2024孝感重点高中教科研协作体高三上学期开学考试数学试题含解析

2023年湖北省高三9月起点考试

高三数学试卷

命题学校：孝昌一中   命题老师：柯海清 杨胜辉   审题学校：汉川一中

考试时间：2023年9月5日下午15：00—17：00      试卷满分：150分

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知复数z满足，则z的虚部为（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知集合，集合，则集合的元素个数为（    ）

A.1     B.2     C.3     D.4

3.设等差数列的前n项的和为，满足，，则的最大值为（    ）

A.14     B.16     C.18     D.20

4.已知的所有项的系数和为3，则的系数为（    ）

A.80     B.40     C.    D.

5.已知圆O的直径，动点M满足，则点M的轨迹与圆O的相交弦长为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.设函数，则函数的零点个数为（    ）

A.4     B.5     C.6     D.7

7.已知来自甲、乙、丙三个学校的5名学生参加演讲比赛，其中三个学校的学生人数分别为1、2、2.现要求相同学校的学生的演讲顺序不相邻，则不同的演讲顺序的种数为（    ）

A.40     B.36     C.56     D.48

8.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.   B.   C.   D.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（    ）

A.若直线与直线平行，则或

B.数据1、5、8、2、7、3的第60%分位数为5

C.设随机变量X～，则最大时，

D.在中，若，则为等腰三角形

10.已知函数，则（    ）

A.点为的一个对称中心

B.函数在区间上单调递增

C.函数在区间上的值域为

D.若函数在区间上只有一条对称轴和一个对称中心，则

11.在边长为2的正方体中，点M，N，P分别为AB，，的中点，则（    ）

A.平面      B.点B到平面PMN的距离为

C.、DA、CM相交于一点    D.平面PMN与正方体的截面的周长为

12.已知双曲线的左右顶点为，，左右焦点为，，直线l与双曲线的左右两支分别交于P，Q两点，则（    ）

A.若，则的面积为

B.存在弦PQ的中点为，此时直线l的方程为

C.若的斜率的范围为，则的斜率的范围为

D.直线l与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，则

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.若向量，，且，则与的夹角为______.

14.一家物流公司计划建立仓库储存货物，经过市场了解到下列信息：每月的土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比.若在距离车站10km处建立仓库，则与分别为4万元和16万元.则当两项费用之和最小时______（单位：km）.

15.已知直线是曲线与抛物线的公切线，则______.

16.在中，，，将绕着边BC逆时针旋转后得到，则三棱锥的外接球的表面积为______.

四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知数列的首项，满足

（1）求证：数列为等比数列；

（2）记数列的前n项的和为Tn，求满足条件的最大正整数n.

18.（12分）已知a，b，c为的三个内角A，B，C的对边，且满足：

（1）求角A；

（2）若的外接圆半径为求的周长的最大值.

19.（12分）如图所示，在三棱柱中，侧面ABCD是边长为2的菱形，；侧面ABEF为矩形，，且平面平面ABEF.

（1）求证：；

（2）设M是线段上的动点，试确定点M的位置，使二面角的余弦值为.

20.（12分）为了研究吸烟是否与患肺癌有关，某研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了100人，得到成对样本观测数据的分类统计结果如下表所示：

（1）依据小概率的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险；

（2）从这100人中采用分层抽样，按照是否患肺癌抽取5人，再从这5人中随机抽2人，记这2人中不患肺癌的人数为X，求X的分布列和均值；

（3）某药厂研制出一种新药，声称对治疗肺癌的有效率为90%.现随机选择了10名肺癌患者，经过使用药物治疗后，治愈的人数不超过7人.请问你是否怀疑该药厂的宣传，请说明理由.

参考公式和数据：

（1），其中；且 .

（2）；概率低于0.08的事件称为小概率事件，一般认为在一次试验中是几乎不发生的.

21.（12分）已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在其定义域内恒成立，求a的范围.

22.（12分）已知椭圆的离心率，且经过点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线与椭圆E交于A，B两点，且椭圆E上存在点M，使得四边形OAMB为平行四边形.试探究：四边形OAMB的面积是否为定值？若是定值，求出四边形OAMB的面积；若不是定值，请说明理由.

2023年湖北省高三9月起点考试

高三数学答案

填空题：13.  14.5  15.  16.

