广东省梅州市五华县黎塘初级中学2022-2023学年下学期八年级期中数学试卷

五华县黎塘初级中学2022-2023学年八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．（3分）下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

2．（3分）下列计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（　　）

A．两点之间，线段最短 

B．三角形的稳定性 

C．长方形的四个角都是直角 

D．四边形的稳定性

4．（3分）不等式2x+1≥x的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

5．（3分）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（　　）

A．∠A＝∠B B．∠C＝∠E C．AD＝BF D．AC＝BE

6．（3分）关于x的方程x﹣4＝﹣2a解为正数，则实数a的取值范围是（　　）

A．a＜2 B．a＞2 C．a＜1 D．a＞0

7．（3分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．2 B． C．4 D．6

8．（3分）如图，在Rt△ABC中，BC＝6，AB＝10．分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，连接直线EF，分别交BC、AB于点M、N，连接CN，则△CMN的面积为（　　）

A．12 B．6 C．7.5 D．15

9．（3分）已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＞0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　）

A． B． 

C． D．

10．（3分）△ABC的三边AB、BC、CA长分别是15、20、25，其三条角平分线相交于O点，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）

A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5

二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）

11．（4分）代数式有意义，则x的取值范围是 　           　．

12．（4分）等腰三角形的一个内角为40°，则顶角的度数为　           　．

13．（4分）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣2，3），（3，﹣4），将线段AB平移后，点A的对应点的坐标为（﹣3，﹣2），则点B的对应点的坐标为 　         　．

14．（4分）如图，将△ABC绕着点C顺时针方向旋转50°后得到△A'B'C．若∠A＝40°，∠B'＝110°，则∠BCA'的度数是 　      　．

15．（4分）直线l1：y＝kx与直线l2：y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象如图，则关于x的不等式ax+b＞kx的解集为 　      　．

16．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD＝5，对角线AC⊥CD，则线段CD的长为 　             　．

17．（4分）将n个边长都为2cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则2021个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 　       　．

三．解答题（共8小题，满分62分）

18．（6分）计算：．

19．（6分）化简求值：（+1）•，其中x＝1．

20．（6分）已知：如图，BD、CE是△ABC的高，且BD＝CE．求证：BE＝CD．

21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）用尺规作∠BAC的平分线，交BC于点P（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）若AC＝3，AB＝5，求AB边上的高的长度．

22．（8分）如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．

（1）求证：四边形CDEF是菱形；

（2）若BC＝3，CD＝5，求AF的长．

23．（8分）某公司计划从商店购买同一品牌的毛巾和同一品牌的香皂，已知购买一条毛巾比购买一块香皂多用20元，若用400元购买毛巾，用160元购买香皂，则购买毛巾的条数是购买香皂块数的一半．

（1）购买一条该品牌毛巾、一块该品牌香皂各需要多少元？

（2）经商谈，商店给予该公司购买一条该品牌毛巾赠送一块该品牌香皂的优惠，如果该公司需要香皂的块数是毛巾条数的2倍还多8个，且该公司购买毛巾和香皂的总费用不超过670元，那么该公司最多可购买多少条该品牌毛巾？

24．（10分）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）上述操作能验证的等式是 　                  　；

（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：

①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；

②计算：．

25．（10分）△ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α（0°＜α＜30°），把△ABD沿BD对折，得到△A′BD．

