天津市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)

这是一份天津市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)，共28页。试卷主要包含了和点B，，顶点为D，参考数据等内容，欢迎下载使用。

天津市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2023•天津）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.6km，体育场离宿舍1.2km，张强从宿舍出发，先用了10min匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了30min，之后匀速步行了10min到文具店买笔，在文具店停留10min后，用了20min匀速散步返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
张强离开宿舍的时间/min
1
10
20
60
张强离宿舍的距离/km

1.2


②填空：张强从体育场到文具店的速度为 　 　km/min；
③当50≤x≤80时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当张强离开体育场15min时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.06km/min，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
二．二次函数综合题（共4小题）
2．（2021•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（﹣，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．
（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；
（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′．设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．
①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
3．（2023•天津）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，c＞1的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且，过点M作MN⊥AC，垂足为N．
（1）若b＝﹣2，c＝3．
①求点P和点A的坐标；
②当时，求点M的坐标；
（2）若点A的坐标为（﹣c，0），且MP∥AC，当时，求点M的坐标．
4．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．
（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，
①求点P的坐标；
②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；
（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．
5．（2021•天津）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．
（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2DC，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标．
三．四边形综合题（共2小题）
6．（2023•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A（，0），B（0，1），D（2，1），矩形EFGH的顶点E（0，），，H（0，）．
（1）填空：如图①，点C的坐标为 　 　，点G的坐标为 　 　；
（2）将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E′FG′H′，点E，F，G，H的对应点分别为E′，F′，G′，H′，设EE′＝t，矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分的面积为S．
①如图②，当边E′F′与AB相交于点M、边G′H′与BC相交于点N，且矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

7．（2022•天津）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，6），点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t．
（Ⅰ）如图①，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；
（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为3，则t的值可以是 　 　（请直接写出两个不同的值即可）．

四．切线的性质（共1小题）
8．（2023•天津）在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC＝60°，E为弦AB所对的优弧上一点．
（1）如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；
（2）如图②，CE与AB相交于点F，EF＝EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA＝3，求EG的长．

五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
9．（2023•天津）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）设塔AB的高度为h（单位：m）；
①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；
②求塔AB的高度（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）．

六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
10．（2021•天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．

七．条形统计图（共1小题）
11．（2023•天津）为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了a名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．

请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为 　 　，图①中m的值为 　 　；
（2）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．

天津市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2023•天津）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.6km，体育场离宿舍1.2km，张强从宿舍出发，先用了10min匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了30min，之后匀速步行了10min到文具店买笔，在文具店停留10min后，用了20min匀速散步返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
张强离开宿舍的时间/min
1
10
20
60
张强离宿舍的距离/km

1.2


②填空：张强从体育场到文具店的速度为 　0.06　km/min；
③当50≤x≤80时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当张强离开体育场15min时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.06km/min，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】（1）①0.12，1.2；0.6；②0.06；③y关于x的函数解析式为y＝；
（2）离宿舍的距离是0.3km．
【解答】解：（1）①由图象可知，张强从宿舍到体育场的速度为1.2÷10＝0.12（km/min），
∴当张强离开宿舍1min时，张强离宿舍的距离为0.12×1＝0.12（km）；
当张强离开宿舍20min时，张强离宿舍的距离为1.2km；
当张强离开宿60舍min时，张强离宿舍的距离为0.6km；
张强离开宿舍的时间/min
1
10
20
60
张强离宿舍的距离/km
0.12
1.2
1.2
0.6
故答案为：0.12，1.2；0.6；
②由图象知，张强从体育场到文具店的速度为＝0.06（km/h），
故答案为：0.06；
③当50＜x≤60时，y＝0.6；
张强从文具店到宿舍时的速度为＝0.03（km/h），
∴当60＜x≤80时，y＝2.4﹣0.03x；
综上，y关于x的函数解析式为y＝；
（2）根据题意，当张强离开体育场15min时，张强到达文具店并停留了5min，
设李明从体育场出发x分钟后与张强相遇，
则0.06x＝0.03（x﹣5）+0.6，
解得x＝15，
∴1.2﹣0.06×15＝0.3（km），
∴离宿舍的距离是0.3km．
二．二次函数综合题（共4小题）
2．（2021•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（﹣，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．
（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；
（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′．设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．
①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（Ⅰ）（2，2）；
（Ⅱ）①S＝﹣t2+t﹣（4≤t＜）；
②≤S≤．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，过点B作BH⊥OA，垂足为H，
由点A（4，0），得OA＝4，
∵BO＝BA，∠OBA＝90°，
∴OH＝BH＝OA＝＝2，
∴点B的坐标为（2，2）；
（Ⅱ）①由点E（﹣，0），
得OE＝，
由平移知，四边形O'C'D'E'是矩形，
得∠O'E'D'＝90°，O'E'＝OE＝，
∴OE'＝OO'﹣O'E'＝t﹣，∠FE'O＝90°，
∵BO＝BA，∠OBA＝90°，
∴∠BOA＝∠BAO＝45°，
∴∠OFE'＝90°﹣∠BOA＝45°，
∴∠FOE'＝∠OFE'，
∴FE'＝OE'＝t﹣，
∴S△FOE'＝OE'•FE'＝（t﹣）2，
∴S＝S△OAB﹣S△FOE'＝，
即S＝﹣t2+t﹣（4≤t＜）；
②a．当4＜t≤时，由①知S＝﹣t2+t﹣＝﹣（t﹣）2+4，
∴当t＝4时，S有最大值为，当t＝时，S有最小值为，
∴此时≤S＜；
b．当＜t≤4时，如图2，令O'C'与AB交于点M，D'E'与DB交于点N，
∴S＝S△OAB﹣S△OE'N﹣S△O'AM＝4﹣（t﹣）2﹣（4﹣t）2＝﹣t2+t﹣＝﹣（t﹣）2+，
此时，当t＝时，S有最大值为，当t＝4时，S有最小值为，
∴≤S≤；
c．当≤t≤时，如图3，令O'C'与AB交于点M，此时点D'位于第二象限，
∴S＝S△OAB﹣S△O'AM＝4﹣（4﹣t）2＝﹣t2+4t﹣4＝﹣（t﹣4）2+4，
此时，当t＝时，S有最小值为，当t＝时，S有最大值为，
∴≤S≤；
综上，S的取值范围为≤S≤；
∴S的取值范围为≤S≤．



