以线段长度的取值范围是.

故答案为：

16．

令，所以，

因为当时，，，单调递增，

因为为偶函数，所以，

所以，所以为奇函数，

所以在，上单调递增，

因为，所以，所以，

若，则等价于，所以，

若，则等价于，所以.

综上所述，不等式的解集是.

故答案为：.

17．(1)

(2)，的最小值为4

（1）设的方程为，

由直线过得，

由基本不等式得：，即，解得：，

当且仅当，时取等号，此时的方程为，即；

（2）因为直线与轴、轴的正半轴分别交于点A、点，

所以直线的斜率存在，

可设直线的方程为，

所以，，所以，，

所以，

当且仅当时取等号，此时，

此时直线的方程为，的最小值为4.

18．（1）30；（2）60.

（1）将所有的三位偶数分为两类：

（i）若个位数为，则共有（个）；

（ii）若个位数为或，则共有（个），

所以，共有个符合题意的三位偶数．

（2）用，，，，这五个数字组成无重复数字的五位数共有个，1和3相邻的五位数有个，

∴至少有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数有（个）.

19．（1）；（2）.

解:设公差为，依题意得

解得

所以.

，

.

20．(1)证明见解析

(2)

（1）证明：取PA的中点F，由E为PB的中点，

则，，

而，，

所以且，则四边形CDFE为平行四边形，

所以，又平面PAD，平面PAD，

所以平面PAD．

（2）∵平面ABCD，，∴AP，AB，AD两两垂直，

以A为原点，，，向量方向分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，

各点坐标如下：，，，，，

设平面APC的法向量为，由，，

有，取，则，，即，

设平面EAC的法向量为，由，，

有，取，则，，即，

所以，

由原图可知平面EAC与平面PAC夹角为锐角，

所以平面EAC与平面PAC夹角的余弦值为．

21．（1）；（2）①，，②

（1）由题知：，

所以椭圆.

（2）①由题知：，即.

因为直线与圆相切，所以，

所以圆：.

②由题知：直线的斜率存在，设，

与椭圆的两个交点为，.

.

因为，解得.

所以，.

所以.

圆心到直线的距离.

.

所以.

设，因为，所以，.

所以，

因为的对称轴为，在上单调递增，

所以，.

22．(1)递增区间为，递减区间为.

(2)证明见解析

（1）

解：由题意，函数的定义域为，且，

令，可得

当时，，在单调递增；

当时，，在区间单调递减.

（2）

解：由（1）可得有两个零点，

即有两个实数根，

令，则

由，可得；由，可得，

不妨设：，则，

函数在点处的切线方程为，

设直线与直线的交点横坐标为，，

函数在点处的切线方程为，

设直线与直线的交点横坐标为，，

令，可得，

由，即，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，即曲线的图象在的图象上的上方，

令，可得，

当时，，单调递减，

所以，所以的图象在的图象上的上方，

如图所示，可得且，

所以，即，

所以.