（1）如图1，若α＝15°，则∠CBA′＝　     　°．

（2）如图2，点P在BD延长线上，且∠DAP＝∠DBC＝α．

①连接CP，试探究AP，BP，CP之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．

②连接CA′，若A′，C，P三点共线，BP＝10，CP＝1，求CA′的长．

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1． 解：A、是中心对称图形，故本选项正确；

B、不是中心对称图形，故本选项错误；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

D、不是中心对称图形，故本选项错误．

故选：A．

2． 解：A选项，当a＞0，，故错误，不符合题意；

B选项，所以正确，符合题意；

C选项，当a＜0时，，所以错误，不符合题意；

D选项，所以错误，不符合题意；

故选：B．

3． 解：在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性．

故选：B．

4． 解：∵2x+1≥x，

∴2x﹣x≥﹣1，

则x≥﹣1，

故选：B．

5． 解：∵CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，

∴∠ADC＝∠BFE＝90°，

∵CD＝EF，

∴当添加AC＝BE时，根据“HL”判断Rt△ACD≌Rt△BEF．

故选：D．

6． 解：方程x﹣4＝﹣2a，

解得：x＝4﹣2a，

∵方程的解为正数，

∴4﹣2a＞0，

解得：a＜2．

故选：A．

7． 解：由题意可得，

大正方形的边长为＝2，小正方形的边长为，

∴图中阴影部分的面积为：×（2﹣）＝2，

故选：A．

8． 解：由作法得MN垂直平分BC，

∴NB＝NC，CM＝BM＝BC＝3，MN⊥BC，

∴∠B＝∠NCB，

∵∠ACB＝90°，

∴∠B+∠A＝90°，∠NCB+∠NCA＝90°，

∴∠A＝∠NCA，

∴NC＝NA，

∴NC＝AB＝5，

在Rt△CMN中，MN＝＝＝4，

∴△CMN的面积＝CM•MN＝×3×4＝6．

故选：B．

9． 解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，

∴k＜0，

∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限；

∵kb＞0，

∴b＜0，

∴图象与y轴的交点在x轴下方，

∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．

故选：B．

10． 解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，

∵三条角平分线相交于O点，

∴OE＝OF＝OD，

∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别是15、20、25，

∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝3：4：5，

故选：D．

二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）

11． 解：∵有意义，

∴x+1≥0且x﹣2≠0，

∴x≥﹣1且x≠2，

故答案为：x≥﹣1且x≠2．

12． 解：当这个角是顶角时，则顶角的度数为40°，当这个角是底角时，则顶角的度数180°﹣40°×2＝100°，

故其顶角的度数为100°或40°．

故填100°或40°．

13． 解：∵A（﹣2，3）平移后得到点A′的坐标为（﹣3，﹣2），

∴向左平移了1个单位，向下平移了5个单位，

∴B（3，﹣4）的对应点坐标为（3﹣1，﹣4﹣5），

即（2，﹣9）．

故答案为：（2，﹣9）．

14． 解：∵将△ABC绕着点C顺时针方向旋转50°后得到△A'B'C，

∴∠BCB'＝50°，∠A＝∠A'＝40°，

∵∠B'＝110°，

∴∠A'CB'＝180°﹣∠B'﹣∠A'＝30°，

∴∠BCA'＝∠BCB'+∠A'CB'＝50°+30°＝80°，

故答案为：80°．

15． 解：从图象可看出当x＜1，直线l2的图象在直线l1的上方，不等式ax+b＞kx．

故答案为：x＜1．

16． 解：作BE⊥AC于点E，如图所示，

则∠BEA＝90°，

∵AB＝BC＝AD＝5，

∴点E为AC的中点，

∴AE＝CE，

∵AC⊥CD，

∴∠ACD＝90°，

∴∠CAD+∠D＝90°，

∵∠BAD＝90°，

∴∠BAE+∠CAD＝90°，

∴∠BAE＝∠D，

又∵AB＝AD，∠BEA＝∠ACD＝90°，

∴△BAE≌△ADC（AAS），

∴AE＝DC，

∴AC＝2AE＝2CD，

设CD＝x，则AC＝2x，

∵AD＝5，∠ACD＝90°，

∴x2+（2x）2＝52，

解得x1＝，x2＝﹣（不合题意，舍去），

即CD＝，

故答案为：．