3．（2023•天津）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，c＞1的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且，过点M作MN⊥AC，垂足为N．
（1）若b＝﹣2，c＝3．
①求点P和点A的坐标；
②当时，求点M的坐标；
（2）若点A的坐标为（﹣c，0），且MP∥AC，当时，求点M的坐标．
【答案】（1）①P点的坐标为（﹣1，4），A点的坐标为（﹣3，0）．
②点M的坐标为（﹣2，3）．
（2）点M的坐标为（﹣）．
【解答】解：（1）①∵b＝﹣2，c＝3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴P（﹣1，4），
当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣3，0）．
答：P点的坐标为（﹣1，4），A点的坐标为（﹣3，0）．
②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，于直线AC交于点F，

∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC，
∴在Rt△AOC中，∠OAC＝45°，
∴在Rt△AEF中，EF＝AE，
∵抛物线上的点M的横坐标为m，其中﹣3＜m＜﹣1，
∴M（m，﹣m2﹣2m+3），E（m，0），
∴EF＝AE＝m﹣（﹣3）＝m+3，
∴F（m，m+3），
∴FM＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∴在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，
∴，
∴﹣m2﹣3m＝2，
解得m1＝﹣2，m2＝﹣1（舍去），
∴M（﹣2，3）．
答：点M的坐标为（﹣2，3）．
（2）∵点A（﹣c，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，其中c＞1，
∴﹣c2﹣bc+c＝0，
得b＝1﹣c，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，
∴M（m，﹣m2+（1﹣c）m+c），其中．
∴顶点P的坐标为（），对称轴为直线l：x＝．
如图，过点M作MQ⊥l于点Q，

则，
∵MP∥AC，
∴∠PMQ＝45°，
∴MQ＝QP，
∴，
即（c+2m）2＝1，
解得c1＝﹣2m﹣1，c2＝﹣2m+1（舍去），
同②，过点M作ME⊥x轴于点E，与直线AC交于点F，
则点E（m，0），点F（m，﹣m﹣1），点M（m，m2﹣1），
∴，
∴，
即2m2+m﹣10＝0，
解得（舍去），
∴点M的坐标为（﹣）．
答：点M的坐标为（﹣）．
4．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．
（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，
①求点P的坐标；
②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；
（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．
【答案】（Ⅰ）①顶点P的坐标为（1，﹣4）；
②点M（2，﹣3），则G（2，﹣2）；
（Ⅱ）点E（，0），点F（0，﹣）．
【解答】解：（Ⅰ）①若b＝﹣2，c＝﹣3，
则抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2x﹣3，
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），
∴a+2﹣3＝0，解得a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4）；
②当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
设直线BP的解析式为y＝kx+n，
∴，解得，
∴直线BP的解析式为y＝2x﹣6，
∵直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，
设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），
∴MG＝2m﹣6﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，
∴当m＝2时，MG取得最大值1，
此时，点M（2，﹣3），则G（2，﹣2）；

