重庆市2023-2024学年高三上学期9月联考数学试题

重庆市高三数学考试

注意事项:

1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合,则

A. B. C. D.

2.已知,则在复平面内对应的点位于

A.第一象限  B.第二象限  C.第三象限  D.第四象限

3.若数列的通项公式为,则

A.数列是首项为,公比为的等比数列

B.数列是首项为,公比为的等比数列

C.数列是首项为,公比为的等比数列

D.数列是首项为,公比为的等比数列

4.的展开式中,的系数为

A.-10

B.10

C.-40

D.40

5.牛皮鼓,又称堂鼓、喜庆鼓,多用于江南柌堂内婚嫁迎娶和迎新年等.牛皮鼓的制作工艺考究,有数十道工序,包括处理牛皮、创制鼓腔、蒙皮、拉皮、钉钉,每道工序都考验看手艺人的技艺和耐心.如图所示的牛皮攱的㪗面直径为,豉身高度为,用平行于鼓面的平面截牛皮攱,所得截面圆的最大直径为.若将该牛皮㪗看成由两个相同的圆台拼接而成,忽略鼓面与鼓身的厚度,则该牛皮鼓的体积为

A.   B.

C.   D.

6.若,则

A.     B.

C.     D.

7.设曲线在处的切线为,若的倾斜角小于,则的取值范围是

A.

B.

C.

D.

8.已知椭圆的左、右焦点分别为,点在上,且.直线与交于另一点,与轴交于点,若,则的离心率为

A.   B.  C.  D.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在毎小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.若函数,则

A.的最小正周期为

B.的图象关于直线对称

C.

D.的图象关于点对称

10.有一组样本数据,其中任何两个数都不相等,现在删去其中一个数据.得到一组新数据,则下列判断正确的是

A.新数据的极差可能等于原数据的极差

B.新数据的中位数可能等于原数据的中位数

C.若新数据的平均数等于原数据的平均数.则新数据的方差大于原数据的方差

D.若新数据的平均数等于原数据的平均数,则新数据的分位数小于原数据的分位数

11.已知定义在上的函数满足,定义在上的函数满足,则

A.不是奇函数

B.既是奇函数又是偶函数

C.是奇函数

D.既不是奇函数又不是偶函数

12.如图,在三棱锥中,平面平面,则

A.三棱锥的体积为

B.点到直线的距离为

C.二面角的正切值为

D.三棱锥外接球的球心到平面的距离为

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.若双曲线的焦距为6,实轴长为2,则该双曲线的虚轴长为       .

14.在矩形中,为对角线的交点,为上一点,且向量在向量上的投影向量为,则        .

15.已知圆与圆内切,且圆与直线相切,则圆的圆心的轨迹方程为       .

16.已知,则当取得最大值时,       .

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步㵵.

17.(10分)

如图,在正方体中,为的中点,.

(1)证明:平面.

(2)求直线与平面所成角的正弦值的平方.

18.(12分)

在中,.

(1)若,求的长;

(2)若为延长线上一点,为边上一点,且,求的面积.

19.(12分)

艾伦-麦席森-图灵提出的图灵测试,指测试者与被测试者在隔开的情况下,通过一些装置(如键盘)向被测试者随意提问.已知在某一轮图灵测试中有甲、乙、丙、丁4名测试者,每名测试者向一台机器(记为)和一个人(记为)各提出一个问题,并根据机器和人的作答来判断谁是机器,若机器能让至少一半的测试者产生误判,则机器通过本轮的图灵测试.假设每名测试者提问相互独立,且甲、乙、丙、丁四人之间的提问互不相同,而每名测试者有的可能性会向和问同一个题.当同一名测试者提出的两个问题相同时,机器被误判的可能性为.当同一名测试者提的两个问题不相同时,机器被误判的可能性为.

(1)当回答一名测试者的问题时,求机器被误判的概率;

(2)按现有设置程序,求机器通过本轮图灵测试的概率.

20.(12分)

已知为数列的前项和,.

(1)证明:.

(2)求的通项公式.

(3)若,求数列的前项和.

21.(12分)

已知抛物线经过点,直线与交于两点(异于坐标原点).

(1)若,证明:直线过定点.

(2)已知,直线在直线的右侧,与之间的距离交于两点,试问是否存在,使得?若存在,求的值;若不存在,说明理由.

22.(12分)

已知函数.

(1)当时,求的单调区间;

(2)若是的极大值点,求的取值范围.