17． 解：作A1E⊥A2G于E，A1F⊥A2H于F．则∠FA1E＝∠HA1G＝90°，

∴∠FA1H＝∠GA1E，

在△A1HF和△A1GE中，

，

∴△A1HF≌△A1GE（ASA），

∴四边形A2HA1G的面积＝四边形A1EA2F的面积＝×4＝1，

同理，各个重合部分的面积都是1，

则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为1×（n﹣1）＝n﹣1，

∴2021个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：2021﹣1＝2020．

故答案为：2020．

三．解答题（共8小题，满分62分）

18． 解：原式＝3﹣（﹣2）+3﹣2

＝3+2+3﹣2

＝6．

19． 解：原式＝•

＝•

＝，

当x＝1时，

原式＝1．

20． 证明：∵BD、CE是△ABC的高，

∴BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，

∴∠BEC＝∠CDB＝90°，

在Rt△BEC和Rt△CDB中，

，

∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），

∴BE＝CD．

21． 解：（1）如图，AP即为所求作的角平分线．

（2）在Rt△ABC中，AC＝3，AB＝5，

∴，

∵S△ABC＝，

∴3×4＝5×高，

解得AB边上的高的长度为．

22． （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∵CF∥ED，

∴四边形CDEF是平行四边形，

∵DC＝DE．

∴四边形CDEF是菱形；

（2）解：如图，连接GF，

∵四边形CDEF是菱形，

∴CF＝CD＝5，

∵BC＝3，

∴BF＝＝＝4，

∴AF＝AB﹣BF＝5﹣4＝1．

23． 解：（1）设购买一块该品牌香皂需要x元，则购买一条该品牌毛巾需要（x+20）元，

根据题意得：，

解得：x＝5，

经检验，x＝5是所列方程的解，其符合题意，

∴x+20＝5+20＝25．

答：购买一条该品牌毛巾需要25元，一块该品牌香皂需要5元．

（2）设该公司可购买m条该品牌毛巾，则购买（2m+8）块该品牌香皂，

根据题意得：25m+5（2m+8﹣m）≤670，

解得：m≤21，

∴m的最大值为21．

答：该公司最多可购买21条该品牌毛巾．

24． 解：（1）图1剩余部分的面积为a2﹣b2，图2的面积为（a+b）（a﹣b），二者相等，从而能验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），

故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；

（2）①∵a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），

∴21＝（a+b）×3，

∴a+b＝7；

②（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）

＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）×…×（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）

＝××××××…××××

＝×

＝．

25． 解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，

∵∠CBD＝α，

∴∠A'BD＝∠ABD＝∠ABC﹣α，

∴∠CBA'＝∠A'BD﹣α＝∠ABC﹣2α＝60°﹣2α，

∵α＝15°，

∴∠CBA'＝60°﹣2×15°＝30°，

故答案为：30；

（2）①BP＝AP+CP，理由如下：

如图1，连接CP，在BP上取一点P'，使BP'＝AP，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝60°，BC＝AC，

∵∠DAP＝∠DBC＝α，

∴△BP'C≌△APC（SAS），

∴CP'＝CP，∠BCP'＝∠ACP，

∴∠PCP'＝∠ACP+ACP'＝∠BCP'+∠ACP'＝∠ACB＝60°，

∵CP'＝CP，

∴△CPP'是等边三角形，

∴∠CPB＝60°，PP'＝CP，

∴BP＝BP'+PP'＝AP+CP，

即BP＝AP+CP；

②如图2，

∵点A'、C、P在同一直线上，

即PA'＝PC+CA'，

由折叠知，BA＝BA'，∠ADB＝∠A'DB，

∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠A'DB，

∴∠ADP＝∠A'DP，

∵DP＝DP，

∴△ADP≌△A'DP（SAS），

∴A'P＝AP，

由①知，BP＝AP+CP，

∵BP＝10，CP＝1，

∴AP＝BP﹣CP＝10﹣1，

∴A'P＝AP＝10﹣1，

∴CA'＝A'P﹣CP＝10﹣1﹣1＝8．