（Ⅱ）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
又3b＝2c，
b＝﹣2a，c＝﹣3a（a＞0），
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a．
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4a），
∵直线x＝2与抛物线相交于点N，
∴点N的坐标为（2，﹣3a），
作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'，

得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），
当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5．
延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．
在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．
∴P'N′2＝P'H2+HN′2＝9+49a2＝25．
解得a1＝，a2＝﹣（舍）．
∴点P'的坐标为（﹣1，﹣），点N′的坐标为（2，）．
∴直线P'N′的解析式为y＝x﹣．
∴点E（，0），点F（0，﹣）．
5．（2021•天津）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．
（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2DC，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标．
【答案】（Ⅰ）（1，﹣2）；（Ⅱ）y＝x2﹣x﹣1或y＝x2﹣3x﹣1；（Ⅲ）点M的坐标为（﹣，0）、点N的坐标为（，﹣1）．
【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），则c＝﹣1，
（Ⅰ）当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
故抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）；

（Ⅱ）∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，
故点D（1，﹣a﹣1），
由DE＝2DC得：DE2＝8CD2，
即（1﹣0）2+（a+1+a+1）2＝8[（1﹣0）2+（﹣a﹣1+1）2]，
解得a＝或，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣1或y＝x2﹣3x﹣1；

（Ⅲ）将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D′（﹣2，﹣a），
作点F关于x轴的对称点F′，则点F′的坐标为（0，a﹣1），

当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，故此时FM+ND最小，理由：
∵FM+ND＝F′M+D′M＝F′D′为最小，即F′D′＝2，
则F′D′2＝F′H2+D′H2＝（1﹣2a）2+4＝（2）2，
解得a＝（舍去）或﹣，
则点D′、F′的坐标分别为（﹣2，）、（0，﹣），
由点D′、F′的坐标得，直线D′F′的表达式为y＝﹣3x﹣，
当y＝0时，y＝﹣3x﹣＝0，解得x＝﹣＝m，
则m+3＝，
即点M的坐标为（﹣，0）、点N的坐标为（，﹣1）．
三．四边形综合题（共2小题）
6．（2023•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A（，0），B（0，1），D（2，1），矩形EFGH的顶点E（0，），，H（0，）．
（1）填空：如图①，点C的坐标为 　（，2）　，点G的坐标为 　（﹣，）　；
（2）将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E′FG′H′，点E，F，G，H的对应点分别为E′，F′，G′，H′，设EE′＝t，矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分的面积为S．
①如图②，当边E′F′与AB相交于点M、边G′H′与BC相交于点N，且矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

【答案】（1）（，2），（﹣，）；
（2）①＜t≤，②．
【解答】（1）解：四边形EFGH是矩形，且E（0，）．F（﹣，）（0，），
∴EF＝GH＝，EH＝FG＝1，
∴G（﹣，）；
连接AC，BD，交于一点H，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，且A（，0），B（0，1），D（2，1），
AB＝AD＝，AC⊥BD，CM＝AM＝OB＝1，BM﹣MD＝OA＝，
∴AC＝2，
∴C（，2），
故答案为（，2），（﹣，）；
（2）解：①∵点E（0，），点F（﹣，），点H（0，），
∴矩形EFGH中，EF∥x轴，E'H'⊥x轴，EF＝，EH＝1，
∴矩形E'F'G'H'中，E'F'∥x轴，E'H'⊥x轴，E'F'＝，E'H'＝1，
由点A（，0），点B（0，1），得OA＝，OB＝1，
在Rt△ABO中，tan∠ABO＝，得∠ABO＝60°，
在Rt△BME中，由EM＝EB×tan60°，EB＝1﹣＝，得EM＝，
∴S△BME＝EB×EM＝，同理，得S△BNH＝，
∵EE'＝t，得S矩形EE'H'H＝EE'×EH＝t，
又S＝S矩形EE'H'H﹣S△BME﹣S△BNH，
∴S＝t﹣，
当EE'＝EM＝时，则矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分为△BE'H'，
∴t的取值范围是＜t≤，
②由①及题意可知当≤t时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分的面积S是增大的，当时，矩E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分的面积S是减小的，
∴当t＝时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分如图所示：

此时面积S最大，最大值为S＝1×＝；
当t＝时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分如图所示：

由（1）可知B、D之间的水平距离为2，则有点D到G'F'的距离为，
由①可知：∠D＝∠B＝60°，
∴矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分为等边三角形，
∴该等边三角形的边长为2×，
∴此时面积S最小，最小值为，
综上所述：当时，则．
7．（2022•天津）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，6），点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t．
（Ⅰ）如图①，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；
（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为3，则t的值可以是 　3或　（请直接写出两个不同的值即可）．

