广东省梅州市大埔县广德中学2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷

这是一份广东省梅州市大埔县广德中学2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷，共18页。
广东省梅州市大埔县广德中学2022-2023学年八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）我国将在2060年实现碳中和，新能源、绿色能源将成为产业发展的新趋势，下列新能源环保图标中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）若x＞y，则下列式子中错误的是（　　）
A． B．﹣2x＞﹣2y C．x﹣2＞y﹣2 D．x+3＞y+3
3．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（　　）

A．两点之间，线段最短
B．三角形的稳定性
C．长方形的四个角都是直角
D．四边形的稳定性
4．（3分）多项式m2﹣4m分解因式的结果是（　　）
A．m（m﹣4） B．（m+2）（m﹣2）
C．m（m+2）（m﹣2） D．（m﹣2）2
5．（3分）在数轴上表示不等式组的解，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，△ABC向右平移2cm得到△DEF，如果四边形ABFD的周长是20cm，那么△ABC的周长是（　　）

A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，AB＝5，AD＝7，则EF的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABD＝1：3．

A．4 B．3 C．2 D．1
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且DE＝2，则AC的长度是（　　）

A．2 B．2 C．8 D．
10．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（　　）

A． B． C．1 D．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）的平方根为 　 　．
12．（4分）若点（3+m，1﹣m）在x轴上，则该点坐标为 　 　．
13．（4分）在直角坐标系内，点A（3，）到原点的距离是 　 　．
14．（4分）已知关于x的不等式x≥a﹣1的解集如图所示，则a的值为　 　．

15．（4分）如图，将△ABC绕着点C顺时针方向旋转50°后得到△A'B'C．若∠A＝40°，∠B'＝110°，则∠BCA'的度数是 　 　．

16．（4分）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞x+a的解集是　 　．

17．（4分）如图，在ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝120°，点E是AB边上一个动点（不与端点重合），ED⊥AC交AC于点D，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为F，当△BCF为等腰三角形时，则AE的长为　 　．

三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）计算：（2x﹣5）2﹣（2x+3）（3x﹣2）．
19．（6分）解不等式组：．
20．（6分）已知：如图，BD、CE是△ABC的高，且BD＝CE．求证：BE＝CD．

21．（8分）如图，△ABC的三个顶点都在格点上，且点B的坐标为（4，2）．
（1）请画出△ABC向下平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△A1B1C1绕点C1按逆时针方向旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标是 　 　．

22．（8分）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AB＝4，BC＝5，求AE的长．

23．（8分）某商店准备购进A、B两种商品，A商品每件的进价比B商品每件的进价多20元，已知进货30件A商品和30件B商品一共用去用2400元，商店将A种商品每件售价定为80元，B种商品每件售价定为45元．
（1）A商品每件的进价和B商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1520元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大？最大利润为多少元？
24．（10分）如图，A，B是分别在x轴上的原点左右侧的点，点P（2，m）在第一象限内，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，S△AOC＝10．
（1）求点A的坐标及m的值；
（2）若S△BOP＝S△DOP，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线AP上是否存在一点Q，使△QAO的面积等于△BOD面积？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（10分）如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0．
（1）如图1，求△AOB的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴Q，点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值．


广东省梅州市大埔县广德中学2022-2023学年八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
2． 解：A、∵x＞y，
∴＞，
故A不符合题意；
B、∵x＞y，
∴﹣2x＜﹣2y，
故B符合题意；
C、∵x＞y，
∴x﹣2＞y﹣2，
故C不符合题意；
D、∵x＞y，
∴x+3＞y+3，
故D不符合题意．
故选：B．
3． 解：在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性．
故选：B．
4． 解：m2﹣4m＝m（m﹣4），
故选：A．
5． 解：解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
，
故选：B．