1.由于，则的虚部为，故选C。

2.由于集合或，集合，

从而，故元素个数为2，故选B。

3.设的首项为，公差为d，则，

又，，

则，

从而数列得前4项为正，其余项为负，故的最大值为，故选B。

4.由已知可得：，

所以

则的系数为，故选D。

5.明显，圆O的半径为2，其方程为：①

可设，，动点

由，从而有

化简得：②

由可得相交弦的方程为：带入式①可求出，

故相交弦长为，故选A。

6.令，则亦有，可求出或0或e

从而有或1或，从而相应方程的根的个数分别为1或3或2，

故函数的零点个数为6，故选C。

7.设这5个人分别为：ABCDE，则要求B与C和D与E的演讲顺序都不能相邻。

第一类：A在BC中间，此时再把D与E插空到这3人中间，

此时的不同的演讲顺序有

第二类：A不在BC中间，此时先考虑B与C和D与E，他们的顺序应相间排列，最后考虑A，此时的不同的演讲顺序有

综上可得：总共有48种不同的演讲顺序，故选D。

8.对于a，由，则，故；

对于b，，故；

对于c，由于，则，从而可得

同理，，则，从而可得

所以有

综上有：故选A。

9.对于A，由两直线平行可得：或

又时，两直线重合，舍去：经检验符合题意，故A错误。

对于B，这6个数据按从小到大排序为：1 2 3 5 7 8，由，

则这组数据第60%分位数为第4个数，即为5，故B正确。

对于C，由，从而时最大，故C正确。

对于D，由，可得，

，又、，则有或，

或，故为等腰三角形或直角三角形，故D不正确。

10.明显

对于A明显成立，故A正确

对于B令，由则，

明显：即时递减，故B不正确

对于C由，及则，

则在区间上的值域为，故C正确

对于D由，及，则由题意可知：

从而得：，故D不正确

11.对于A明显有 又平面，生平面

从而平面成立，故A正确

对于B由等体积法：，

明显有：的面积为，点P到的距离为，

又在中，，，可求出的面积为，

从而可得：，故B不正确

对于C由于，则，CM相交于一点G，

从而有平面ABCD，平面

则可得平面平面，即

所以有，DA，CM相交于一点G，故C正确

对于D平面PMN与正方体的截面为边长为正六边形PNMEFH，

（点E，F，H分别为BC，，的中点）则其周长为，故D正确

12.在双曲线中，，，

且，，，

对于A设，，由双曲线定义得：，

两边平方可得：①

在中，由余弦定理可得：

② 联立①②可得：

故的面积为，故A正确

对于B由中点弦公式：，此时直线l的方程为

带入双曲线的方程消去y可得：，此时，

此时直线与双曲线无公共点，说明此时直线不存在，故B不正确

对于C设，则

又直线与的斜率的乘积

由于从而可得：，故C正确

对于D设直线带入

（说明：时（※）式表示双曲线;时（※）式表示双曲线的两条渐近线）

得，应满足：，且

且明显有：（与无关）

这说明线段PQ的中点与线段MN的中点重合，故有成立，故D正确。

13.由于，从而，

则，又，则与的夹角的余弦值为，

则与的夹角为。

14.由已知可设：，，且这两个函数分别过，，

得，，从而，，

故，即时等号成立。

15.先考虑与相切，设切点的横坐标为，

由，则，

由相切的性质可得：①及②

由②知：带入①可求出：，从而有

再考虑与相切

联立方程，消去y，可得：（舍去）。

16.如图所示，取BC的中点E，连接AE，DE，则明显有，

由于与的外心G与F分别在AE与DE上，

则三棱锥的外接球的球心O在过点G且与平面ABC垂直的直线上。

由对称性可知：，易求出，设，则

在中，有，则，，

又在中，，

从而在中，，

所以三棱锥的外接球的表面积.

17.解：（1）由于，，

即…（3分）

又，所以数列是首项为，公比为的等比数列…（5分）

②由（1）可知：…（6分）

则，且关于n是递增的…（8分）

又，，所以满足条件的最大正整数…（10分）

18.解：（1）由已知可得：

…（2分）

由于，则有…（4分）

又，则有，所以有…（6分）

（2）由正弦定理可知：，则由…（7分）

又有余弦定理可知：…（8分）

由于，则有，即…（9分）

又，即

从而（当等号成立）…（11分）

则，故的周长的最大值为6…（12分）

19.（1）证明：连接AC，在矩形ABEF中，明显有：

又平面平面ABEF，平面平面

从而可得：平面ABCD，又平面ABCD，

从而可得：…（3分）

又在菱形ABCD中且

则平面ACF 又平面ACF 则…（5分）

（2）如图，建立空间直角坐标系，设，且，

，则，…（7分）

设是平面MBC的一个法向量，

由及

故可取…（9分）

又明显，平面BCD的一个法向量为…（10分）

由已知有…（11分）

所以点M为AF的中点，使二面角的余弦值为…（12分）

20.解：（1）零假设为：吸烟与患肺癌之间无关.…（1分）

根据列联表中的数据，计算可得：

…（3分）

依据小概率的独立性检验，认为不成立，即吸烟会增加患肺癌的风险…（4分）

（2）由已知可得：抽取的5人中，不患肺癌的有2人，患肺癌的有3人。

明显：X的所有可能取值为：0，1，2，…（5分）

且，，

故X的分布列为：

…（7分）

X的均值为…（8分）

（3）随机选取10个病人，治愈人数不超过于7人的概率为：

从而该事件称为小概率事件，一般认为在一次试验中是几乎不发生的，所以可以怀疑该药厂是虚假宣传…（12分）

21.（1）…（1分）

当时，恒成立，此时的递减区间是，无递增区间…（2分）

当时，考虑，明显，

且，则有一正一负两个根，取正跟

且当时， 当时，

此时的递减区间是，递增区间为…（4分）

综上可得：当时，的递减区间是，无递增区间；

当时，的递减区间是，递增区间为…（5分）

（2）当时，在递减，且不符合题意…（6分）

当时，由（1）可知：只需…（7分）

又由于…（8分）

则只需…（9分）

考虑，明显：在递减且，

从而可得：…（10分）

考虑，由及（1）可知：有一正一负两个根

又，要使成立，则必有

综上所述：使函数在其定义域内恒成立的a的范围为…（12分）

（其他解法可酌情给分）

22.（1）由已知可得：，，

可得：，，椭圆E的方程为…（4分）

（2）四边形OAMB的面积为定值，理由如下：

将带入可得：

设，则，

且…（6分）

由于四边形OAMB为平行四边形，则，

则点，带入椭圆E的方程，化简可得：…（8分）

此时恒成立

由于点O到直线AB的距离为

而

又由 可得…（10分）

从而

又