【答案】（Ⅰ）60°，（，）；
（Ⅱ）EO′＝3t﹣6（2＜t＜3）；
（Ⅲ）3或（答案不唯一）．
【解答】解：（Ⅰ）如图①中，过点O′作O′H⊥OA于点H．

在Rt△POQ中，∠OPQ＝30°，
∴∠PQO＝60°，
由翻折的性质可知QO＝QO′＝1，∠PQO＝∠PQO′＝60°，
∴∠O′QH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴QH＝QO′•cos60°＝，O′H＝QH＝，
∴OH＝OQ+QH＝，
∴O′（，）；

（Ⅱ）如图②中，

∵A（3，0），
∴OA＝3，
∵OQ＝t，
∴AQ＝3﹣t．
∵∠EQA＝60°，
∴QE＝2QA＝6﹣2t，
∵OQ′＝OQ＝t，
∴EO′＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6（2＜t＜3）；

（Ⅲ）如图③中，当点Q与A重合时，重叠部分是△APF，过点P作PG⊥AB于点G．

在Rt△PGF中，PG＝OA＝3，∠PFG＝60°，
∴PF＝＝2，
∵∠OPA＝∠APF＝∠PAF＝30°，
∴FP＝FA＝2，
∴S△APF＝•AF•PG＝××3＝3，
观察图象可知当3≤t＜2时，重叠部分的面积是定值3，
∴满足条件的t的值可以为3或（答案不唯一）．
故答案为：3或．
四．切线的性质（共1小题）
8．（2023•天津）在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC＝60°，E为弦AB所对的优弧上一点．
（1）如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；
（2）如图②，CE与AB相交于点F，EF＝EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA＝3，求EG的长．

【答案】（1）120°，30°；（2）．
【解答】解：（1）∵半径OC垂直于弦AB，
∴＝，
∴∠BOC＝∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，
∵∠CEB＝∠BOC，
∴∠CEB＝30°；
（2）如图，连接OE，
∵半径OC⊥AB，
∵＝，
∴∠CEB＝∠AOC＝30°，
∵EF＝EB，
∴∠EFB＝∠B＝75°，
∴∠DFC＝∠EFB＝75°，
∠DCF＝90°﹣∠DFC＝15°，
∵OE＝OC，
∴∠C＝∠OEC＝15°，
∴∠EOG＝∠C+∠OEC＝30°，
∵GE切圆于E，
∴∠OEG＝90°，
∴tan∠EOG＝＝，
∵OE＝OA＝3，
∴EG＝．

五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
9．（2023•天津）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）设塔AB的高度为h（单位：m）；
①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；
②求塔AB的高度（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）．

【答案】（1）DE的长为3m；
（2）①线段EA的长为（3+h）m；
②塔AB的高度约为11m
【解答】解：（1）由题意得：DE⊥EC，
在Rt△DEC中，CD＝6m，∠DCE＝30°，
∴DE＝CD＝3（m），
∴DE的长为3m；
（2）①由题意得：BA⊥EA，
在Rt△DEC中，DE＝3m，∠DCE＝30°，
∴CE＝DE＝3（m），
在Rt△ABC中，AB＝hm，∠BCA＝45°，
∴AC＝＝h（m），
∴AE＝EC+AC＝（3+h）m，
∴线段EA的长为（3+h）m；
②过点D作DF⊥AB，垂足为F，

由题意得：DF＝EA＝（3+h）m，DE＝FA＝3m，
∵AB＝hm，
∴BF＝AB﹣AF＝（h﹣3）m，
在Rt△BDF中，∠BDF＝27°，
∴BF＝DF•tan27°≈0.5（3+h）m，
∴h﹣3＝0.5（3+h），
解得：h＝3+6≈11，
∴AB＝11m，
∴塔AB的高度约为11m．
六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
10．（2021•天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．

【答案】168海里．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，
由题意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257海里，
在Rt△ABH中，
∵tan∠BAH＝，cos∠BAH＝，
∴BH＝AH•tan60°＝AH，AB＝＝2AH，
在Rt△BCH中，
∵tan∠BCH＝，
∴CH＝＝（海里），
又∵CA＝CH+AH，
∴257＝+AH，
所以AH＝（海里），
∴AB＝≈＝168（海里），
答：AB的长约为168海里．

七．条形统计图（共1小题）
11．（2023•天津）为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了a名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．

请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为 　40　，图①中m的值为 　15　；
（2）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．
【答案】（1）40；15；
（2）14；15；14．
【解答】解：（1）a＝5+6+13+16＝40；
∵m%＝100%﹣12.5%﹣40%﹣32.5%＝15%，
∴m＝15．
故答案为：40；15；
（2）平均数为＝；
∵15岁的学生最多，
∴众数为15；
∵一共调查了40名学生，12岁的有5人，13岁的6人，
∴中位数为14．