6． 解：由平移的性质可知，AD＝CF＝2cm，AC＝DF，
∵四边形ABFD的周长是20cm，
∴AB+BF+DF+AD＝20cm，
∴AB+BC+CF+AC+AD＝20cm，
∴AB+BC+AC＝16cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝16cm，
故选：B．
7． 解：∵平行四边形ABCD，
∴∠DFC＝∠FCB，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC，
同理可证：AE＝AB，
∵AB＝5，AD＝BC＝7，
∴2AB﹣BC＝AE+FD﹣BC＝EF＝3．
故选：C．
8． 解：由作法得，AD平分∠BAC，所以①正确；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°＝30°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正确；
∵∠B＝∠BAD，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确；
∵如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝AD，
∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC•CD＝AC•AD．
∴S△ABC＝AC•BC＝AC•AD＝AC•AD，
∴S△DAC：S△ABC＝AC•AD：AC•AD＝1：3，
∴S△DAC：S△ABD＝1：2．故④错误．
故选：B．
9． 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA＝1：2，∠EDC+∠EDA＝90°，
∴∠EDC＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴OD＝＝＝4，
∴AC＝2OD＝8．
故选：C．
10． 解：∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AB＝AD＝CD＝CB＝4，∠D＝∠A＝∠ABC，
∴∠D＝∠CBE＝90°，
由翻折得CG＝CE，GF＝EF，CF垂直平分EG，
在Rt△CDG和Rt△CBE中，
，
∴Rt△CDG≌Rt△CBE（HL），
∴DG＝BE＝2，
∴AG＝AD﹣DG＝4﹣2＝2，
∵AE＝AB+BE＝4+2＝6，
∴EG＝＝＝2，
∵AG2+AF2＝FG2，且AF＝6﹣EF，
∴22+（6﹣EF）2＝EF2，
解得EF＝，
∵EG•FH＝EF•AG＝S△EFG，
∴×2FH＝××2，
解得FH＝，
故选：B．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11． 解：∵＝9
∴的平方根为±3．
故答案为：±3．
12． 解：∵点（3+m，1﹣m）在x轴上，
∴1﹣m＝0，
∴m＝1，
∴3+m＝4，
∴该点坐标为（4，0）．
故答案是：（4，0）．
13． 解：点A（3，）到原点的距离是＝＝4．
故答案为：4．
14． 解：∵数轴上表示的不等式组的解集为x≥﹣1，
∴a﹣1＝﹣1，解得a＝0．
故答案为：0．
15． 解：∵将△ABC绕着点C顺时针方向旋转50°后得到△A'B'C，
∴∠BCB'＝50°，∠A＝∠A'＝40°，
∵∠B'＝110°，
∴∠A'CB'＝180°﹣∠B'﹣∠A'＝30°，
∴∠BCA'＝∠BCB'+∠A'CB'＝50°+30°＝80°，
故答案为：80°．
16． 解：当x＜3时，kx+b＞x+a，
所以不等式kx+b＞x+a的解集为x＜3．
故答案为：x＜3
17． 解：如图1，当BF＝CF时，

过点F作FM⊥AB于点M，
∵AB＝BC＝3，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∵CF＝BF，
∴∠CFB＝∠CBF＝75°，
∴∠EBF＝120°﹣75°＝45°，
设AE＝x，
∵将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为F，
∴AE＝EF＝x，∠A＝∠EFA＝30°，
∴∠BEF＝∠A+∠EFA＝60°，
∴EM＝，MF＝BM＝，
∴x+＝3，
解得x＝3﹣．
∴AE＝3﹣．
如图2，当BF＝CF时，

∴∠C＝∠FBC＝30°，
∴∠ABF＝90°，
∴BF＝3×＝，
同理可知∠BEF＝2∠A＝60°，
∴EF＝AE＝＝2．
∴AE的长为2或3﹣．
故答案为：2或3﹣．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18． 解：（2x﹣5）2﹣（2x+3）（3x﹣2）
＝4x2﹣20x+25﹣（6x2﹣4x+9x﹣6）
＝4x2﹣20x+25﹣6x2﹣5x+6
＝﹣2x2﹣25x+31．
19． 解：解不等式①，得：x＜2，
解不等式②，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜2．
20． 证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），
∴BE＝CD．
21． 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.
（2）如图，△A2B2C1即为所求．
点A2的坐标为（﹣3，﹣2）．
故答案为：（﹣3，﹣2）．

22． （1）证明：连接EC，

∵DE是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∵BE2﹣EA2＝AC2，
∴EC2﹣EA2＝AC2，
∴EC2＝AC2+AE2，
∴△AEC是直角三角形，
∴∠A＝90°；
（2）∵∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，
∴AC＝＝＝3，
设AE＝x，则BE＝EC＝4﹣x，
在Rt△AEC中，AE2+AC2＝EC2，
∴x2+9＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴AE的长为．
23． 解：（1）设B商品每件的进价为x元，则A商品每件的进价为（x+20）元，
由题意，得30（x+20）+30x＝2400，
解得x＝30，
∴A商品每件的进价为30+20＝50（元），
答：A商品每件的进价为50元，B商品每件的进价为30元；
（2）设A种商品的数量a件，B种商品的数量（40﹣a）件，
由题意，得，
解得，
∵a为正整数，
∴a为14，15，16，
∴B种商品的数量为26，25，24，
所以有三种进货方案：第一种：进A商品14件，B商品26件；
第二种：进A商品15件，B商品25件；
第三种：进A商品16件，B商品24件；
（3）令所获利润为W元，则W＝（45﹣30）（40﹣a）+（80﹣50）a，
∴W＝15a+600，
∵k＝15＞0，
W随a的增大而增大，
∴a＝16时，即A购买16件，B购买24件利润最大，
W最大＝840元，
答：A购买16件，B购买24件利润最大，最大利润840元．
24． 解：（1）∵C（0，2），
∴OC＝2，
∵S△AOC＝10，
∴OA•OC＝10，
∴OA×2＝10，
∴OA＝10，
∴A（﹣10，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
∵点P（2，m）在直线AC上，
∴m＝×2+2＝；

（2）方法1、设直线BD的解析式为y＝k'x+b'（k'＜0），
∵P（2，），
∴2k'+b'＝，
∴b'＝﹣2k+，
∴直线BD的解析式为y＝k'x﹣2k'+，
令x＝0，
∴y＝﹣2k'+，
∴D（0，﹣2k'+），
令y＝0，
∴k'x﹣2k'+＝0，
∴x＝2﹣，
∴B'（2﹣），∴OB＝2﹣，
∵S△BOP＝（2﹣）×，S△DOP＝（﹣2k'+）×2，
∵S△BOP＝S△DOP，
∴（2﹣）×＝（﹣2k'+）×2，
∴k'＝（舍）或k＝﹣，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+

方法2、设点D（0，m），B（n，0），
∵S△BOP＝S△DOP，
∴点P（2，）是线段BD的中点，
∴n＝4，m＝，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+

（3）由（2）知，直线BD的解析式为y＝﹣x+，
∴D（0，），B（4，0），
∴OB＝4，OD＝，
∴S△BOD＝OB•OD＝×4×＝
由（1）知，A（﹣10，0），直线AC的解析式为y＝x+2，
设Q（a，a+2），
∴S△QAO＝OA•|yQ|＝×10×|a+2|＝|a+10|，
∵△QAO的面积等于△BOD面积，
∴|a+10|＝，
∴a＝﹣或a＝﹣，
∴Q（﹣，）或（﹣，﹣）．
25． （1）解：∵（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0，
∴a﹣2＝0，2b﹣4＝0，
∴a＝2，b＝2，
∴A（2，0）、B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴△AOB的面积＝＝2；

（2）证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF，
∵∠OAC＝∠OBF＝∠OBA＝45°，∠DBA＝90°，
∴∠DBF＝180°，
∵∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝45°，
∴∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，
在△ODF与△ODC中，，
∴：△ODF≌△ODC，∴DC＝DF，DF＝BD+BF，故CD＝BD+AC．

（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD，
∵∠BAO＝∠PDF＝45°，
∴∠PAB＝∠PDE＝135°，
∴∠BPA+∠EPF＝90°，∠EPF+∠PED＝90°，
∴∠BPA＝∠PED，
在△PBA与△EPD中，
，
∴△PBA≌EPD（AAS），
∴AP＝ED，
∴FD+ED＝PF+AP，
即：FE＝FA，
∴∠FEA＝∠FAE＝45°，
∴∠QAO＝∠EAF＝∠OQA＝45°，
∴OA＝OQ＝2，
∴BQ＝4．